20122013工程振動期末答案

1、北京航空航天大學(xué)2012-1013學(xué)年 第二學(xué)期期末工 程 振 動考試A卷2013年06月18日注意事項：1、不按題目要求不給分 2、畫好圖，注意求解題目的思路和步驟一、 簡答題：（8小題，每小題5分，總40分）1. 振型正交性的物理含義是什么？（2分），為何它是振型疊加方法的理論基礎(chǔ)？（3分）答： 每一階主振動的動能和勢能之和在系統(tǒng)自由振動過程中保持不變，即不同階主振動的能量互不交換，這就是線性系統(tǒng)模態(tài)正交性的物理含義。因為模態(tài)正交性，所以在選用模態(tài)坐標(biāo)作為廣義坐標(biāo)來建立系統(tǒng)的運動方程時，系統(tǒng)一定不存在剛度耦合和質(zhì)量耦合，即系統(tǒng)的模態(tài)剛度矩陣和模態(tài)質(zhì)量矩陣是對角矩陣。2. 為何范德波爾方程是

2、自激振動系統(tǒng)？（2分）說明該系統(tǒng)相軌跡是極限環(huán)的理由（3分）答： 自激振動可以解釋為具有正阻尼和負(fù)阻尼的系統(tǒng)的自由振動。？范德波爾方程描述的系統(tǒng)可以理解為具有可變阻尼的系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的振幅較小時，即時，方程中的阻尼系數(shù)，系統(tǒng)具有負(fù)阻尼，它向系統(tǒng)輸入能量，因而振幅將增加；當(dāng)系統(tǒng)的振幅時，阻尼系數(shù)，系統(tǒng)具有正阻尼，它消耗系統(tǒng)的能量，使振幅減小。因此，可以推斷范德波爾方程的相軌跡具有極限環(huán)。3. 寫出Lagrange方程和Duharmel積分表達式（3分），說明方程和表達式中各個參數(shù)的物理含義？（2分）答：Lagrange方程為：式中：為自由度；為第個廣義坐標(biāo)；為彈性元件提供的系統(tǒng)勢能；為慣性元件提供

3、的系統(tǒng)動能；為不包括彈性恢復(fù)力的與廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力。Duhamel積分表達式：式中：為一般激振力；為系統(tǒng)的質(zhì)量；為無阻尼系統(tǒng)的固有角頻率；為阻尼比；阻尼系統(tǒng)的角頻率。4. 舉例說明，如何利用試驗方法使系統(tǒng)按某一階固有振動頻率振動？（3分）主振動中節(jié)點的物理含義是什么？（2分）答：設(shè)兩個自由度系統(tǒng)：如圖：方法1：使激振力的頻率與一階固有頻率相等，系統(tǒng)將按系統(tǒng)一階固有頻率振動；同理可使系統(tǒng)按二階固有頻率振動。方法2：使系統(tǒng)的初始位移和一階模態(tài)成比例，即（其中為一常數(shù)），而初始速度為零，此時系統(tǒng)按一階固有頻率振動。同理可使系統(tǒng)按二階固有頻率振動。在主振動中，在任何時刻靜止不動的點稱為節(jié)點，它在振

4、動響應(yīng)中位移總是等于零。5. 非線性系統(tǒng)振動現(xiàn)象的本質(zhì)特征是什么？（3分）給出混沌運動的主要特點（2分）答：非線性系統(tǒng)振動現(xiàn)象的本質(zhì)是：跳躍現(xiàn)象、倍頻響應(yīng)和分頻響應(yīng)。 混沌運動的主要特點是：對初值的敏感性、貌似隨機性和長期行為的不可預(yù)測。6. 多自由度線彈性系統(tǒng)的主振動為簡諧振動，問其自由振動是否也為簡諧振動并說明理由（3分）。單自由線彈性系統(tǒng)的自由振動和固有振動頻率相同嗎？（2分）答：多自由度線彈性系統(tǒng)的自由振動是各階主振動按照一定的關(guān)系疊加得到的。而疊加的關(guān)系是初始條件決定的。簡諧振動的疊加一般不是簡諧的，由此可見，多自由度系統(tǒng)的自由振動不一定是簡諧的。單自由度線彈性系統(tǒng)的自由振動頻率和固

5、有振動頻率相同。7. 借助單自由度系統(tǒng)來說明隔振器的原理。（5分）答：1 第一類隔振：隔力或稱為主動隔振，力的傳遞率是傳遞到基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)上的合力的幅值與振源產(chǎn)生的激振力的幅值之比，即當(dāng)時，有，這時減振器才有隔振的效果。2 第二類隔振：隔幅或稱為被動隔振，絕對運動傳遞率給出傳遞到系統(tǒng)上的絕對位移振幅與振源所產(chǎn)生的簡諧振動振幅之比，即 兩類隔振要求相同，即只有當(dāng)時，減振器才有隔振效果。這樣，減振器彈簧的剛度系數(shù)應(yīng)該滿足當(dāng)時，從幅頻特性曲線可知，阻尼愈小隔振效果愈好。但實際上為了減小系統(tǒng)越過共振區(qū)時的振幅，配置適當(dāng)?shù)淖枘崾潜匾摹?. 簡述單自由度系統(tǒng)的參數(shù)共振與線性單自由度系統(tǒng)共振現(xiàn)象的區(qū)別。（5分）

