四邊形難題綜合教師版

1、1如圖，在平行四邊形ABCD中，ABC=45°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AEBD，EFC=30°， AB=2.求CF的長【答案】2+2【解析】試題分析：易證四邊形ABDE是平行四邊形，則AB=DE=CD，過點E作EHBF于點H，解等腰直角三角形CEH得EH=CH=2，解FH=2，從而得CF=2+2試題解析：四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC，AB=DC.AEBD，四邊形ABDE是平行四邊形.AB=DE=CD，即D為CE中點.AB=2，CE=4.又ABCD，ECF=ABC=45°.如圖，過點E作EHBF于點H，CE=4，ECF=45°，EH=C

2、H=2.EFC=30°， FH=2， CF=2+2考點：1.平行四邊形的判定與性質(zhì)；2.含30度角直角三角形的性質(zhì)；3.等腰直角三角形的性質(zhì)2已知正方形ABCD，AB=8，點E、F分別從點A、D同時出發(fā)，以每秒1m的速度分別沿著線段AB、DC向點B、C方向的運動，設(shè)運動時間為t（1）求證：OE=OF（2）在點E、F的運動過程中，連結(jié)AF設(shè)線段AE、OE、OF、AF所形成的圖形面積為S探究：S的大小是否會隨著運動時間為t的變化而變化？若會變化，試求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不會變化，請說明理由連結(jié)EF，當(dāng)運動時間為t為何值時，OEF的面積恰好等于的S【答案】（1）見解析（2）見解析t為時

3、【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OA=OD，EAO=FDO=45°，求出AE=DF=t，根據(jù)SAS推出EAOFDO即可；（2）延長EO交DC于M，求出AOECOM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=CM=t，根據(jù)S=S四邊形AEMFSFOM求出即可；根據(jù)全等得出OE=OM，求出SEOF=SEFM=164t，即可得出方程164t=×16，求出即可（1）證明：四邊形ABCD是正方形，OA=OD，EAO=FDO=45°，點E、F分別從點A、D同時出發(fā)，以每秒1m的速度分別沿著線段AB、DC向點B、C方向的運動，設(shè)運動時間為t，AE=DF=t，在EAO和FDO中E

4、AOFDO（SAS），OE=OF；（2）解：S的大小不會隨著運動時間為t的變化而變化，理由是：延長EO交DC于M，四邊形ABCD是正方形，OAE=MCO=45°，OA=OC，在AOE和COM中AOECOM（ASA），AE=CM=t，S=S四邊形AEMFSFOM=（t+8tt）8×（8tt）4=16，所以S的大小不會隨著運動時間為t的變化而變化；AOECOM，OE=OM，SEOF=SFOM=SEFM=×（8tt）8=164t，OEF的面積恰好等于的S，164t=×16，解得：t=，即當(dāng)運動時間為t為時，OEF的面積恰好等于的S點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，

5、全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，能綜合運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，難度偏大3已知：如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，B=D（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）過點A作AEBC于E，AFCD于F，如圖2，若CF=2，CE=5，四邊形ABCD的周長為28求EF的長度【答案】（1）證明見解析（2）【解析】試題分析：（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”和已知條件判定“同旁內(nèi)角互補”，則兩直線平行得到ADBC，于是得到結(jié)論；（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到B=D，由于AEB=AFD=90°，得到ABEADF，得到，根據(jù)比例的性

6、質(zhì)得到，得到AD=2DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DAF=30°，D=60°，求出C=120°，由余弦定理求得結(jié)果試題解析：（1）證明：在四邊形ABCD中，ABCD，A+D=180°又B=D，A+B=180°，ADBC，四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：設(shè)BC=x，CD=y，x+y=14，BE+DF=14-（5+2）=7，四邊形ABCD是平行四邊形，B=D，AEB=AFD=90°，ABEADF，AD=2DF，DAF=30°，D=60°，C=120°，根據(jù)余弦定理得：EF2=52+22-2×5

7、×2cos120°=25+4+10=39，EF=考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)4（本小題滿分6分）如上圖，在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD90°，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H（1）求證:CFCH；（2）如下圖，ABC不動，將EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ACDM是菱形，證明見解析【解析】試題分析：菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：定義；四邊相等；對角線互相垂直平分具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定

8、（1）要證明CF=CH，可先證明BCFECH，由ABC=DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得B=E=45°，得出CF=CH；（2）根據(jù)EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形試題解析：（1）證明：ACB=ECD=90°,ACE+BCE=BCD+BCF,ACF=BCD,AC=CE=CB=CD,ACFDCH，CF=CH（2）四邊形ACDM是菱形；證明如下：ACB=90°，AC=CB，B=45°，ECD=90°,BCE=45°，BCD=45°

9、;,ABCD，同理ACDM，四邊形ACDM是平行四邊形AC=CD，四邊形ACDM是菱形考點：1菱形的性質(zhì)；2，全等三角形的判定與性質(zhì)5如圖，已知ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC（1）如圖1，過點A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD相交于點P，APD的度數(shù)是一個固定的值嗎？若是，請求出它的度數(shù)；若不是，請說明理由【答案】（1）CDF是等腰三角形；（2）APD=45°【解析】試題分析：（1）利用SAS證明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，

