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文檔簡介
1、§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題1.二元一次不等式表示的區(qū)域(1)當(dāng)B0時(shí),AxByC0表示直線AxByC0的 ;AxByC0表示直線AxByC0的 .(2)當(dāng)B0時(shí),AxByC0表示直線AxByC0的 ;AxByC0表示直線AxByC0的 .2.線性規(guī)劃(1)不等式組是一組對變量x,y的約束條件,由于這組約束條件都是關(guān)于x,y的一次不等式,所以又可稱其為線性約束條件.ZAxBy是要求最大值或最小值的函數(shù),我們把它稱為 .由于ZAxBy是關(guān)于x,y的一次解析式,所以又可叫做 .另外注意:線性約束條件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.(2)一般地,求線性目標(biāo)函
2、數(shù)在線性約束條件下的 的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.(3)滿足線性約束條件的解(x,y)叫做 ,由所有可行解組成的集合叫做 .其中,使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解都叫做這個(gè)問題的 .線性目標(biāo)函數(shù)的最值常在可行域的邊界上,且通常在可行域的頂點(diǎn)處取得;而求最優(yōu)整數(shù)解首先要看它是否在可行域內(nèi).(4)用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟:首先,要根據(jù) (即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域).設(shè) ,畫出直線l0.觀察、分析、平移直線l0,從而找到最優(yōu)解.最后求得目標(biāo)函數(shù)的 .(5)利用線性規(guī)劃研究實(shí)際問題的解題思路:首先,應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型,即根據(jù)題意找出條件,確定 函數(shù).然后,用圖解法求得數(shù)學(xué)模型
3、的解,即 ,在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù) .自查自糾:1.(1)上方區(qū)域下方區(qū)域(2)下方區(qū)域上方區(qū)域2.(1)目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最優(yōu)解(4)線性約束條件畫出可行域z0最大值或最小值(5)約束線性目標(biāo)畫出可行域取得最值的解 下列命題中正確的是()A.點(diǎn)(0,1)在區(qū)域xy10內(nèi)B.點(diǎn)(0,0)在區(qū)域xy10內(nèi)C.點(diǎn)(1,0)在區(qū)域y2x內(nèi)D.點(diǎn)(0,0)在區(qū)域xy0內(nèi)解:將(0,0)代入xy0,成立.故選D. 不等式x2y60表示的區(qū)域在直線x2y60的()A.左下方 B.左上方C.右下方 D.右上方解:畫出直線及區(qū)域范圍知C正確.故選C. ()若變量x,y
4、滿足約束條件 則z2xy的最大值是()A.2 B.4C.7 D.8解:畫出不等式組的可行域如圖陰影部分所示,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可知,當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(3,1)時(shí),z取最大值,且為7.故選C. 點(diǎn)在直線2x3y60的上方,則t的取值范圍是 .解:在2x3y60的上方,則2×3t60,解得t.故填 . 不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))共有 個(gè).解:畫出平面區(qū)域的圖象,可以看出整點(diǎn)有(1,1),(1,2),(2,1),共3個(gè),故填3.類型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域()記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若直線ya(x1)與D有公共點(diǎn),則a的取值范圍是_.解
5、:作出題中不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示,直線ya(x1)恒過定點(diǎn)C(1,0),由圖并結(jié)合題意易知kBC,kAC4,要使直線ya(x1)與平面區(qū)域D有公共點(diǎn),則a4.故填.點(diǎn)撥:關(guān)于不等式組所表示的平面區(qū)域(可行域)的確定,可先由“直線定界”,再由“不等式定域”,定域的常用方法是“特殊點(diǎn)法”,且一般取坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)為特殊點(diǎn);這里的直線ya(x1)是過定點(diǎn)(1,0)且斜率為a的直線系.注意:含一個(gè)參數(shù)的直線方程都可看成有一個(gè)定元素的直線系.()不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_.解:不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,易求得|BD|2,C點(diǎn)坐標(biāo)(8,2),SABCSABDSB
