命題與關(guān)系充分條件和必要條件知識點和題型歸納

1、 高考明方向1.理解命題的概念2.了解“若p，則q”形式的命題的逆命題、 否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義.備考知考情常用邏輯用語是新課標高考命題的熱點之一，考查形式以選擇題為主，試題多為中低檔題目，命題的重點主要有兩個：一是命題及其四種形式，主要考查命題的四種形式及命題的真假判斷；二是以函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何中的線面關(guān)系等為背景考查充要條件的判斷，這也是歷年高考命題的重中之重命題的熱點是利用關(guān)系或條件求解參數(shù)范圍問題，考查考生的逆向思維.一、知識梳理名師一號P4知識點一 命題及四種命題1、命題的概念在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可

2、以判斷真假 的陳述句叫做命題其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題注意：命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題。2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性無關(guān) 注意：(補充)1、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題2、常見詞語的否定原詞語等于（=）大于（>）小于（<）是否定詞語不等于（）不大于（）不小于（）不是原詞語都是至多有一個至多有n個或否定詞語不都是至少有兩個至少有n+1個且原詞語至少有一個任意兩個所有的任意的否定詞語一個也沒有某兩個某些某個

3、知識點二 充分條件與必要條件1、充分條件與必要條件的概念（1）充分條件： 則是的充分條件 即只要有條件就能充分地保證結(jié)論的成立，亦即要使成立，有成立就足夠了，即有它即可。（2）必要條件： 則是的必要條件 即沒有則沒有，亦即是成立的必須要有的條件，即無它不可。(補充)（3）充要條件且即則、互為充要條件（既是充分又是必要條件）“是的充要條件”也說成“等價于”、“當且僅當”等 (補充)2、充要關(guān)系的類型（1）充分但不必要條件定義：若，但，則是的充分但不必要條件；（2）必要但不充分條件定義：若 ，但，則是的必要但不充分條件（3）充要條件定義：若 ，且 ，即，則、互為充要條件；（4）既不充分也不必要條件

4、定義：若，且，則、互為既不充分也不必要條件3、判斷充要條件的方法：名師一號P6 特色專題定義法；集合法；逆否法（等價轉(zhuǎn)換法）逆否法-利用互為逆否的兩個命題的等價性 集合法-利用集合的觀點概括充分必要條件若條件以集合的形式出現(xiàn)，結(jié)論以集合的形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判斷（1）若，則是的充分但不必要條件（2）若，則是的必要但不充分條件（3）若，則是的充要條件（4）若，且， 則是的既不必要也不充分條件(補充)簡記作-若A、B具有包含關(guān)系，則（1）小范圍是大范圍的充分但不必要條件（2）大范圍是小范圍的必要但不充分條件二、例題分析（一）四種命題及其相互關(guān)系例1.(1) 名師一號P4

5、 對點自測1命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)”的逆否命題是()A若xy是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B若xy是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D若xy不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)答案C例1.(2) 名師一號P5 高頻考點 例1下列命題中正確的是()“若a0，則ab0”的否命題；“正多邊形都相似”的逆命題；“若m>0，則x2xm0有實根”的逆否命題；“若x是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題A B C D解析:中否命題為“若a0，則ab0”，正確；中逆命題不正確；中，14m，當m>0時，>0，原命題正確， 故其逆否命題正確；中原命題正確故逆否命題正確

6、答案B注意：名師一號P5 高頻考點 例1 規(guī)律方法在判斷四個命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應的有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；判定命題為真命題時要進行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念本身入手例1.(3) 名師一號P4 對點自測2(2014·陜西卷)原命題為“若z1，z2互為共軛復數(shù)，則|z1|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析易知

7、原命題為真命題，所以逆否命題也為真，設z134i，z243i，則有|z1|z2|，但是z1與z2不是共軛復數(shù)，所以逆命題為假，同時否命題也為假注意：名師一號P5 問題探究 問題2四種命題間關(guān)系的兩條規(guī)律(1)逆命題與否命題互為逆否命題； 互為逆否命題的兩個命題同真假(2)當判斷一個命題的真假比較困難時， 可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假 同時要關(guān)注“特例法”的應用例2(1)(補充)（2011山東文5)已知a，b，cR，命題“若=3，則3”的否命題是（ ）(A)若a+b+c3，則<3 (B)若a+b+c=3，則<3來源XK(C)若a+b+c3，則3 (D)若3，則a+b+c=3【答案】

8、A來【解析】命題“若，則”的否命題是：“若，則”例2(2)(補充)命題：“若，則或”的否定是：_【答案】若，則且【解析】命題的否定只改變命題的結(jié)論。注意： 命題的否定與否命題的區(qū)別（二）充要條件的判斷與證明例1.(1)(補充) （07湖北）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件?，F(xiàn)有下列命題：是的充要條件；是的充分條件而不是必要條件；是的必要條件而不是充分條件；的必要條件而不是充分條件；是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號是（ ）A. B. C. D. 答案: 注意：1、利用定義判斷充要條件名師一號P6 特色專題 方法一 定義法定義法就是將充要條件的判斷

