二次求導(dǎo)問題

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流二次求導(dǎo)問題.精品文檔.二次求導(dǎo)問題導(dǎo)數(shù)既是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，又是高考的一個必考內(nèi)容近幾年高考中，出現(xiàn)了一種新的“導(dǎo)數(shù)”，它是對導(dǎo)函數(shù)進行二次求導(dǎo)而產(chǎn)生的新函數(shù)，尤其是近幾年作為高考的壓軸題時常出現(xiàn)利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性典例若函數(shù)f(x)，0x1x20時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當f(x)0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減方法演示解：由f(x)，得f(x)，設(shè)g(x)xcos xsin x，則g(x)xsin xcos xcos xxsin x.0x，g(x)0，即函數(shù)g(x)在(0，)上是減函數(shù)g(x)g(0)0，因此f(x)0，故函數(shù)f(

2、x)在(0，)是減函數(shù)，當0x1x2f(x2)，即ab.解題師說從本題解答來看，為了得到f(x)的單調(diào)性，須判斷f(x)的符號，而f(x)的分母為正，只需判斷分子xcos xsin x的符號，但很難直接判斷，故可通過二次求導(dǎo)，判斷出一次導(dǎo)函數(shù)的符號，并最終解決問題應(yīng)用體驗1已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(1)ex1f(0)xx2，求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間解：因為f(x)f(1)ex1f(0)xx2，所以f(x)f(1)ex1f(0)x.令x1，得f(0)1. 所以f(x)f(1)ex1xx2，所以f(0)f(1)e11，解得f(1)e.所以f(x)exxx2. 設(shè)g(x)f(x)ex1x，

3、則g(x)ex10，所以yg(x)在R上單調(diào)遞增因為f(0)0，所以f(x)0f(0)x0，f(x)0f(0)x0對x1恒成立，知a0.所以3ax2(32a)x(a22)0對x1，)恒成立令g(x)3ax2(32a)x(a22)，其對稱軸為x，因為a0，所以，所以g(x)在1，)上為增函數(shù)，所以只需g(1)0即可，即a2a10，解得00，bx(ln xxx2)xln xx2x3.令g(x)xln xx2x3，則g(x)ln x12x3x2.令h(x)g(x)，則h(x)26x.當0x0，函數(shù)h(x)g(x)在上遞增；當x時，h(x)0，函數(shù)h(x)g(x)在上遞減又g(1)0，存在x0，使得g

4、(x0)0.當0xx0時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(0，x0)上遞減；當x0x0，函數(shù)g(x)在(x0,1)上遞增；當x1時，g(x)0，函數(shù)g(x)在(1，)上遞減又當x時，g(x).又g(x)xln xx2x3x(ln xxx2)x，當x0時，ln x0，則g(x)0)(1)若k1，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的極小值；(2)若對任意的t0，存在s0，使得當x(0，s)時，都有f(x)tx2，求實數(shù)k的取值范圍解：(1)當k1時，函數(shù)f(x)ex(1xx2)，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)ex(12x)，令g(x)f(x)，則g(x)ex2，當0xln 2時，g(x)ln 2時，g(x)0，

5、從而f(x)在(0，ln 2)上遞減，在(ln 2，)上遞增故導(dǎo)數(shù)f(x)的極小值為f(ln 2)12ln 2.(2)對任意的t0，記函數(shù)F(x)f(x)tx2ex1x(kt)x2，x0，根據(jù)題意，存在s0，使得當x(0，s)時，F(xiàn)(x)h(0)0，于是F(x)在(0，s)上遞增，則當x(0，s)時，F(xiàn)(x)F(0)0，從而F(x)在(0，s)上遞增故當x(0，s)時，F(xiàn)(x)F(0)0，與已知矛盾；若h(x)0，使得當x(0，s)，h(x)0，從而F(x)在(0，s)上遞減，于是當x(0，s)時，F(xiàn)(x)F(0)0，因此F(x)在(0，s)上遞減故當x(0，s)時，F(xiàn)(x)0，都有h(x)0

