數(shù)分高代定理大全

1、數(shù)分高代定理大全高等代數(shù)第一章帶余除法對(duì)于P岡中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(X)與g(x)，其中g(shù)(x)=0,一定有Px中的多項(xiàng)式q(x),r(x)存在，使f(x)=q(x)g(x)r(x)成立，其中；：(r(x)：:;:(g(x)或者r(x)=O,并且這樣的q(x),r(x)是唯一決定的.定理1對(duì)于數(shù)域P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x),其中g(shù)(xp=O,g(x)|f(x)的充分必要條件是g(x)除f(x)的余式為零.定理2對(duì)于Px中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x),在Px中存在一個(gè)最大公因式d(x),且d(x)可以表示成f(x),g(x)的一個(gè)組合，即有Px中多項(xiàng)式u(x),v(x)使d(x)二

2、u(x)f(x)v(x)g(x).定理3Px中兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x)互素的充分必要條件是有Px中的多項(xiàng)式u(x),v(x)使u(x)f(x)v(x)g(x)=1.定理4如果(f(x),g(x)=1，且f(x)|g(x)h(x)，那么f(x)|h(x).定理5如果p(x)是不可約多項(xiàng)式，那么對(duì)于任意的兩個(gè)多項(xiàng)式f(x),g(x),由P(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x).因式分解及唯一性定理數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù)一1的多項(xiàng)式f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.所謂唯一性是說(shuō)，如果有兩個(gè)分解式f(x)=p'x)P2(x)LPs(x

3、Aq(x)q2(x)Lq(x),那么必有s二3并且適當(dāng)排列因式的次序后有Pi(x)"qdi-1,2,L,s,其中敢=1,2s)是一些非零常數(shù).定理6如果不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式(k_1),那么它是微商f(x)的k-1重因式.定理7(余數(shù)定理)用一次多項(xiàng)式x一：去除多項(xiàng)式f(x),所得的余式是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值f(J.定理8Px中n次多項(xiàng)式(n_0)在數(shù)域P中的根不可能多于n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算？定理9如果多項(xiàng)式f(x),g(x)的次數(shù)都不超過(guò)n,而它們對(duì)n?1個(gè)不同的數(shù)：1,：2±:-n1有相同的值，即fCi)=g(:i),i=1,2,Ln1,那么f

4、(x)=g(x).代數(shù)基本定理每個(gè)次數(shù)_1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根.復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理每個(gè)次數(shù)_1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理每個(gè)次數(shù)_1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積.定理10(高斯(Gauss)引理)兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式.定理11如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積.定理12設(shè)f(x)二anxn?axn)L-a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而r是它的有理根，s其中r,s互素，那么必有s|anJ|

5、a。.特別地，如果f(x)的首項(xiàng)系數(shù)a八1,那么f(x)的有理根是整根，而且是a。的因子.定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)設(shè)f(xanxnan4xnJL-a。是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù)p,使得1. pIan；2. p|anj,an2a。；3. p2|a。那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約的第二章定理 1 對(duì)換改變排列的奇偶性.定理 2 任意一個(gè)n 級(jí)排列與排列12L n 都可以經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換互變，并且所作對(duì)換的個(gè)數(shù)與這個(gè)排列有相同的奇偶性.aiia21Ma12a22Ma1 na2n）A表示兀素a的代數(shù)余子式，則下列公式成Man2a nn_ d,當(dāng) k ",-3

6、klAi1 ' 3k2Ai2 L 'akn Ain0,當(dāng)k =i.ai|A|j a2lA2janl Anj_ d,當(dāng) 1 =j,-0, 當(dāng) 1 = j.定理4（克拉默法則）如果線性方程組a11x1*a12x2+L+a1nXn=b1,a21x1*a22x2*L*a2nxn=b2,LLLLa1n I32nMaMX1?an2X2Lannkbnan312的系數(shù)矩陣A二a21322MM_anan2ann1那么該線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以通過(guò)系數(shù)表為X1=蟲(chóng),X2=吐，Xn二蟲(chóng)，其中dj是把矩陣A中第j列換成方程組的常數(shù)項(xiàng)dddb1,b2,L,bn所成的行列式，即aiiLai,

