三次DP曲線的形狀分析

1、三次DP曲線的形狀分析吳 曉 勤，朱秀云，陳福來 （湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院,湘潭,411201）摘要 基于包絡理論與拓撲映射的方法對三次DP曲線進行了形狀分析，得出了曲線上含有奇點、拐點和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件，這些條件完全由控制多邊形的頂點位置所決定。最后，就三次DP曲線和三次Bezier曲線、三次Ball曲線的形狀圖進行了對比。關(guān)鍵詞DP曲線； 奇點；拐點；局部凸；全局凸中圖分類號：TP391 Shape Analysis of Cubic DP Curve WU Xiao-qin ZHU Xiu-yun CHEN Fu-lai (School of Mathemati

2、cs & Computation Science, Hunan University of Science & Technology, Xiangtan 411201)Abstract: In this paper, we analyzed the shape features of the cubic DP curve by using the method based on the theory of envelop and topological mapping. Necessary and sufficient conditions are derived for th

3、is curve having one or two inflection points, a loop or a cusp, or be locally or globally convex. Those conditions are completely characterized by the vetex of the control polygon. At last, we give the shape diagram of cubic Bézier curve and Ball curve.Key words：DP curve; singular points; infle

4、ction points ; local convexity ; global convexitySubject Classification (CL) TP391 0 引言2003年，Delgado和Pea提出一種新的參數(shù)曲線1-2，新的基函數(shù)被稱之為DP基，由此構(gòu)造的曲線被稱為DP曲線3。DP基是規(guī)范的全正基（簡稱NTP基），DP曲線的生成算法是割角算法，具有數(shù)值計算的穩(wěn)定性，且算法的計算復雜度是線性的；DP曲線同樣具有端點插值的特性。因此，DP曲線在計算上是優(yōu)于Bézier曲線，有很好的應用前途。在實際應用中，往往需要判斷參數(shù)曲線段上有無奇點和拐點，以及曲線為局部凸還是全局凸，

5、這對曲線的形狀控制是至關(guān)重要的。Yang和Wang用擺線的仿射變換方法，討論了C-Bézier 曲線的奇點與拐點，給出了該曲線的形狀分布圖4。還通過構(gòu)造一種特征函數(shù)的方法得到了平面三次H-Bézier曲線的奇拐點分布5；其后葉正麟和吳榮軍利用包絡理論和拓撲映射的方對平面三次C-Bézier 曲線和平面三次H-Bézier 曲線進行了形狀分析6,7，也得出了曲線的形狀分布圖。Juhász通過固定三個控制點，適當選擇第四個控制點的位置來產(chǎn)生并調(diào)控有理Bézier及C-Bézier曲線的奇點和拐點的方法8.本文基于包絡理論和拓撲映

6、射的方法，對三次DP曲線進行形狀分析，討論了相應空間曲線的變撓性，再對平面非退化曲線的奇點、拐點及凸性作了進一步討論，揭示局部凸區(qū)域與重結(jié)點區(qū)域的兩條邊界線之間的包絡關(guān)系，由此得出了平面三次DP曲線的形狀分布圖，圖中既包括奇、拐點分布區(qū)域，還給出了局部凸區(qū)域和全局凸區(qū)域。最后，就三次DP曲線和三次Bézier曲線、三次Ball曲線的形狀圖進行了對比。1. 三次DP曲線簡介根據(jù)文獻1-2，給出三次DP曲線的定義。 定義1給定4個控制頂點d (，對，定義曲線 （1）為三次DP曲線，其中基函數(shù)定義為 （2）2 空間三次DP曲線的形狀分析定理1若4個控制頂點不共面，則曲線為空間曲線且無奇點和

7、泛拐點。證明 設（），將改寫為 (3)則有由式(2)得，當時，又由控制頂點不共面可知，邊向量()線性無關(guān)，故，即不可能有尖點。假設曲線有重結(jié)點，設有，使得，則有 (4)因為()線性無關(guān)，所以由式(4)得，顯然是單調(diào)遞增，上式不成立，無二重點。泛拐點是指空間曲線上撓率變號的點。設det ()，則有 其中為邊向量的混合積，。所以曲線無泛拐點，并且與控制多邊形具有相同的旋轉(zhuǎn)方向。3 平面三次DP曲線的形狀分析 如果、四點共面，為平面曲線，此時=0。 先考慮不平行，以，為基向量，令，將其代人式(3)得 (5)3.1 尖點 曲線有尖點的必要條件是= 0 (0 << 1) . 由式(5)得 (