6、，所以12(kt)t，故實數(shù)k的取值范圍為.利用二次求導(dǎo)證明不等式典例證明當x0時，sin xx.方法演示證明：令f(x)sin xx，則f(x)cos x1，所以f (x)sin xx.易知當x0時，sin x0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(0)0，所以在(0，)有f(x)f(0)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增故當x0時，f(x)sin xxf(0)0. 所以sin xx(x0)解題師說本題是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，然后在相應(yīng)區(qū)間上用二次求導(dǎo)的方法判定導(dǎo)數(shù)的符號，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性證明不等式應(yīng)用體驗3(2018西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x

7、)mexln x1.(1)當m0時，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)當m1時，證明：f(x)1.解：(1)當m0時，f(x)ln x1，則f(x)，所以f(1)1，f(1)1.所以曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y(1)(x1)，即xy0.(2)證明：當m1時，f(x)mexln x1exln x1.要證f(x)1，只需證exln x20. 設(shè)g(x)exln x2，則g(x)ex.設(shè)h(x)ex，則h(x)ex0. 所以函數(shù)h(x)g(x)ex在(0，)上單調(diào)遞增因為ge20，所以函數(shù)g(x)ex在(0，)上有唯一零點x0，且x0. 因為g(x0)0，所以

8、ex0，即ln x0x0.當x(0，x0)時，g(x)0，所以當xx0時，g(x)取得極小值也是最小值g(x0)故g(x)g(x0)ex0ln x02x020.綜上可知，當m1時，f(x)1.1(理)對任意實數(shù)x，證明不等式1xln(x).證明：設(shè)f(x)1xln(x)，f(x)ln(x)ln(x)，設(shè)h(x)f(x)，則h(x)0，所以f(x)在(，)上是增函數(shù)由f(x)0，即ln(x)0，得x0.所以當x0時，f(x)0時，f(x)0，則f(x)在(0，)上為增函數(shù)故f(x)在x0處有極小值，所以f(x)f(0)0，即1xln(x).(文)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xax，當x0(1，

9、)時，函數(shù)f(x)的圖象在點(x0，f(x0)處的切線方程為yxe.(1)求a的值；(2)求證：函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增解：(1)由題意，得f(x)ln x1a，所以函數(shù)f(x)的圖象在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)，即y(x01)ln x0ax0(xx0)，即yxln x0x01，所以令g(x)xln x1，則g(x)1，當x(1，)時，g(x)0，故當x(1，)時，g(x)單調(diào)遞增又因為g(e)e，所以x0e，將x0e代入ln x01a，得a2.(2)證明：由a2，得f(x)ln x1(x0)令h(x)ln x，則h(x).當x(0,1)時，h(x

10、)0；當x(1，)時，h(x)0，故當x(0,1)時，h(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，h(x)單調(diào)遞增，故h(x)h(1)1.因此當x(0，)時，f(x)h(x)10，當且僅當x1時，f(x)0.所以f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增2已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值解：由f(x)exax2bx1，得g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，當x0,1時，g(x)12a，e2a當a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0

11、)1b；當a時，g(x)0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；當a時，令g(x)0，得xln 2a(0,1)當g(x)0時，0x0時，ln 2ax1，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間0，ln 2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln 2a,1上單調(diào)遞增，于是g(x)在0,1上的最小值是g(ln 2a)2a2aln 2ab.綜上所述，當a時，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；當a2時，(x)0，又(x)在0，)單調(diào)遞增，存在x0(0，)，使得在區(qū)間0，x0)上(x)0. 則(x)在0，x0)上遞減，而(0)0，當x(0，x0)時，(x)2不合題意綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，24(2018長沙模擬)已知函數(shù)f(x)ex，g(x)，a為實常數(shù)(1)設(shè)F(x)f(x)g(x)，當a0時，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當ae時，直線xm，xn(m0，n0)與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象共有四個不同的交點，且以此四點為頂點的四邊形恰為平行四邊形求證：(m1)(n1)0時，F(xiàn)(x)0，故F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)(0，)，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)證明：因為直線xm