7、j j D ai,j i L ama21 L a2,j 二 b2 a2,j 1 L a2ndjM,j = 1,2,L , n. M M M ManiLan,jjbnan,jiLann定理5如果齊次線性方程組匕彳卜橙+a12X2+L+a1nXn=0,a2iXi*a22X2+L*a2nXn=°,LLLLaniXi+an2X2+L+annXn=O的系數(shù)矩陣的行列式AAO5那么它只有零解.換句話說(shuō)，如果該方程組有非零解，那么必有A=0.定理6（拉普拉斯定理）設(shè)在行列式D中任意取定了k（1乞k乞n-1）個(gè)行.由這k行元素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.a 一 11

8、a12L定理7兩個(gè)n級(jí)行列式D1 =a21a22LMMan1an 2LC11LC12q na .1nbnb12La 2n和D2 =b21b22LMMMa nnbn1bn2Lbb2rM1r乘積等于一個(gè)n級(jí)行列式C =C21C22 LC2nM MCn1 Cn2 LCnn中 Ci,是D1的第1仃兒素分別與D2的第j列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和：Cj二屬+a2b2j+L+ainbnj.AVV*不早定理1在齊次線性方程組印1為+印2乂2+L+amXn=0,a2lXi+a22X2+L+a2nXn=0,LLLLaniXian2X2LannXn=0中，如果s<n,那么它必有非零解定理2設(shè)ai,a2L,ar與bi

9、,b>,L,br是兩個(gè)向量組，如果1）向量組可以經(jīng)ti,t2,L,tr線性表出,2)r>s,那么向量組ai,a2L,ar必線性相關(guān).定理3一向量組的極大線性無(wú)關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量定理4矩陣的行秩與列秩相等.a.ii定理5n'n矩陣a-ci2a21a22a2n_ani an2ann的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n.定理6一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個(gè)r級(jí)子式不為零,定理7aX a2X2 L a2i時(shí)所有r+1級(jí)子式全為零.（線性方程組有解判別定理）線性方程'ainxn二biXi822X2LL L L LXi +an2X2+ L +a nnXn=

10、0a.iiai2a2ia22Usias2a2nXnama2na sna.iiai2與增廣矩陣A =a2iasi有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩a22as2a nbja2nb2M Masn bs它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解a.ni系所含解的個(gè)數(shù)等于n-r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩.aiiXi+ai2X2+L+ainXn=bi,A =定理9如果r0是方程組有相同的a2iXA +a22xA +L *a2nXn =b2,砧 人吐肥耐/、廣-的一篦鬟萬(wàn)定理8在齊次線性方程組有非零解的情況下,LLLLUniXi+an2X2+L+a.nXn=g程組的任一個(gè)解都可以表成r=r0+h，其中h是導(dǎo)出組+a12x2+L+a

11、1nxn=0,32倩+a22x2+L+舫&=0,的一個(gè)解.因此，對(duì)于方程組的任一個(gè)特解r0,當(dāng)h取LLLL耳必+an2X2+L+annXn=0遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，r二r0+h就給出本方程組的全部解.第四章定理1設(shè)A,B是數(shù)域P上的兩個(gè)nF矩陣，那么AB|=A|B?,即矩陣的乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.定理2設(shè)A是數(shù)域P上n'm矩陣，B是數(shù)域P上m's矩陣，于是秩(AB)£min秩(A),秩(B)，即乘積的秩不超過(guò)各因子的秩.定理3矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化，而a-1=#a*(d=a?0).定理4a是一個(gè)s'n矩陣，如果p是s&

12、#39;s可逆矩陣，q是n'n可逆矩陣，那么秩(A尸秩(PA尸秩(AQ).定理5任意一個(gè)s'n矩陣A都與一形式為的矩陣等價(jià)，它稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形，主對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)等于A的秩(1的個(gè)數(shù)可以是零).定理6n級(jí)矩陣A為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：A=QQ2LQm第五章定理1數(shù)域p上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性替換變成平方和曲壇+1就定理2在數(shù)域p上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)角矩陣.定理3任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，經(jīng)過(guò)一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的。定理4任意一個(gè)實(shí)數(shù)域上的二次型，經(jīng)過(guò)一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換可以變成規(guī)范形，且規(guī)范形

13、是唯一的。定理5(1)任一復(fù)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣；，其中，對(duì)角線上i的個(gè)數(shù)r等于a的秩.(2)任一實(shí)對(duì)稱矩陣A都合同于一個(gè)下述形式的對(duì)角矩陣：,其中對(duì)角線上1的個(gè)數(shù)p及-1的個(gè)數(shù)rp(r是a的秩)都是唯一確定的,分別稱為A的正、負(fù)慣性指數(shù)?它們的差2p-r稱為A的符號(hào)差?定理6n元實(shí)二次型是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于n.定理7實(shí)二次型nnf(xiX2,L,xn尸遛ajjXjXj=XXx''i=1j=1是正定的充分必要條件為矩陣A的順序主子式全大于零定理8對(duì)于實(shí)二次型f(x,，X)=XAX,其中A是實(shí)對(duì)稱的，下列條件等價(jià)：(1f(x,人)是半正定的

