力學(xué)習(xí)題集答案解析

1、第二章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)（習(xí)題） 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 求質(zhì)點(diǎn)軌跡并用圖表示。 解 : . 軌跡方程為 y=5 消去時(shí)間參量 t 得：   質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 ，（ 1 ） . 求質(zhì)點(diǎn)的軌跡；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 質(zhì)點(diǎn)的位移。 解 ; 消去 t 得軌跡： xy=1,z=2 , , 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 ，（ 1 ） . 求質(zhì)點(diǎn)的軌跡；（ 2 ） . 求自 t=0 至 t=1 質(zhì)點(diǎn)的位移。 解 : . 消去 t 得軌跡方程 雷達(dá)站于某瞬時(shí)測(cè)得飛機(jī)位置為 ， 0.75s 后測(cè)得 均在鉛直平面內(nèi)。求飛機(jī)瞬時(shí)速率的近似值和飛行方向（角）。解 :代入數(shù)值得： 利用正弦定理可解出 一小圓

2、柱體沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，拋物線軌道為 （長度 mm ）。第一次觀察到圓柱體在 x=249mm 處，經(jīng)過時(shí)間 2ms 后圓柱體移到 x=234mm 處。求圓柱體瞬時(shí)速度的近似值。 解: 一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂，離演奏者 17m 。另一人在廣州聽同一演奏的轉(zhuǎn)播，廣州離北京 2320km ，收聽者離收音機(jī) 2m ，問誰先聽到聲音？聲速為 340m/s, 電磁波傳播的速度為 。 解 : 在廣州的人先聽到聲音。 如果不允許你去航空公司問訊處，問你乘波音 747 飛機(jī)自北京不著陸飛行到巴黎，你能否估計(jì)大約用多少時(shí)間？如果能，試估計(jì)一下（自己找所需數(shù)據(jù)）。 解 : 火車進(jìn)入彎道時(shí)減速，最初列車向正北以 90

3、km/h 速率行駛， 3min 后以 70km/h 速率向北偏西 方向行駛。求列車的平均加速度。 解， （ 1 ） R 為正常數(shù)。求 t=0, /2 時(shí)的速度和加速度。（ 2 ） 求 t=0,1 時(shí)的速度和加速度（寫出正交分解式）。 解：（ 1 ） 當(dāng) t=0 時(shí)， 當(dāng) t= /2 時(shí)， （ 2 ） 當(dāng) t=0 時(shí)， 當(dāng) t=1 時(shí)， 圖中 a 、 b 和 c 表示質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)三種不同情況下的 x-t 圖，試說明三種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)（即速度，計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻）。   解 : a 直線的斜率為速度 b 直線的斜率為速度 c 直線的斜率為速度 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

4、為 x=acost, a 為正常數(shù)。求質(zhì)點(diǎn)速度和加速度并討論運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)（有無周期性，運(yùn)動(dòng)范圍，速度變化情況等）。 解 : 質(zhì)點(diǎn)受力 ，是線性恢復(fù)力，質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為 a ，運(yùn)動(dòng)范圍在 ，速度具有周期性。 跳傘運(yùn)動(dòng)員的速度為 v 鉛直向下，、 q 為正常量。求其加速度。討論當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)（即 t ），速度和加速度的變化趨勢(shì)。 解 : 直線運(yùn)動(dòng)的高速列車在電子計(jì)算機(jī)控制下減速進(jìn)站。列車原行駛速度為 ，其速度變化規(guī)律如圖所示。求列車行駛至 x=1.5km 時(shí)加速度的大小。 解 : 當(dāng) x=1.5km 時(shí)，   在水平桌面上放置 A 、 B 兩物體，用一不可伸長的繩索按圖示的裝置把它們連

5、接起來。 C 點(diǎn)與桌面固定。已知物體 A 的加速度 ，求物體 B 的加速度。 解 :以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立一維坐標(biāo)系 o-x 。設(shè)繩的總長度為 ， B 的坐標(biāo)為 ， A 的坐標(biāo)為 ，則得 兩端對(duì) t 求導(dǎo) 質(zhì)點(diǎn)沿直線的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 。 （ 1 ）將坐標(biāo)原點(diǎn)沿 ox 軸正方向移動(dòng) 2m ，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何？初速度有無變化？ （ 2 ）將計(jì)時(shí)起點(diǎn)前移 1s ，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何？初始坐標(biāo)和初始速度都發(fā)生怎樣的變化？加速度變不變？ 解 :（ 1 ） ，代入上式得： 初速度不變。 （ 2 ） 代入上式得： 初坐標(biāo) 由 0 變?yōu)?-7m. , 初速度由 10m/s 變?yōu)?4m/s. 加速度不變，都是 . 以