9、轉(zhuǎn)化為兩個命題“若p，則q”與“若q，則p”的判斷，根據(jù)兩個命題是否正確，來確定p與q之間的充要關(guān)系 則是的充分條件； 是的必要條件2、利用逆否法判斷充要條件名師一號P6 特色專題 方法三 等價轉(zhuǎn)化法當所給命題的充要條件不好判定時，可利用四種命題的關(guān)系，對命題進行等價轉(zhuǎn)換常利用原命題與逆命題的真假來判斷p與q的關(guān)系令p為命題的條件，q為命題的結(jié)論，具體對應關(guān)系如下：如果原命題真而逆命題假， 那么p是q的充分不必要條件；如果原命題假而逆命題真， 那么p是q的必要不充分條件；如果原命題真且逆命題真， 那么p是q的充要條件；如果原命題假且逆命題假， 那么p是q的既不充分也不必要條件簡而言之,逆否法-

10、利用互為逆否的兩個命題的等價性例1.(2)名師一號P6 特色專題 例1(2014·北京卷)設an是公比為q的等比數(shù)列則“q>1”是“an為遞增數(shù)列”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】若q>1，則當a11時，anqn1，an為遞減數(shù)列，所以“q>1” “an為遞增數(shù)列”；若an為遞增數(shù)列，則當ann時，a1，q<1，即“an為遞增數(shù)列”/“q>1”故選D.例1.(3)名師一號P6 特色專題 例2(2014·湖北卷)設U為全集A，B是集合，則“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A

11、充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】如圖可知，存在集合C，使AC，BUC，則有AB.若AB，顯然存在集合C.滿足AC，BUC.故選C.例1.(4) 名師一號P4 對點自測5已知p：4<k<0，q：函數(shù)ykx2kx1的值恒為負，則p是q成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析:4<k<0k<0，k24k<0，函數(shù)ykx2kx1的值恒為負，但反之不一定有4<k<0，如k0時，函數(shù)ykx2kx1的值恒為負，即pq，而qp.可用定義或集合法注意：3、利用集合法判斷充要

12、條件名師一號P6 特色專題 方法二 集合法涉及方程的解集、不等式的解集、點集等與集合相關(guān)的命題時，一般采用集合間的包含關(guān)系來判定兩命題之間的充要性具體對應關(guān)系如下：若條件以集合的形式出現(xiàn)，結(jié)論以集合的形式出現(xiàn)，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判斷（1）若，則是的充分但不必要條件（2）若，則是的必要但不充分條件（3）若，則是的充要條件（4）若，且， 則是的既不必要也不充分條件(補充)簡記作-若A、B具有包含關(guān)系，則（1）小范圍是大范圍的充分但不必要條件（2）大范圍是小范圍的必要但不充分條件例2.名師一號P5 高頻考點 例3函數(shù)f(x)有且只有一個零點的充分不必要條件是()Aa0或a>

13、1 B0<a< C.<a<1 Da<0解析:因為f(x)有且只有一個零點的充要條件為a0或a>1.由選項可知，使“a0或a>1”成立的充分條件為選項D.注意：名師一號P5 高頻考點 例3 規(guī)律方法有關(guān)探求充要條件的選擇題，解題關(guān)鍵是：首先，判斷是選項“推”題干，還是題干“推”選項；其次，利用以小推大的技巧，即可得結(jié)論 務必審清題，明確“誰是條件”！ 此題選項是條件！練習：(補充)已知且，則是的 條件。答案: 既不充分條件也不必要條件例3.名師一號P6 特色專題 例3已知命題p：關(guān)于x的方程4x22ax2a50的解集至多有兩個子集，命題q：1mx1m，m

14、>0，若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍【規(guī)范解答】是的必要不充分條件，p是q的充分不必要條件對于命題p，依題意知(2a)24·4(2a5)4(a28a20)0，2a10，令Pa|2a10，Qx|1mx1m，m>0， 由題意知，或解得m9.因此實數(shù)m的取值范圍是m|m9注意：(補充)凡結(jié)合已知條件求參數(shù)的取值范圍是求滿足條件的等價條件即充要條件練習：(補充)已知.若是的必要但不充分條件，求實數(shù)的取值范圍解：是的必要但不充分條件即 且 等價于 即 是的充分但不必要條件令 則 即 解得 所以實數(shù)的取值范圍是注：A是B的真子集，須確保中的等號不同時取得例4. (補充)求證

15、：關(guān)于x的方程ax22x10至少有一個負根的充要條件是a1.證明：充分性：當a0時，方程為2x10的根為x，方程有一個負根，符合題意當a<0時，44a>0，方程ax22x10有兩個不相等的實根，且<0，方程有一正一負根，符合題意當0<a1時，44a0，方程ax22x10有實根，且，故方程有兩個負根，符合題意綜上：當a1時，方程ax22x10至少有一個負根必要性：若方程ax22x10至少有一個負根當a0時，方程為2x10符合題意當a0時，方程ax22x10應有一正一負根或兩個負根則<0或.解得a<0或0<a1.綜上：若方程ax22x10至少有一負根，則a1.故關(guān)于x的方程ax22x10至少有一個負根的充要條件是a1.注意：(補充)證明充要條件務必明確充分性和必要性并分別給予證明練習：(補充)已知是定義在R上的函數(shù)，求證：為增函數(shù)的充要條件是任意的分析：設：為增