14、，)它的正慣性指數(shù)與秩相等,有可逆實(shí)矩陣C,使(2)d2CAC二dn其中，d-o1,2,n(4) 有實(shí)矩陣C使A=CC，(5) A的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理1如果在線性空間V中有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量'1/2n,且V中任一向量都可以用它們線性表出，那么V是n維的，而-12an就是V的一組基.定理2如果線性空間V的非空子集合W對(duì)于V的兩種運(yùn)算是封閉的，那么W就是一個(gè)子空間.定理31)兩個(gè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià).2)f1乙，)的維數(shù)等于向量組：1/2A：r的秩.定理4設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)m維子空間，：1,2八：m是W的一組基，那么這組向量

15、必定可擴(kuò)充為整個(gè)空間的基.也就是說(shuō)，在V中必定可以找到n_m個(gè)向量ml,：m2,n,使得、2廠n是V的一組基.定理5如果”是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么它們的交VV2也是V的子空間.定理6如果VV是V的子空間，那么它們的和UV也是V的子空間.定理7（維數(shù)公式）如果MM是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么維（y）+維（V2）=維（VV2）+維（yV2）.定理8和*5是直和的充分必要條件是等式:ji2二0,:iVi（i=1,2）只有在，全為零向量時(shí)才成立.定理9設(shè)VV是V的子空間，令wV2,則w=乂二V2的充分必要條件為維（W）=維（y）+維（V2）.定理10設(shè)u是線性空間V的一個(gè)子空間，那么一定存在一

16、個(gè)子空間W使v=u-w.定理11wNs是V的一些子空間，下面這些條件是等價(jià)的：1） ）W=AVi是直和；2） 零向量的表法唯一；3） VixVj±0?（i=1,2,s）;j工4） 維（w）=、'維（V）.定理12數(shù)域P上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù).第七章定理1設(shè)1,2,.；n是線性空間V的一組基，：仆，是V中任意n個(gè)向量.存在唯一的線性變換，使，i十，i=1,2,6定理2設(shè)1,仝,，；n是數(shù)域P上n維線性空間V的一組基，在這組基下，每個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)一個(gè)nn矩陣.這個(gè)對(duì)應(yīng)具有以下的性質(zhì)：1) )線性變換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和；2) 線性變換的乘積對(duì)應(yīng)于矩

17、陣的乘積；3) 線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；4) 可逆的線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣定理3設(shè)線性變換，在基1,-，m下的矩陣是A,向量？在基；1,-，力下的坐標(biāo)是(X1,X2,，xj,則廠在基1,2,，；n下的坐標(biāo)(,2,，n)可以按公式定理4設(shè)線性空間V中線性變換公在兩組基(6)1,2,，n下A7陣分另I為A和B,從基(6)到基(7)的過(guò)渡矩陣是X,于是B=XAX.定理5線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作同一個(gè)線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣定理6相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.哈密爾頓凱萊(Hamilton-Cayla

18、y)定理設(shè)A是數(shù)域P上一個(gè)nn矩陣,f(J=|'E_A|是A的特征多項(xiàng)式，則f(A)=人廠佝1a22an)An(-1)nAE=O.定理7設(shè)二是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，的矩陣可以在某一組基下為對(duì)角矩陣的充分必要條件是，Z有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.定理8屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.定理9如果d，鼻是線性變換Z的不同的特征值，而：“，：飛是屬于特征值，的線性無(wú)關(guān)的特征向量,i=1/',k,那么向量組：w,，5,，：；，：嘰也線性無(wú)關(guān).定理10設(shè)，是n維線性空間V的線性變換，1,；2,，；n是V的一組基，在這組基下，的矩陣是A,則1)，的值域ZV是由基像組生成的子空間，