6、下四題用積分 質(zhì)點(diǎn)由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)，沿 x 軸運(yùn)動(dòng)，其加速度 ，求在下列兩種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、出發(fā)后 6s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、在此期間所走過的位移及路程： （ 1 ）初速度 ； （ 2 ）初速度 的大小為 9cm/s, 方向與加速度方向相反。 解 :（1） ， ， 當(dāng) t=6s時(shí)， , , 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程： (2) , , 當(dāng) t=6s時(shí)， , , 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程如圖， ， ， 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程： 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的變化規(guī)律為 求 至 時(shí)間內(nèi)的位移。 解 : ， 一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)加速度的變化規(guī)律為 在 t=0 時(shí)， 其中 均為正常數(shù)，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。 解 : ， ，

7、飛機(jī)著陸時(shí)為盡快停止采用降落傘制動(dòng)。剛著陸時(shí)，t=0時(shí)速度為 且坐標(biāo)為 x=0. 假設(shè)其加速度為 ， b= 常量，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。 解 : ， ， 解以下四題中勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)明確寫出所選的坐標(biāo)系、計(jì)時(shí)起點(diǎn)和初始條件。 在 195m 長的坡道上，一人騎自行車以 18km/h 的速度和 -20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行車同時(shí)以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s 2 的加速度下坡。問（ 1 ）經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇；（ 2 ）兩人相遇時(shí)，各走過多少路程。 解 :建立坐標(biāo)系 o-x, 原點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn) 1 的初始位置。 對(duì)上坡的質(zhì)點(diǎn) 1:t=0,v 10 =5m/s, x 10 =

8、0, a 1 =-0.2m/s 2 , 對(duì)下坡的質(zhì)點(diǎn) 2:t=0,v 20 =-1.5m/s,x 20 =195m, a 2 =-0.2m/s 2 , 相遇時(shí)， x 1 =x 2 , 所需時(shí)間設(shè)為 t ，則 質(zhì)點(diǎn) 1 的速度表達(dá)式為： ，所以質(zhì)點(diǎn) 1 的路程為兩段路程之和，如圖所式。前 25s 的路程： 后 5s 的路程： 質(zhì)點(diǎn) 2 的路程： 195-62.5+2.5=135(m) 站臺(tái)上送行的人，在火車開動(dòng)時(shí)站在第一節(jié)車廂的最前面。火車開動(dòng)后經(jīng)過 t=24s ，第一節(jié)車廂的末尾從此人的面前通過。問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時(shí)間？火車作勻加速運(yùn)動(dòng)。解 :  設(shè)火車第六節(jié)末尾經(jīng)過此人

9、的時(shí)間為 t 6 ， 火車第七節(jié)末尾經(jīng)過此人的時(shí)間為 t 7 ， 在同一鉛直線上相隔 h 的兩點(diǎn)以同樣的速率 v 0 上拋二石子，但在高處的石子早 t 0 秒被拋出。求此二石子何時(shí)何處相遇。解 : 解出 t 得： ， 將 t 代入 ，得 電梯以 1.0m/s 的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板 0.50m 高，問當(dāng)小孩再次落到地板上時(shí)，電梯下降了多長距離？ 解 : 建立基本坐標(biāo)系 o-x, 原點(diǎn)固結(jié)在地面上，建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 原點(diǎn)固結(jié)在電梯的地板。 小孩相對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系 （電梯）跳起到落回地板所需時(shí)間設(shè)為 t ，則 解出 td 得， 這段時(shí)間電梯下降的距離為 , 質(zhì)點(diǎn)在 o-xy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其加

10、速度為 位置和速度的初始條件為 t=0 時(shí) ，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并畫出軌跡（本題用積分）。 解 :由 得 初始條件： t=0 時(shí) ,v 0x =0,v 0y =1,x 0 =1,y 0 =0 , ,  , , 軌道方程： 在同豎直值面內(nèi)的同一水平線上 A 、 B 兩點(diǎn)分別以 30 0 、 60 0 為發(fā)射角同時(shí)拋出兩小球欲使兩小球相遇時(shí)都在自己的軌道的最高點(diǎn)，求 A 、 B 兩點(diǎn)的距離。已知小球在 A 點(diǎn)的發(fā)射速率 解 :， 迫擊炮彈的發(fā)射角為 60 0 , 發(fā)射速率 150m/s. 炮彈擊中傾角 30 0 的山坡上的目標(biāo)，發(fā)射點(diǎn)正在山腳。求彈著點(diǎn)到發(fā)射點(diǎn)的距離 OA. 解 : 由幾

11、何關(guān)系： 將 (2) 、 (3) 式代入 (1) 式 轟炸機(jī)沿與鉛直方向成 俯沖時(shí)，在 763m 高度投放炸彈，炸彈離開飛機(jī) 5.0s 時(shí)擊中目標(biāo)。不計(jì)空氣阻力。（ 1 ）轟炸機(jī)的速率是多少？（ 2 ）炸彈在飛行中經(jīng)過的水平距離是多少？（ 3 ）炸彈擊中目標(biāo)前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？解 :以投放炸彈處為坐標(biāo)原點(diǎn) （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 雷達(dá)觀測(cè)員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體，在某一時(shí)刻，靠他得到這樣的信息：（ 1 ）拋射體達(dá)到最大高度且以速率 v 沿水平方向運(yùn)動(dòng)；（ 2 ）觀察者到拋射體的直線距離為 ；（ 3 ）觀測(cè)員觀察拋體的視線與水平方向成 角。 問：（ 1 ）

