非線性時間序列模型的波動性建模(中)

1、非線性時間序列模型的波動性建模Song-Yon Kim and Mun-Chol Kim朝鮮平壤 金日成綜合大學 數(shù)學學院本文出自于2011年5日朝鮮平壤舉行的第一屆PUST國際會議本版修訂于2013年11月3日摘要：在本文中的非線性時間序列模型被用來描述金融時間序列數(shù)據(jù)的波動。描述兩種由波動的非線性時間序列組合成TAR（閾值自回歸模型）與AARCH（非對稱自回歸條件異方差模型）的誤差項和參數(shù)估計的研究。關鍵詞：非線性時間序列模型；波動；ARCH（自回歸條件異方差模型）；AARCH；TAR；QMLE（擬極大似然估計）一 介紹在金融市場中，資產(chǎn)價格的波動是一個極其重要的變量，其建模在投資，貨幣政

2、策，金融風險管理等方面中有重要意義在投資持有期的資產(chǎn)價格波動的一個很好的預測是評價投資風險的一個很好的起點。資產(chǎn)價格波動是金融衍生證券定價的最重要的變量。對于定價我們需要知道的波動性范圍是從現(xiàn)在相關資產(chǎn)，直至期權到期。事實上，市場慣例是根據(jù)波動單位列出價格期權。如今，波動性的定義和測量可能在衍生工具合約明確規(guī)定。在這些新的合同，波動成為潛在的“資產(chǎn)”。 波動率模型已成為一個在金融時間序列模型分析的主要對象并且使許多科學家沉浸其中。1973年，金融數(shù)學由Black和Scholes 1帶領進入了一個新階段。他們用該持有人的隨機分析理論來估算期權的價格，股份持有人有權用預定價格為K在預定的未來時間T

3、 +而不是目前的時間T買一個商品（或相關資產(chǎn)）與（這種選擇被稱為歐式期權。）假設相關資產(chǎn)的動態(tài)價格。根據(jù)風險中性測度。在這里，r（短期利率），是常數(shù)，為標準維納過程。則時間t期權價值的如下1：（公式）這里和參數(shù)是唯一未知。其中稱為波動，在上面的公式中所示，準確估計成為期權定價和估計的一個非常重要的問題。此外，如對關聯(lián)時間t的波動t的估計等問題開始提出。1982，羅伯特恩格爾提出了一個新的模型來用一個更準確的方法 7 對波動作出估計。他重視ARCH模型中的誤差項，這是大多線性時間序列模型如AR、ARMA、ARIMA等所忽略的。同時他提出一種新的非線性模型，通過相加取代簡單的白噪聲，誤差項的條件異

4、方差性偏差的變化自動回歸。誤差項的條件異方差性偏差的 自動回歸1986年，Bollerslev將Engle的 ARCH (q模型修改變?yōu)镚ARCH (p, q model 8.在他的論文中，他提出了GARCH（1，1）過程中的存在，靜止狀態(tài)和MLE（最大似然估計）。此后，大量ARCH模型相繼被開發(fā)出來，例如ARCH-M，IGARCH和LogGARCH等。在整個研究中，波動性已被證明是更受“壞消息”，而不是“好消息”的影響，也就是說，是不對稱的，這導致對非對稱模型的研究。1991年，Nelson提出了指數(shù)GARCH模型（EGARCH）描述了不對稱沖擊。 6 但在許多研究論文，有效的參數(shù)估計和固定

5、的條件是沒有明確解釋的，而且這種困難難以克服 9 。但在1993，Glosten開始使用閾值自回歸條件異方差（TARCH）模型和其后提出的許多非對稱模型 2 ，試圖對不對稱的波動進行建模。特別是在2003年，Wai Mi Bei開發(fā)了非對稱ARCH（q）模型 10 。直到現(xiàn)在，持續(xù)的研究正在努力擬出更好的波動模型以顯示各種ARCH模型的影響。在本文中，利用非線性時間序列模型的波動性建模是基于對前人研究成果分析的觀察而得出。眾所周知的，波動性和其他金融時間序列數(shù)據(jù)可以被ARCH模型很好地描述。同時，這些數(shù)據(jù)在一定的時間點有系統(tǒng)的變化。例如，亞洲金融危機之后金融時間序列數(shù)據(jù)的突然改變，以及美國的住

6、房危機等。反映這類系統(tǒng)的改變的最典型的模型是閾值自回歸模型（TAR）模型。該模型的概念的第一次提出是在1953年由P. A. P. Modern提出的模仿的加拿大猞猁生態(tài)數(shù)據(jù)的不能被線性模型解答的問題。1983年，為解決這一問題在，H.tong在一個框架分析了時間序列數(shù)據(jù)，提出以往的研究方法的限制，證明時間序列數(shù)據(jù)的各種線性模型具有不同范圍的組合能具有更好的效果。針對加拿大猞猁的生態(tài)系統(tǒng)，他提出了下面的模型。同時，他也表明，如果從1749到1924年太陽黑子的數(shù)量的原始數(shù)據(jù)的使用Box-Cox變換，或可以通過以下模型描述這是數(shù)據(jù)分析伴隨著系統(tǒng)的變化而進步的一個巨大貢獻。如模型中顯示，TAR模型