19、即.-V二L(m，=；n).2)二的秩二A的秩.定理11設(shè)，是n維線性空間V的線性變換，則=V的一組基的原像及2-(0)的一組基合起來(lái)就是V的一組基.由此還有_L的秩的零度=n.定理12設(shè)線性變換公的特征多項(xiàng)式為f(-),它可分解成一次因式的乘積則V可分解成不變子空間的直和V=乂二V2二-Vs，其中V二1(一；i)"=0-V?.定理13設(shè)二是復(fù)數(shù)域上線性空間V的一個(gè)線性變換，則在V中必定存在一組基，使，在這組基下的矩陣是若爾當(dāng)形矩陣.定理14每個(gè)n級(jí)復(fù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似.定理15數(shù)域P上n級(jí)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件為A的最小多項(xiàng)式是P上互素的一次因式的乘積.第八

20、章定理1一個(gè)nF的I-矩陣A(l)是可逆的充分必要條件為行列式|A(I)|是一個(gè)非零的數(shù).定理2任意一個(gè)非零的S'n的I-矩陣A(l)都等價(jià)于下列形式的矩陣其中r?1d(l)(i1,2,r)是首相系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且q(i)iq+1(i),(i=1,2L,r-1).定理3等價(jià)的I-矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí)行列式因子.定理4I-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的.定理5兩個(gè)l-矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子?定理6矩陣A(l)是可逆的充分必要條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積定理7設(shè)a,b是數(shù)域p上的兩個(gè)n'n矩陣.a與b相似的充分必要條件是它們

21、的特征矩陣lE-A和IE-B等價(jià)?定理8兩個(gè)同級(jí)復(fù)數(shù)矩陣B相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子?定理9首先用初等變換化特征矩陣IE-A為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式方幕的乘積，則所有這些一次因式的方幕(相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算)就是A的全部初等因子.定理10每個(gè)n級(jí)矩陣的復(fù)數(shù)矩陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的，它稱為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.定理11設(shè)二是復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換，在V中必定存在一組基，使Z在這組基下的矩陣是若爾當(dāng)形，并且這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被，唯一決定的.定理12

22、復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是，A的初等因子全為一次的.定理13復(fù)數(shù)矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是，A的不變因子都沒(méi)有重根.定理14數(shù)域P上n'nP$A在P上相似于唯一的一個(gè)有理標(biāo)準(zhǔn)形，稱為A的有理標(biāo)準(zhǔn)形.定理15設(shè)二是數(shù)域p上n維線性空間的線性變換，則在V中存在一組基，使Z在該基下的矩陣是有理標(biāo)準(zhǔn)形，并且這個(gè)有理標(biāo)準(zhǔn)形由，唯一決定，稱為Z的有理標(biāo)準(zhǔn)形.第九章定理1n維歐式空間中任一個(gè)正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基定理2對(duì)于n維歐式空間中任意一組基，知一，；n,都可以找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基人鴿，人，使L(e)q,L斥)二L(h1,h2,L)h1),i=1,2L,n.定理3兩

23、個(gè)有限維歐式空間同構(gòu)的充分必要條件是它們的維數(shù)相同.定理4設(shè)二是n維歐式空間v的一個(gè)線性變換，于是下面四個(gè)問(wèn)題是相互等價(jià)的：(1)，是正交變換；(2)A保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于a嵋/,a|二叵；(3)如果1,2,n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么笛)Aq,L,Aen也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；(4)A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.定理5如果子空間乂八，Vs兩兩正交，那么和V1+V2+L+Vs是直和.定理6n維歐式空間V的每一個(gè)子空間V!都有唯一的正交補(bǔ).定理7對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A,都存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T,使TACT=T-1AT成對(duì)角形.nn定理8任意一個(gè)實(shí)二次型邋aijXiXj,aij=ajii=1

24、j=1都可以經(jīng)過(guò)正交的線性替換變成平方和11y2+12y2+L+lny2，其中平方項(xiàng)的系數(shù)1？1n就是矩陣A的特征多項(xiàng)式全部的根.第十章定理1設(shè)v是P上一個(gè)n維線性空間，1，;”,;n是v的一組基，%a2,a!是P中任意n個(gè)數(shù)，存在唯一的V上線性函數(shù)f使f(e)=a，i=1,2L,n.定理2L(V,P)的維數(shù)等于V的維數(shù)，而且f1，f2，L，fn是L(V,P)的一組基.定理3設(shè)1,2廠，及1,2，n是線性空間V的兩組基，它們的對(duì)偶基分別為f1,f2，L,fn及91,0?,L,91.如果由3,2,，；n到1,2,n的過(guò)渡矩陣為A,那么由f1,f2,L,fn到g,場(chǎng),L,g的過(guò)渡矩陣為(A滬.定理