8、6)由于與線性無關(guān)，據(jù)式(6)得參數(shù)曲線 (7)對式(7)參數(shù)曲線求一階和二階導數(shù)，易知曲線C是單調(diào)遞減和凸的。在曲線C上任取一點，記為，與之對應的參數(shù)值設為。由的泰勒展開為，求導得 (8)式(8)中，若不然，對式(6)再求一次導，得且，矛盾。 故經(jīng)過時方向反變，所以曲線C是尖點條件曲線。3.2 拐點曲線的副法向量為，經(jīng)計算有 (9)其中+ (10)點是拐點當且僅當經(jīng)過時變號。而在平面，使得有拐點的可能區(qū)域必為直線族=0所覆蓋，而此直線族的包絡為 (11)對式(11)計算，得式(7)，說明直線族的包絡正好是曲線C。當時，設對應的參數(shù)為，由泰勒展開，得 (12)其中。可知經(jīng)過時不變號，故不是拐點

9、。圖1：三次DP曲線的形狀圖當時，其中為第二和第四象限，是由曲線C和u軸和v軸所圍部分。設過點與曲線C相切的直線之一為=0，其中為切點對應的參數(shù)，則由可知（因若，則由包絡定義知），從而經(jīng)過時變號，故是拐點。進一步，當時，過此點只能作曲線C的一條切線，對應只有一個拐點；當時，過此點可作曲線C的兩條切線，對應有2個拐點。3.3 重結(jié)點曲線有重結(jié)點，當且僅當存在，使得，這等價于滿足方程組 (13)其中=.容易驗證，式(13)定義了一個拓撲映射 F：(),因此象域()是平面上單連通區(qū)域，象域的3條邊界線與定義域的3條邊界線和相對應，即分別為曲線C(不屬于)，和(都屬于)。中點所對應曲線有且僅有一個二重

10、結(jié)點，其中和的參數(shù)方程分別為 易見，曲線和是關(guān)于對稱，因為將中的分別用t代換，得到中的。所以只需討論曲線和中一條曲線的屬性。和相交于點(-1,-1)，當時，與 軸相交于點(-3,0)； 對稱地，當時，與 軸相交于點(0,-3)。對曲線和分析可知，是單調(diào)遞減的、嚴格凸的曲線。3.4 凸性當 R時，曲線無尖點、重結(jié)點和拐點，并且此時不發(fā)生方向改變。按照文獻9，考慮，由式(5)計算得，其中 (14) (15)由式(14)可知，當，經(jīng)過時方向反變。解不等式得區(qū)域，所以，當（由和連接點(-3,0)和(-1,-1)的線段所圍部分），為局部凸，見圖1所示。再由對稱性知，可得當(由和連接點(0,-3)和(-1

11、,-1)的線段所圍部分），為局部凸，見圖1所示。從而當時，為全局凸。最后，當，記，以為平面的基向量。據(jù)式(3)，得類似于3.1-3.4節(jié)的討論，可得：曲線無尖點、二重點；當且僅當，即與方向相同（不包括4點共線）時，有且只有一個拐點；當且僅當，為全局凸。定理2 當，平面三次DP曲線無尖點、二重點；當且僅當與方向相同時，有且只有一個拐點；當且僅當與方向相反時，為全局凸。當不平行時，設，則i）當時，的形狀特征取決于點在平面的如下分布（如圖1所示），即 4 與三次Bezier、Ball曲線的形狀圖的比較按照上一節(jié)相同的方法，當不平行時，設有三次Bézier曲線和三次Ball曲線的形狀圖。圖2

12、為三次Bézier曲線的形狀圖，其中曲線C的方程為 的方程為 的方程為 和以u軸為漸近線，和以v軸為漸近線。圖2：三次Bézier曲線的形狀圖 圖3：三次Ball曲線的形狀圖圖3為三次Ball曲線的形狀圖，其中曲線C的方程為 的方程為 的方程為 和以為漸近線，和以為漸近線。比較3個形狀圖，有結(jié)論：對于單拐點區(qū)域，三次Ball曲線最大，三次DP曲線和三次Bezier曲線二者相同；對于雙拐點區(qū)域，三次Ball曲線最小，三次Bezier曲線次之，三次DP曲線最大，說明在相同控制頂點下，三次DP曲線最易出現(xiàn)雙拐點；對于重結(jié)點區(qū)域，三次Bezier曲線最大，三次DP曲線和三次Ball

13、曲線較小；對于局部凸區(qū)域，三次DP曲線最小，三次Ball曲線較大，三次Bezier曲線最大；對于全局凸區(qū)域，三次Bezier曲線最小，三次DP曲線和三次Ball曲線較大，說明三次DP曲線和三次Ball曲線保全局凸的能力要強于三次Bezier曲線。參考文獻1Delgado J., Pea J.M., A shape preserving representation with an evaluation algorithm of liner complexityJ. Computer Aided Geometric Design, 2003 , 20 (1) : 1 10.2Delgado J.

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