7、已改為基于閾值（以上模型中的11.9824）與一定的時間延遲（在上述模型中的9）并成為完全刪除以前的線性度的非線性時間序列模型的起源。因此，我們認為，如果我們要對某些事件如金融危機后的波動數(shù)據(jù)建立模型，將TAR模型和AARCH模型在同一結構上結合能得到更好的預測效果。在本文中，我們提出了TAR-AARCH（閾值自回歸不對稱自回歸條件異方差）模型(1-(3來描述波動。其中，間隔序列如下如模型(1-(3顯示，(1是TAR模型及其誤差，(2和(3是aarch模型。換句話說，模型(1-(3形成的TAR模型包括非對稱ARCH效應。同時也考慮到模型的似然函數(shù)的完整的形式是不可能的，基于QMLE（擬極大似然

8、估計）的適當?shù)膮?shù)估計方法已經(jīng)建立和估計的漸近正態(tài)性，已證明了這tar-aarch模型的適用性。然后，通過在TAR模型小波估計出延遲時間和閾值參數(shù)后，它可以估計出組合成tar-aarch模型的所有參數(shù) 5 。二 TAR-ARCH模型的參數(shù)估計為了對模型使用QMLE，我們首先需要找到.但由公式(3顯示，并不能被估計出，因為含有絕對值項，因此，通常會發(fā)現(xiàn)QMLE的參數(shù)估計是無效的。但如果對用于(1-(3中的QMLE進行集中處理，這個問題是可以解決的。此時，被固定，QMLE集中，可以得到(1，且可以觀察到它的漸近正態(tài)性。如果我們假設是已知的， QMLE對集中為，得到它的漸近正態(tài)性的證明，那么我們就可

9、以通過兩個步驟獲得的參數(shù)和估計。但我們應該能夠確定是否有這樣的估計可以被假定為參數(shù)的估計，如果是這樣，與擬極大似然估計的差值是多少。為此，用擬極大似然估計法得到的TAR-ARCH模型參數(shù)和它的漸近正態(tài)性已被分為基于上述方法得到集中擬極大似然估計和漸近正態(tài)性，對每個參數(shù)和結果可以與從4得到的擬極大似然估計比較，證明該方法的效率。1.TAR-ARCH模型中的集中擬極大似然估計法使如果TAR-ARCH模型是已知的，則集中QML方程的轉化：定理1：在模型(1-(3中，讓作為QML的估計，當已知則集中在，并滿足強平穩(wěn)條件。當已知時，是模型(1-(3的真實估計，此時同理，對的集中擬極大似然估計和它的漸近正

10、態(tài)性可由定理1通過同樣的方法證明。我們可以發(fā)現(xiàn)擬極大似然估計與集中擬極大似然估計的差別。為此，采用QMLE獲得的參數(shù)（TAR-ARCH）可轉化為，它的Fisher信息矩陣可以與上述的集中QMLE的Fisher信息矩陣相比較以證明兩者之間的關系。(,:子函數(shù)的擬極大似然估計因此可以得出結論，如果子參數(shù)使用上面的方法獲得了無法使用擬極大似然估計進行估計的TAR-AARCH模型的集中擬極大似然估計，那么得到的估計可以接受，雖然效率略有減少。2. 集中擬極大似然估計法在TAR-AARCH模型的漸近正態(tài)性 易知，在模型(1-(3中，如果已知，集中QML方程是如下則可以證明以下定理。定理2：在模型(1-(

11、3，是已知的，是集中在QML估計。同時，它對滿足強平穩(wěn)條件。如果當已知時是模型(1-(3的真實估計，則其后估計也為真實估計。對的集中擬極大似然估計是能夠得到結果的，且它的漸近正態(tài)性能通過同樣的方法證明。三 結論在本文中，首先，兩種類型的非線性模型，即TAR模型和非對稱ARCH模型組合成了TAR-AARCH模型，并用一個更有效的方式描述了波動。第二，對各種困難的組合模型產(chǎn)生的不對稱性提出了適當?shù)膮?shù)估計方法。四 相關文獻1. Black F, M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Poli

12、tical Economy, 81, 1973, 637-653 2. Glosten L.R, Jagannathan R, Runkle P.E, On the relation between the expected value and the nominal excess return on stock, Journal of Finance, 48, 1993, 1779-1801 3. H. Tong, Non-linear time series: A Dynamical system approach, Clarendon Press, Oxford, 1990 4. Kim

13、, Song-Yon; Threshold AR with Asymmetric ARCH type Error (in Korean, Dissertation for ph D, 2007 5. Kim, Song-Yon and Kim, Mun-Chol, The identification of Thresholds and Time delay in Self-Exciting TAR model by Wavelet, International Symposium in Commemoration of the 65 th Anniversary of the Foundat

14、ion of Kim Il Sung University (Mathematics, 2021. Sep. Juche100(2011 Pyongyang DPR Korea, arXiv 1303.4867math-ph 6. Nelson D, Conditional Heteroskedasticity in asserts: a new approach, Econometrica, 59, 1991, 347-370 7. Robert F. Engle, Risk and volatility: Economic models and financial practice, Nobel lecture, Stockholm, December 8, 29, 2003 8. Tim Bollerslev, Generalized autoregressive conditional heterosk