12、拋射體命中點(diǎn)到觀察者的距離 D 等于多少？（ 2 ）何種情況下拋體飛越觀察者的頭頂以后才擊中目標(biāo)？何種情況下拋體在未達(dá)到觀測(cè)員以前就命中目標(biāo)？   解 :（ 1 ） ， ，命中點(diǎn)， 觀測(cè)者 拋射體命中點(diǎn)到觀察者的距離 （ 2 ） 當(dāng) ，飛越觀察者的頭頂擊中目標(biāo)，即 當(dāng) ，拋體在未達(dá)到觀測(cè)員以前就命中目標(biāo)，即 列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在我們所討論的時(shí)間范圍內(nèi)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 （長度： m 時(shí)間： s ）。 t=0 時(shí)，列車在圖中 o 點(diǎn)，此圓弧形軌道的半徑 r=1500m. 求列車駛過 o 點(diǎn)以后前進(jìn)至 1200m 處的速率及加速度。   解 :采用自然坐

13、標(biāo)系， o 為自然坐標(biāo)系的原點(diǎn)。 由 得 ， ， 當(dāng) s=1200m 時(shí)，由 得 （舍去）因?yàn)楫?dāng) t=60 時(shí)， 當(dāng) ，即列車駛過 o 點(diǎn)以后前進(jìn)至 1200m 處的速率為 40m/s. 過 o 點(diǎn)以后前進(jìn)至 1200m 處的加速度： 可以算出 與 的夾角為 152 0 。 火車以 200km/h 的速度駛?cè)雸A弧形軌道，其半徑為 300m 。司機(jī)一進(jìn)入圓弧形軌道立即減速，減速度為 2g 。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解 : ， 由上式可見 t=0 時(shí)（剛進(jìn)入圓弧形軌道時(shí)）， a 最大。 代入數(shù)值得 斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道運(yùn)動(dòng)。當(dāng)斗車達(dá)到圖中所示位置時(shí)，軌道曲率半徑為

14、 150m ，斗車速率為 50km/h, 切向加速度 a =0.4g. 求斗車的加速度。   解， 加速度與水平方向的夾角 飛機(jī)在某高度的水平面上飛行。機(jī)身的方向是自東北向西南，與正西夾 15 0 角，風(fēng)以 100km/h 的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾 45 0 角，結(jié)果飛機(jī)向正西方向運(yùn)動(dòng)。求飛機(jī)相對(duì)于風(fēng)的速度及相對(duì)地面的速度。 解 :基本參照系：地面 運(yùn)動(dòng)參照系：風(fēng) 研究對(duì)象：飛機(jī) 絕對(duì)速度： ，相對(duì)速度： ，牽連速度： = + （ 1 ） （ 2 ） 飛機(jī)在靜止空氣中的飛行速率是 235km/h ， 它朝正北的方向飛行，使整個(gè)飛行的時(shí)間內(nèi)都保持在一條南北向的公路上空。地面

15、觀察者利用通訊設(shè)備告訴駕駛員正在刮著速率等于 70km/h 的風(fēng)，但飛機(jī)仍能以 235km/h 的速率沿公路方向飛行。（ 1 ）風(fēng)的方向是怎樣的？（ 2 ）飛機(jī)的頭部指向哪個(gè)方向？也就是說，飛機(jī)的軸線和公路成怎樣的角度？解 :基本參照系：地面 運(yùn)動(dòng)參照系：風(fēng) 研究對(duì)象：飛機(jī) 絕對(duì)速度： ，相對(duì)速度： ，牽連速度： = + 一輛卡車在平直路面上以恒定速率 30m/s 行駛，在此車上射出一拋體，要求在車前進(jìn) 60m 時(shí)，拋體仍落回到車上原拋出點(diǎn)，問拋體射出時(shí)相對(duì)于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計(jì)。解 :以卡車為參照系，以起拋點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系o-xy,如圖所示。以拋出時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。 得： 由已知， 代入 表明：拋射體相對(duì)卡車以 9.8m/s的速率豎直上拋時(shí)，當(dāng)卡車前進(jìn)了60m，拋體落回拋射點(diǎn)。 河的兩岸互相平行，一船由A點(diǎn)朝與岸垂直的方向勻速行駛，經(jīng)10min到達(dá)對(duì)岸的C點(diǎn)。若船從A點(diǎn)出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到達(dá)彼岸B點(diǎn)，需要12.5min。已知BC=120m.求（1）河寬，（2）第二次渡河時(shí)船的速率u，（3）水流速度