10、即可判斷三角形的形狀；（2）作AFAB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明AFD和BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，F(xiàn)DC=90°，即可得出FCD=APD=45°試題解析：（1）CDF是等腰三角形，理由如下：AFAD，ABC=90°，F(xiàn)AD=DBC，在FAD與DBC中，AD=BC，F(xiàn)AD=DBC，AF=BD，F(xiàn)ADDBC（SAS），F(xiàn)D=DC，CDF是等腰三角形；（2）作AFAB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖，AFAD，ABC=90°，F(xiàn)AD=DBC，在FAD與DBC中，AD=BC，F(xiàn)AD=DBC，AF=BD，F(xiàn)A

11、DDBC（SAS），F(xiàn)D=DC，CDF是等腰三角形，F(xiàn)ADDBC，F(xiàn)DA=DCB，BDC+DCB=90°，BDC+FDA=90°，CDF是等腰直角三角形，F(xiàn)CD=45°，AFCE，且AF=CE，四邊形AFCE是平行四邊形，AECF，ADP=FCD=45°考點：全等三角形的判定與性質(zhì)6（本題滿分10分）在ABCD中，ADC的平分線交直線BC于點E、交AB的延長線于點F，連接AC（1）如圖1，若ADC=90°，G是EF的中點，連接AG、CG求證：BE=BF請判斷AGC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若ADC=60°，將線段FB繞點F順時

12、針旋轉(zhuǎn)60°至FG，連接AG、CG那么AGC又是怎樣的形狀（直接寫出結(jié)論不必證明）【答案】（1）；是等腰直角三角形；（2）是等邊三角形【解析】試題分析：先判定四邊形ABCD是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再根據(jù)DF是的平分線，利用角平分線的定義得到，從而得到，然后根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明；連接BG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再求出，然后求出，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可；（2）連接BG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BFG是等邊三角形，再根據(jù)角平分線的定義以及平

13、行線的性質(zhì)求出，平行四邊形的對角相等求出，然后求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后求出，再求出，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，,， ，DF是的平分線，；是等腰直角三角形理由如下：連接BG，由知， ，G是EF的中點，又，在和中， ，又，即，是等腰直角三角形；（2）是等邊三角形考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；等腰直角三角形7（本題14分）如圖，直線：分別與軸、軸交于A、B兩點，與直線：交于點（1）求A、B兩點坐標(biāo)及、的

14、值；（2）如圖，在線段BC上有一點E，過點E作軸的平行線交直線于點F，過E、F分別作EH軸，F(xiàn)G軸，垂足分別為H、G，設(shè)點E的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時，矩形EFGH的面積為；（3）若點P為軸上一點，則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點Q，使得P、Q、A、B四個點能構(gòu)成一個菱形若存在，求出所有符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）A（8，0）；B（0，4）；（2）1或3 ；（3）（5，4）、（0，-4）、（，4）或（-，4）【解析】試題分析：（1）把點代入直線和，即可求得k和b的值，根據(jù)直線的解析式求得其與兩坐標(biāo)軸的交點A和B的坐標(biāo)；（2）用m的代數(shù)式分別表示點E和點F的坐標(biāo)，求出EF的

15、長，應(yīng)用矩形的面積公式表示矩形EFGH的面積，然后求出面積為時的m值；（3）分情況討論，當(dāng)PA=PB時，當(dāng)BP=BA時，當(dāng)AB=AP時，分別求出點Q的值試題解析：解：（1）把點代入直線和，可得，解得k=2，b=4，即，直線：與x軸的交點A的坐標(biāo)為A（8，0），與y軸的交點B的坐標(biāo)為B（0，4）；（2）由題意得，點E的坐標(biāo)為（m，），點F的坐標(biāo)為（m，2m-6），所以EF=，EH=m，所以矩形EFGH的面積為：S=m（），當(dāng)S=時，解得m=1或m=3，答：當(dāng)為1或3時，矩形EFGH的面積為；（3）當(dāng)PA=PB時，設(shè)OP=a，則PA=PB=8-a，在RtPAB中：，解得：，所以BQ=PA=5，得Q

16、（5，4），當(dāng)BP=BA時，因為PAOB，所以O(shè)P=OA=4，則Q、B關(guān)于x軸對稱，得Q（0，-4），當(dāng)AB=AP時，因為AB=，所以BQ=，得Q（，4）或（-，4），綜上：符合條件的Q點坐標(biāo)為（5，4）、（0，-4）、（，4）或（-，4）考點：待定系數(shù)法求解析式；坐標(biāo)與圖形8倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑下面是一案例，請同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問題習(xí)題 如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由解答：正方形ABCD中，AB=AD，BAD

17、=ADC=B=90°，把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ADE，點F、D、E在一條直線上EAF=90°-45°=45°=EAF，又AE=AE，AF=AFAEFAEF（SAS）EF=EF=DE+DF=BE+DF類比猜想：（1）請同學(xué)們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當(dāng)BAD=120°，EAF=60°時，還有EF=BE+DF嗎？請說明理由（2）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，B+D=180°，EAF=BAD時，EF=BE+DF嗎？請說明理由【答案】證明見解析【

18、解析】試題分析：（1）把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至ADE，如圖（2），連結(jié)EF，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE，EAF=EAF，利用“SAS”證明AEFAEF，得到EF=EF；由于ADE+ADC=120°，則點F、D、E不共線，所以DE+DFEF，即由BE+DFEF；（2）把ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)BAD的度數(shù)至ADE，如圖（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE，EAF=EAF，然后利用“SAS”證明AEFAEF，得到EF=EF，由于ADE+ADC=180°，知F、D、E共線，因此有EF=DE+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論試題解析：（1）當(dāng)BAD=