25、4V是一個(gè)線性空間，V*是V的對(duì)偶空間的對(duì)偶空間.V到V*的映射是一個(gè)同構(gòu)映射.X?X定理5設(shè)V是p上n維線性空間，f(a,b)是V上對(duì)稱雙線性函數(shù)，則存在v的一組基1,2，力，使f(a,b)在這組基下的度量矩陣為對(duì)角矩陣.數(shù)學(xué)分析第一、二章定理1.1（確界原理）設(shè)S為非空數(shù)集?若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界?定理2.1數(shù)列CaJ收斂于a的充要條件是：Can-a為無(wú)窮小數(shù)列.收斂數(shù)列的性質(zhì)：定理2.2（唯一性）若數(shù)列Caj收斂，則它只有一個(gè)極限.定理2.3（有界性）若數(shù)列faj收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M,使得對(duì)一切正整數(shù)n有|aAM.定理2.4（保號(hào)性）若uman

26、=a>0（或v0）,則對(duì)任何a"w（0,a）（或2八（a,0），存在正數(shù)N,使得當(dāng)n?N有ana（或a*：a）.定理2.5（保不等式性）設(shè)：an與：坷均為收斂數(shù)列.存在正數(shù)No,使n?N。時(shí)有an蘭bn,則限弘蘭nmbn.定理2.6（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列：aj,f：bn）都以a為極限，數(shù)列cj滿足：存在正數(shù)N。，當(dāng)n>No時(shí)有a.蘭Cn蘭0,貝擻列cj收斂，且=a.定理2.7（四則運(yùn)算法則）若aj與收斂，則數(shù)列a*+bn>,a*bn,an'bn也都是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im（an二bn）二liman二limbnn：n廠n:Hm?bn）Jim：annmbn特別當(dāng)bn

27、為常數(shù)C時(shí)有nim（ an C） Jim：an C，nmcancnman.若在假設(shè)bn=0及l(fā)imbn=0，則an也是收斂數(shù)列，且有l(wèi)im蟲(chóng)二liman.limbn.5bn5bnnY/nw定理2.8數(shù)列fa”?收斂的充要條件是：£?的任何非平凡子列都收斂.定理2.9(單調(diào)有界定理)在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.定理2.10(柯西收斂法則)數(shù)列曲收斂的充要條件是：對(duì)任何給定的；：0，存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n,maN時(shí)有a”-amc名.第三章定理3.1limf(x)=A：=limf(x)=limf(x)=A.X-Aoax0-函數(shù)極限的性質(zhì)：定理3.2(唯一性)若極限limf(x)存在

28、，則此極限是唯一的.AAX0定理3.3(局部有界性)若limf(x)存在，則f在X。的某空心鄰域U。(X。)內(nèi)有界.定理3.4(局部保號(hào)性)若limf(x)=A»0(或<0),則存在任何正數(shù)rcA(或AX)：-A)存在U0(X。)，使得對(duì)一切XU0(X。)有f(X)r0(或f(x)：一r:0).定理3.5(保不等式性)設(shè)limf(x)與limg(x)都存在，且在某鄰域xU0(x0;、)有f(x)<g(x),則limxfJX(0x)空l(shuí)imAJKgQ(x).定理3.6(迫斂性)設(shè)limf(x)=limg(x)二A,且在某xUQ(x°A)內(nèi)有f(x)三h(x)三g(

29、x),則有l(wèi)imh(x)=A.XTX3定理3.7(四則運(yùn)算法則)若極限limf(x)與limg(x)都存在，貝U函數(shù)f_g，fgXJXQXJX)當(dāng)X"X0時(shí)極限也存在，且1) limf(x)_g(x)=limf(x)-limg(x)；a-%QXJ>XSq0aaxq2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；x%XXQX>XQ又若limg(x)=0,則fg當(dāng)x;x。存在，且有l(wèi)imdlim3) f(x),；g(x).xog(x)x必lim定理3.8(歸結(jié)原則)設(shè)f在X?U0(x0；.)厥t散.limf(x)存在的充要條件o八0是：對(duì)任何含于xU0(x)八)內(nèi)