6、答：在外部激勵作用下，一般無阻尼系統(tǒng)的共振現(xiàn)象是在激勵頻率和固有頻率重合時發(fā)生，而參數(shù)共振是在激發(fā)頻率等于固有頻率的兩倍時出現(xiàn)。參數(shù)共振的另外一個獨特之處在于，在激發(fā)頻率小于主要共振頻率時，參數(shù)共振現(xiàn)象也可能發(fā)生。而參數(shù)共振系統(tǒng)最奇特的是它具有連續(xù)的動力不穩(wěn)定區(qū)域。二、 （共10分）一個單自由度系統(tǒng)的動力學(xué)方程為該系統(tǒng)是否為保守系統(tǒng)（2分）？畫出相軌跡（4分），并指出平衡點類型（4分）。答：令，動力學(xué)方程可以寫為 (1)因為不含有項，所以系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。由可得奇點為：，。保守系統(tǒng)勢能函數(shù)為 (2)因，可知，為穩(wěn)定點；為不穩(wěn)定點；為不穩(wěn)定點。相軌跡方程為 (3)保守系統(tǒng)勢能曲線和相軌跡見所示：奇

7、點為。其中為鞍點，不穩(wěn)定；為中心，穩(wěn)定。三、 （共10分）如圖所示，位于彈簧k4和k1中央的質(zhì)量m只能做上下運動，并且k1位于k3和k2中央，兩個剛性梁可以自由回轉(zhuǎn)但忽略他們的質(zhì)量和慣性矩。求系統(tǒng)的固有振動頻率。答：施加集中力于質(zhì)量。彈簧（）的長度變化分別為（）。設(shè)質(zhì)量下降的位移為，合成彈簧常數(shù)為。由力之平衡條件得 (1)由力矩之平衡條件得 (2)而系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)為，其中： (3)由式(1)和式(2)得， (4)結(jié)合式(3)和式(4)得 (5)因此該彈簧系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)為 (6)系統(tǒng)自由振動的方程為，其固有振動頻率為 (7)四、 （共20分）針對圖示系統(tǒng)。1） 求系統(tǒng)固有振動頻率和振型向

8、量（8分），并畫出振型（2分）；2） 敘述用振型疊加方法求受迫振動響應(yīng)的主要步驟（2分）。令，用振型疊加方法求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（8分）。注：（）括號內(nèi)不算記分。答：1）令質(zhì)量塊的位移從左向右依次為、和。系統(tǒng)的動能函數(shù)和勢能函數(shù)分別為對應(yīng)廣義坐標(biāo)、和的廣義力依次為、0和0。把動能函數(shù)、勢能函數(shù)和廣義力代入Lagrange方程得式中：質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、位移坐標(biāo)列向量和廣義力列向量分別為， 該系統(tǒng)的廣義特征值方程為 (1)因此系統(tǒng)的特征值方程為 (2)從方程(2)可以求解出特征值和頻率為，把特征值依次代入方程(1)，可以得到特征向量或模態(tài)向量， 而模態(tài)剛度為，第1階模態(tài) 第2階模態(tài) 第3階模態(tài)2）模

9、態(tài)向量疊加方法。對于動力學(xué)方程 （3-3）利用式（3-2）把方程（3-3）解耦之后得到 （3-4）式中：。這樣就可以根據(jù)前兩章的方法對方程（3-4）進行求解：. 求解廣義特征值方程，得到特征解。. 根據(jù)模態(tài)正交性和初始條件確定模態(tài)坐標(biāo)。. 根據(jù)疊加原理，用求得的qj即得到物理坐標(biāo)系下的響應(yīng)。 （2分） （當(dāng)時，方程（3-4）的解為 （3-5） （3-6）當(dāng)時，方程（3-4）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 （3-7）式中:， 當(dāng)為任意激勵時，若初始條件等于零，則有 , （3-8）本題系統(tǒng)是無阻尼系統(tǒng)，假設(shè)主坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為。載荷作用在左邊的質(zhì)量塊上，外載荷向量為。由公式(3-7)求主坐標(biāo)位移響應(yīng)因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移

10、響應(yīng)（若：載荷作用在中間的質(zhì)量塊上，外載荷向量為。主坐標(biāo)位移響應(yīng)分別為在物理坐標(biāo)系下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為 ）五、 （共20分）求均勻簡支梁（已知剛度EI，單位長度質(zhì)量A和長度L）的頻率方程（6分），寫出其模態(tài)正交條件（4分）。用Rayleigh方法求出其近似基頻（6分），并分析近似基頻大于解析解基頻的原因（4分）。答：模態(tài)正交條件：梁彎曲振動的控制微分方程為 （5-1）通解為 （5-2）簡支邊界條件為 （5-3） （5-4）將式（5-2）代入式（5-3）得C1=C3=0 （5-5）從而式（5-2）可化簡為 （5-6）將式（5-6）代入式（5-4）得 （5-7）C2、C4不能同時為零，因而得到 （5-8）因為，從而得到頻率方程為 （5-9）或 （5-10）故簡直梁的自由振動頻率為 （5-11）由式（5-7）可知，C4=0。令C1=1，得到模態(tài)函數(shù) （5-12）梁的應(yīng)變能和動能的表達式分別為 （5-13）根據(jù)邊界條件 在此取近似撓度函數(shù) （注：可設(shè)滿足條件的其他函數(shù)或