6、CD×2×(22)4. 故填4.類型二利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解()若變量x,y滿足約束條件 且z2xy的最大值和最小值分別為m和n,則mn()A.8 B.7 C.6 D.5解:作出可行域(如圖陰影部分所示)后,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可知,當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),z的值最大,易得A(2,1),則mzmax2×213.當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z的值最小,易得B(1,1),則nzmin2×(1)13.故mn6.故選C.點(diǎn)撥:可行域是封閉區(qū)域時(shí),可以將端點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)z2xy,求出最大值3與最小值3,從而得到相應(yīng)范圍.若線性規(guī)劃的可行域不是封閉區(qū)域時(shí),不能簡
7、單的運(yùn)用代入頂點(diǎn)的方法求最優(yōu)解.如變式2,需先準(zhǔn)確地畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線在可行域上移動,觀察z的大小變化,得到最優(yōu)解.設(shè)x,y滿足則zxy()A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,無最大值C.有最大值3,無最小值 D.既無最小值,也無最大值解:畫出不等式表示的平面區(qū)域,如圖,由zxy,得yxz,令z0,畫出yx的圖象,當(dāng)它的平行線經(jīng)過A(2,0)時(shí),z取得最小值為zmin202,由于可行域是向右上方無限延伸的非封閉區(qū)域,yxz向右上方移動時(shí),zxy也趨于無窮大,所以zxy無最大值,故選B.類型三含參數(shù)的線性規(guī)劃問題(1)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分
8、,則k的值是()A. B. C. D.解:由題目所給的不等式組可知,其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,這里直線ykx只需經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)D即可,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入可得k.故選A.(2)在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為()A.5 B.1 C.2 D.3解:如圖可得陰影部分即為滿足x10與xy10的可行域,而直線axy10恒過點(diǎn)(0,1),故看作直線繞點(diǎn)(0,1)旋轉(zhuǎn),若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2,則它是三角形,設(shè)該三角形為ABC,因?yàn)锳BC的點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為A(0,1)和B(1,0),且SABC2,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(1,y)
9、,則×1×y2y4,將點(diǎn)C(1,4)代入axy10得a3.故選D.點(diǎn)撥:此類問題綜合性較強(qiáng),注意到y(tǒng)kx,axy10都是含參數(shù)且恒過定點(diǎn)的直線,因此這兩題我們采用數(shù)形結(jié)合求解.注意把握的兩點(diǎn):參數(shù)的幾何意義;條件的合理轉(zhuǎn)化.(1)若x,y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,則a的取值范圍是()A.(1,2) B.(4,2)C.(4,0 D.(2,4)解法一:zax2y的斜率為,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(1,0)處取得最小值,由圖象知斜率滿足:124a2,所以參數(shù)a的取值范圍是(4,2).解法二:由條件知,可行域是一個(gè)三角形,頂點(diǎn)為A(1,0),B(3,4),C(
10、0,1),由于目標(biāo)函數(shù)的最小值僅在A點(diǎn)處取得,zAa,zB3a8,zC2,依題意,zAazB3a8,zAazC2,所以參數(shù)a的取值范圍是(4,2),故選B.(2)()若變量x,y滿足約束條件 且z2xy的最小值為6,則k_.解:易得出約束條件中三條直線兩兩所成的交點(diǎn)(k,k),(4k,k),(2,2),且可行域如圖,則k2.最小值在點(diǎn)(k,k)處取得,3k6,得k2.故填2.類型四利用線性規(guī)劃求非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解已知 當(dāng)x,y取何值時(shí),x2y2取得最大值、最小值?最大值、最小值各是多少?解:如圖,作出可行域(圖中的陰影部分),可行域是封閉的ABC(包括邊界),由得頂點(diǎn)A(2,3),同理可得
11、B(0,2),C(1,0),因?yàn)閤2y2是可行域內(nèi)一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方,所以,當(dāng)P(x,y)和A(2,3)重合時(shí),(x2y2)max223213,顯然,原點(diǎn)到直線BC:2xy20的距離d最小,這里d,(x2y2)mind2,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P.綜上可知,當(dāng)x2,y3時(shí),x2y2取得最大值,最大值是13;當(dāng)x,y時(shí),x2y2取得最小值,最小值是.點(diǎn)撥:本題不是求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,而是求a2b2取得最大值、最小值問題,理解待求式的幾何意義并準(zhǔn)確畫圖是解這類題目的關(guān)鍵,同時(shí)注意取得最值的點(diǎn)不一定在頂點(diǎn)處取得,本題的最小值就是利用距離公式求得的.實(shí)系數(shù)方程f(x)x2