30、且以xo為極限的數(shù)列xj,極限limf(xn)都存在且相等.x=x)定理3.9設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某空心右鄰域U0(玄)有定義.limf(x)二A的充要條件是:對(duì)任彳以X。為極限的遞減數(shù)列：Xn；=UO(x。)，有l(wèi)imfx今An_定理3.10設(shè)f為定義在U0(x。)上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限limf(x)存在.十定理3.11(柯西準(zhǔn)則)設(shè)函數(shù)f在Uxoi)內(nèi)有定義.limf(x)存在的充要條*件是：任給；0,存在正數(shù)(-)，使得對(duì)任何x,X5(x)a)有If(X)-f(X)卜：；.定理3.12設(shè)函數(shù)f,g,h在U0(x0)內(nèi)有定義，且有f(x)g(x)(x；X0).(i)若limf(x)h(x

31、)=A，貝Ulimg(x)h(x)二A；八X0x一;K0(ii)若lim凹二B,則lim回二B.T0f(x)xfg(x)定理3.13(i)設(shè)f在U0(X0)內(nèi)有定義且不等于0.若f為x>X0時(shí)的無(wú)窮小量,1則一為X;X0時(shí)的無(wú)窮大量.f1(ii)若g為xx0時(shí)的無(wú)窮大量，則一為Xx0時(shí)的無(wú)窮小量.第四章定理4.1函數(shù)f在點(diǎn)X。連續(xù)的充要條件是：f在點(diǎn)X。既是右聯(lián)系，又是左聯(lián)系.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：定理4.2(局部有界性)若函數(shù)f在點(diǎn)X。連續(xù)，則f在某U(Xo)內(nèi)有界.定理4.3(局部保號(hào)性)若函數(shù)f在點(diǎn)X。連續(xù)，則f(x)AO(或v0),則對(duì)任何正數(shù)r：:f(Xo)(或r：:-f(X。)，存

32、在某U(Xo),使得對(duì)一切xU(X0)<f(x)r(或f(x)：-r).定理4.4(四則運(yùn)算)若函數(shù)f和g在點(diǎn)X0連續(xù)，則f_g,fg,fg(g(xo)=o)也都在點(diǎn)X0連續(xù).定理4.5若函數(shù)f在點(diǎn)xo連續(xù)，g在點(diǎn)uo連續(xù)，u。=f(X。)，則復(fù)合函數(shù)gf在點(diǎn)Xo連續(xù).定理4.6(最大、最小值定理)若函數(shù)f在閉區(qū)間la,b1上連續(xù)，則f在la,b1上有最大值和最小值.定理4.7(介值性定理)設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間l.a,b1上連續(xù)，且f(a)=f(b).若u為介于f(a)與f(b)之間的任何實(shí)數(shù)(f(a):u:f(b)或f(a)uf(b),則至少存在一點(diǎn)xAiab使得f(x)=u.定理4.8若

33、函數(shù)f在l.a,b上嚴(yán)格單調(diào)并連續(xù)，則反函數(shù)f,在其定義域lf(a),f(b)1或If(b),f(a)1上連續(xù).定理4.9(一致連續(xù)性定理)設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間l.a,b1上連續(xù)則f在1abl上一致連續(xù).定理4.10設(shè)a0，:-，:為任意實(shí)數(shù)，則有aa-二a,(aV二a'.定理4.11指數(shù)函數(shù)ax(a0)在R上是連續(xù)的.定理4.12一切基本初等函數(shù)都是其定義域上的連續(xù)函數(shù).定理4.13任何初等函數(shù)都是在其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).第五章定理5.1若函數(shù)f在點(diǎn)次可與，則f在點(diǎn)X0連續(xù).定理5.2若函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域內(nèi)有定義，則f(xo)存在的充要條件是f(xo)與f_(xo)都存在

34、，且f(xo)=f_(xo).定理5.3(費(fèi)馬定理)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)xo可尋.若點(diǎn)xo為f的極值點(diǎn)，則必有f(xo八。.定理5.4(達(dá)布定理)若函數(shù)f在la,b上可與，且f.(a)=f_(b),k為介于f(a),f_(b)之問(wèn)任一實(shí)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)三a,b,使得f)=k.定理5.5若函數(shù)u(x)和v(x)在點(diǎn)xo可與，則函數(shù)f(x)=u(x)_v(x)在點(diǎn)x?？膳c，且f(Xo)(xo)_v(xo).定理5.6若函數(shù)u(x)和v(x)在點(diǎn)xo可與，則函數(shù)f(x)二u(x)v(x)在點(diǎn)x。可與，且f(x)八U(x)V(Xo)U(Xo)V(Xo).定理5.7若函數(shù)u(x)和

35、v(x)在點(diǎn)x?？捎汕襳(xob八o,則f(x)二咚在點(diǎn)x?？蓈(x)fu(xo)v(Xo)-U(Xo)v(xo)導(dǎo)，且f(xo)二2v(Xo)定理5.8設(shè)丫=f(x)為x=(y)的反函數(shù)，若(y)在點(diǎn)yo的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)且(yo尸0,貝Uf(x)在點(diǎn)xo(X。(y。)可與，且1f(Xo)：(Yo).定理5.9設(shè)U八(x)在點(diǎn)Xo可與，y=f(u)在點(diǎn)Uo二(Xo)可與，則復(fù)合函數(shù)f*在點(diǎn)X?？膳c，且(fj(Xo)=f(Uo)"八)=fc(xo)r(Xo).定理5.10函數(shù)f在點(diǎn)xo可微的充要條件是函數(shù)f在點(diǎn)X?？膳c，而且.：y二A=x：(=x)中的A等于f(Xo).第六章定

36、理6.1(羅爾中值定理)若函數(shù)f滿足如下條件：f在閉區(qū)間lab1上連續(xù)；(ii)f在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)可與；(iii)f(a)二f(b),則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)？，使得f(A0.定理6.2(拉格朗日中值定理)若函數(shù)f滿足如下條件：f在閉區(qū)間la,b1上連續(xù)；(ii)f在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)可與；則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()七'b二/a”.ba定理6.3設(shè)f(x)在區(qū)間I上可與，則f(x)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是f(x)-0(乞0).定理6.4若函數(shù)f在a,b內(nèi)可與，則f在a,b內(nèi)嚴(yán)格遞增(遞減)的充要條件是：(i)對(duì)一切xa,b,有f(x)0(f(x)八。)；(ii)在a,b內(nèi)

37、的任何子區(qū)間上f(x)不恒為0.定理6.5(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)f和g滿足(i)在a,b1上都連續(xù)；(ii)在a,b內(nèi)都可與；(iii)f(x)和g(x)不同時(shí)為零；(IV)g(a)=g(b),則存在-a,b,使得g牡)g(b)-g(a)定理6.6若函數(shù)f和g滿足：(i)limf(x)二limg(x)=0;(ii)在點(diǎn)xo的某空心鄰域U(xo)內(nèi)兩者都可與，且g(x)=0;(iii)lim兇二A(A可為實(shí)數(shù)，也可為二二或：)，I。g"(x)則limf(x)Jimf(x)=A.x%g(x)x%g(x)定理6.7若函數(shù)f和g滿足：(i) limf(x)limg(x)=:；AxAAxo(i

38、i) 在X。的某右鄰域U°(x。)內(nèi)兩者都可與，且g(x)=0；(iii)lim葉衿二A(A可為實(shí)數(shù)，也可為一：或：)，F(xiàn)glx)則lim他=lim3=A.X兩g(x)Xfg(x)定理6.8若函數(shù)f在點(diǎn)x。存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則f(x)=Tn(x):(x-x。)即f(x)=f(x)f(X)(X-Xo)f-("(x_滄)2f(X-X)n:(x-X)n)2!n!定理6.9(泰勒定理)若函數(shù)f在l.a,b1上存在直至n階的連續(xù)與函數(shù)，在a,b內(nèi)存在(n1)階與函數(shù)，則對(duì)任意給定的x,x0?a,b1,至少存在一點(diǎn)a,b,使得f(X0)y2.f(X。).f(nT)f(x)=f(x)f(

39、X)(X-Xo)。(X-X。)0(X-X)(X-X)2!n!(n+1)!定理6.10(極值的第一充分條件)設(shè)£在點(diǎn)X。連續(xù)，在某鄰域U0(X。-)內(nèi)可與.(i)若當(dāng)X?(Xo-,Xo)時(shí)f(x)_0,當(dāng)X?(Xo,Xor)時(shí)f(x)_0，則f在點(diǎn)X。取得極小值?(ii)若當(dāng)X(x。-、.，Xd)時(shí)f(x)_0,當(dāng)x(Xo,Xd、)時(shí)f(X)_0，則f在點(diǎn)Xo取得極大值?定理6.11(極值的第二充分條件)設(shè)f在x。的某鄰域U(Xd;.)內(nèi)存在一階可尋,在x=x。處二階可與，且f(x)=0,(x)=0.(i)若f(x):0,則f在點(diǎn)X。取得極大值.(ii)若f(x)?0,則f在點(diǎn)X。取得