12、ax2b0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在(1,2)內(nèi),求:(1)的值域;(2)(a1)2(b2)2的值域.解:由題意知可行域是一個(gè)不包括邊界的三角形,其頂點(diǎn)為A(3,1),B(2,0),C(1,0).如圖所示.(1)設(shè)kbk(a1)2,則k表示可行域內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)P(a,b)和定點(diǎn)Q(1,2)連線的斜率,因?yàn)锳(3,1),C(1,0),則kAQ,kCQ1,kAQkkCQ,k1.的值域是.(2)(a1)2(b2)2表示可行域內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)P(a,b)和定點(diǎn)Q(1,2)的距離的平方,顯然,當(dāng)動點(diǎn)P(a,b)和點(diǎn)C(1,0)重合時(shí)距離最小,最小值為2,而P(a,b)和點(diǎn)A(3,1)重合時(shí)距離最大,最大值
13、為,所以(a1)2(b2)2的值域?yàn)?8,17).類型五線性規(guī)劃與整點(diǎn)問題設(shè)不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(anN*),則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_.解:直線ynx3nn(x3),過定點(diǎn)(3,0),由ynx3n0得x3,又x0,所以x1或x2.直線x2交直線ynx3n于點(diǎn)(2,n),直線x1交直線ynx3n于點(diǎn)(1,2n),所以整點(diǎn)個(gè)數(shù)ann2n3n.故填3n.點(diǎn)撥:求解整點(diǎn)問題,對作圖精度要求較高,可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn),最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn).設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組 若x,y為整數(shù),則3x4y的最小值為()A.14
14、B.16 C.17 D.19解:畫出可行域如圖,令3x4yz,yx,過x軸上的整點(diǎn)(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0)處作格子線,可知當(dāng)yx過(4,1)時(shí)有最小值(對可疑點(diǎn)(3,2),(2,4),(4,1)逐個(gè)試驗(yàn)),此時(shí)zmin3×4416.故選B.類型六線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的應(yīng)用某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜,種植面積不超過50畝,投入資金不超過54萬元,假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大,那么黃瓜和韭菜的種植面積
15、(單位:畝)分別為_,_.解:設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為z(0.55×4x1.2x)(0.3×6y0.9y)x0.9y.線性約束條件為即畫出可行域如圖所示.作出直線l0:x0.9y0,向上平移至過點(diǎn)B(30,20)時(shí),zmax300.9×2048.故填30;20.點(diǎn)撥:對于此類有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題,可行域通常是位于第一象限的一個(gè)凸多邊形區(qū)域,此時(shí)變動直線的最佳位置一般通過這個(gè)凸多邊形在第一象限的某個(gè)頂點(diǎn).某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品
16、6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為元.解:設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)x天,乙種設(shè)備需要生產(chǎn)y天,該公司所需租賃費(fèi)為z元,則z200x300y,甲、乙兩種設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況如下表所示:產(chǎn)品設(shè)備A類產(chǎn)品(件) (50)B類產(chǎn)品(件) (140)租賃費(fèi)(元)甲設(shè)備510200乙設(shè)備620300則x,y滿足的關(guān)系為即作出不等式組表示的平面區(qū)域,當(dāng)z200x300y對應(yīng)的直線過兩直線的交點(diǎn)(4,5)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z200x300y取得最小值為2300元.故填2300.1.解客觀題可
17、利用特殊點(diǎn)判斷二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域所在位置,如果直線AxByC0不經(jīng)過原點(diǎn),則把原點(diǎn)代入AxByC,通過AxByC的正負(fù)和不等號的方向,來判斷二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域所在的位置.2.如果可行域是一個(gè)多邊形,那么一般在其頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值.最優(yōu)解一般是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn),到底是哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解,有三種解決方法:第一種方法:將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動,最先通過或最后通過的一個(gè)便是.第二種方法:利用圍成可行域的直線斜率來判斷.特別地,當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域某條邊重合時(shí),其最優(yōu)解可能有無數(shù)組.第三種方法:將可行域所在多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)Pi逐一代入目標(biāo)函數(shù)ZPim
18、xny,比較各個(gè)ZPi,得最大值或最小值.1.不等式組所表示的平面區(qū)域是 ()解:畫出直線x2,在平面上取直線的右側(cè)部分(包含直線本身);再畫出直線xy0,取直線的右側(cè)部分(包含直線本身),兩部分重疊的區(qū)域就是不等式組表示的平面區(qū)域.故選D.2.()設(shè)變量x,y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5解:畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)可化為yxz,由圖可知,當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)(1,1)時(shí),z取得最小值3.故選B.3.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,則使函數(shù)yax的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A.1,3B.2,C.2,9D.
19、,9解:如圖,陰影部分為平面區(qū)域M,顯然a1,只需研究過(1,9),(3,8)兩種情形,a19且a38即2a9,故選C.4.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是()A.a B.0a1C.1a D.0a1或a解:如圖,由條件可知,當(dāng)直線xya在直線xy右上方時(shí),可行域可以組成一個(gè)三角形,即a時(shí),可行域可以組成一個(gè)OAB;當(dāng)0a1,可以組成一個(gè)三角形,所以0a1或a,故選D.5.()x,y滿足約束條件 若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù)a的值為()A.或1 B.2或C.2或1 D.2或1解:作出可行域如圖陰影部分所示,kAB2,kAC1.由zyax得yaxz.當(dāng)a0,直線
20、yaxz與直線AB重合時(shí),z取最大值2,此時(shí)a2;當(dāng)a0時(shí),直線yaxz與直線AC重合時(shí),z取最大值2,此時(shí)a1.故選D.6.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且xy的最大值為9,則實(shí)數(shù)m()A.2 B.1 C.1 D.2解:如圖,令zxy,則yxz,平移可知可行域只可能是ABC,且xy的最大值只在點(diǎn)C處取得,聯(lián)立方程組 得C(若m,則與2xy30平行,不可能),(xy)max9,解得m1.故選C.7.若點(diǎn)P(m,3)到直線4x3y10的距離為4,且點(diǎn)P在不等式2xy3表示的平面區(qū)域內(nèi),則m.解:由題意可得解得m3,故填3.8.若x,y滿足 且zyx的最小值為4,則k的值為_.解:由所給條件知目標(biāo)函數(shù)取
21、最小值4時(shí),對應(yīng)的直線為yx4,由xy20且y0知,直線kxy20過點(diǎn)(4,0),k.故填.9.變量x,y滿足(1)假設(shè)z14x3y,求z1的最大值;(2)設(shè)z2,求z2的最小值;(3)設(shè)z3x2y2,求z3的取值范圍.解:作出可行域如圖中陰影部分,聯(lián)立易得A,B(1,1),C(5,2).(1)z14x3yyx,易知平移yx至過點(diǎn)C時(shí),z1最大,且最大值為4×53×214.(2)z2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率大小,顯然直線OC斜率最小.故z2的最小值為.(3)z3x2y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,而2OB2OA2OC229.故z32,29.10.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電、勞力、獲得利潤及每天資源限額(最大供應(yīng)量)如下表所示:甲產(chǎn)品(每噸)乙產(chǎn)品(每噸)資源限額(每天)煤(t)94360電(kw·h)45200勞力(個(gè))310300利潤(萬元)612問:每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸,獲得利潤總額最大?解:設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸、y噸,獲得
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