40、極小值.定理6.12(極值的第三充分條件)設(shè)£在X。的某鄰域內(nèi)存在直到n-1階導(dǎo)函數(shù)，在X。處n階可由且f(k)(X0)=0(k=1,2,)n-1),f(X0)=0則(i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f在點(diǎn)X。取得極值，且當(dāng)f(x。)：0時(shí)取得極大值，f(n)(X0)0時(shí)取得極小值.(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f在點(diǎn)X。處不取得極值.定理6.13設(shè)f為區(qū)間I上的可與函數(shù)，則下述判斷互相等價(jià)：1f為I上的凸函數(shù)；2為|上的增函數(shù)；3對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,X?,有f(x2)-f(xjf(xj(x2-xj.定理6.14設(shè)f為區(qū)間I上的二階可與函數(shù)，則在I上f為凸(凹)函數(shù)的充要條件是fr(xp>0(f&

41、quot;(x)0),xEI.定理6.15若f在X。二階可導(dǎo)，則(X。,f(X。)為曲線y=f(X)的拐點(diǎn)的必要條件是f(x)二0.定理6.16設(shè)f在X?？膳c，在某鄰域U(x。)內(nèi)二階可與.若在U.(X。)和U_(x。)上f(x)的符號(hào)相反，則(x。,f(X0)為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).第七章定理7.1(區(qū)間套定理)若CIan,bj)是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)，使得：三a,bnJ,n=1,2，)即an_-bn,n=1,2，)定理7.2(魏爾斯特拉斯聚點(diǎn)定理)實(shí)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚占八、?定理7.3(海涅-博雷爾有限覆蓋定理)設(shè)H為閉區(qū)間l.a,bl的一個(gè)(無(wú)限)開(kāi)

42、覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間來(lái)覆蓋la,b.有界性定理若函數(shù)f在閉區(qū)間la,b上連續(xù)，則f在la,b上有界.最大、最小值定理若函數(shù)f在區(qū)間la,b1上連續(xù)，則f在la,b1上有最大值和最小值.介值性定理設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間la,b上連續(xù)，且f(a尸f(b).若u介于f(a)與f(b)之間的任意實(shí)數(shù)(f(a)cuvf(b)或f(a)>u>f(b),則存在Xq三i:a,b,使得f(X。)=u.一致連續(xù)性定理若函數(shù)f在區(qū)間l.a,b1上連續(xù)，則f在區(qū)間l.a,b上一致連續(xù).第八章定理8.1若函數(shù)f在區(qū)間I上的連續(xù)，則f在I上存在原函數(shù)F,F(x)二f(x),xI.定理8.2設(shè)F是f在區(qū)間

43、I上的一個(gè)原函數(shù)，則(i)FC也是f在|上的原函數(shù)，其中C為任意常量函數(shù)；(ii)f在I上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間，只可能差一個(gè)常數(shù).定理8.3若函數(shù)f與g在區(qū)間I上都存在原函數(shù)，K,k2為兩個(gè)任意常數(shù)，則k1fk2g在I上也存在原函數(shù)&f(x)k2g(x)dx=kf(x)dxk2g(x)dx.定理8.4(換元積分法)設(shè)g(u)在-I上有定義，u二(x)在la,b上可與，且aM申(x)蘭0,x?Ia,b，并記f(x)=g(申(x)?(x).(i)若g(u)在L:加1存在原函數(shù)G(u),則f(x)在la,b也存在原函數(shù)F(x),F(xG(x)C即f(x)dx二g(x)(x)dx二g(u)du

44、=G(u)C=G(x)C.(ii)又若(x)=0,xl.a,b1,則上述命題(i)可逆，即當(dāng)f(x)在l.a,bl存在原函數(shù)F(x)時(shí)，g(u)在!.：/1也存在原函數(shù)G(u),且G(u>F(u),C即g(u)du二jg(x)(x)dx二jf(x)dx=F(x)C=F(u)C.定理8.5(分部積分法)若u(x)與v(x)可與，不定積分u(x)v(x)dx存在，則u(x)v(x)dx存在，并有u(x)v(x)dx二u(x)v(x)-u(x)v(x)dx.第九章定理9.1若函數(shù)f在la,b1上連續(xù)，且存在原函數(shù)F,即F*)fx),xl.a,bl,則f在la,b1可積，且"f(x)=F(b)-F(a).a定理9.2若函數(shù)f在l.a,b1上可積，則f在l.a,b