73二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題

1、§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題1.二元一次不等式表示的區(qū)域(1)當(dāng)B0時(shí)，AxByC0表示直線AxByC0的 ；AxByC0表示直線AxByC0的 .(2)當(dāng)B0時(shí)，AxByC0表示直線AxByC0的 ；AxByC0表示直線AxByC0的 .2.線性規(guī)劃(1)不等式組是一組對變量x，y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x，y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.ZAxBy是要求最大值或最小值的函數(shù)，我們把它稱為 .由于ZAxBy是關(guān)于x，y的一次解析式，所以又可叫做 .另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求線性目標(biāo)函

2、數(shù)在線性約束條件下的 的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.(3)滿足線性約束條件的解(x，y)叫做 ，由所有可行解組成的集合叫做 .其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解都叫做這個(gè)問題的 .線性目標(biāo)函數(shù)的最值常在可行域的邊界上，且通常在可行域的頂點(diǎn)處取得；而求最優(yōu)整數(shù)解首先要看它是否在可行域內(nèi).(4)用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：首先，要根據(jù) (即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域).設(shè) ，畫出直線l0.觀察、分析、平移直線l0，從而找到最優(yōu)解.最后求得目標(biāo)函數(shù)的 .(5)利用線性規(guī)劃研究實(shí)際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出條件，確定 函數(shù).然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型

3、的解，即 ，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù) .自查自糾：1.(1)上方區(qū)域下方區(qū)域(2)下方區(qū)域上方區(qū)域2.(1)目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最優(yōu)解(4)線性約束條件畫出可行域z0最大值或最小值(5)約束線性目標(biāo)畫出可行域取得最值的解 下列命題中正確的是()A.點(diǎn)(0，1)在區(qū)域xy10內(nèi)B.點(diǎn)(0，0)在區(qū)域xy10內(nèi)C.點(diǎn)(1，0)在區(qū)域y2x內(nèi)D.點(diǎn)(0，0)在區(qū)域xy0內(nèi)解：將(0，0)代入xy0，成立.故選D. 不等式x2y60表示的區(qū)域在直線x2y60的()A.左下方 B.左上方C.右下方 D.右上方解：畫出直線及區(qū)域范圍知C正確.故選C. ()若變量x，y

4、滿足約束條件 則z2xy的最大值是()A.2 B.4C.7 D.8解：畫出不等式組的可行域如圖陰影部分所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可知，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)時(shí)，z取最大值，且為7.故選C. 點(diǎn)在直線2x3y60的上方，則t的取值范圍是 .解：在2x3y60的上方，則2×3t60，解得t.故填 . 不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))共有 個(gè).解：畫出平面區(qū)域的圖象，可以看出整點(diǎn)有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3個(gè)，故填3.類型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域()記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線ya(x1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_.解

5、：作出題中不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，直線ya(x1)恒過定點(diǎn)C(1，0)，由圖并結(jié)合題意易知kBC，kAC4，要使直線ya(x1)與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則a4.故填.點(diǎn)撥：關(guān)于不等式組所表示的平面區(qū)域(可行域)的確定，可先由“直線定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊點(diǎn)法”，且一般取坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)為特殊點(diǎn)；這里的直線ya(x1)是過定點(diǎn)(1，0)且斜率為a的直線系.注意：含一個(gè)參數(shù)的直線方程都可看成有一個(gè)定元素的直線系.()不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_.解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，易求得|BD|2，C點(diǎn)坐標(biāo)(8，2)，SABCSABDSB

6、CD×2×(22)4. 故填4.類型二利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解()若變量x，y滿足約束條件 且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn()A.8 B.7 C.6 D.5解：作出可行域(如圖陰影部分所示)后，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可知，當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z的值最大，易得A(2，1)，則mzmax2×213.當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z的值最小，易得B(1，1)，則nzmin2×(1)13.故mn6.故選C.點(diǎn)撥：可行域是封閉區(qū)域時(shí)，可以將端點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)z2xy，求出最大值3與最小值3，從而得到相應(yīng)范圍.若線性規(guī)劃的可行域不是封閉區(qū)域時(shí)，不能簡

7、單的運(yùn)用代入頂點(diǎn)的方法求最優(yōu)解.如變式2，需先準(zhǔn)確地畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線在可行域上移動，觀察z的大小變化，得到最優(yōu)解.設(shè)x，y滿足則zxy()A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無最大值C.有最大值3，無最小值 D.既無最小值，也無最大值解：畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象，當(dāng)它的平行線經(jīng)過A(2，0)時(shí)，z取得最小值為zmin202，由于可行域是向右上方無限延伸的非封閉區(qū)域，yxz向右上方移動時(shí)，zxy也趨于無窮大，所以zxy無最大值，故選B.類型三含參數(shù)的線性規(guī)劃問題(1)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分

8、，則k的值是()A. B. C. D.解：由題目所給的不等式組可知，其表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，這里直線ykx只需經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)D即可，此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得k.故選A.(2)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為()A.5 B.1 C.2 D.3解：如圖可得陰影部分即為滿足x10與xy10的可行域，而直線axy10恒過點(diǎn)(0，1)，故看作直線繞點(diǎn)(0，1)旋轉(zhuǎn)，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則它是三角形，設(shè)該三角形為ABC，因?yàn)锳BC的點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為A(0，1)和B(1，0)，且SABC2，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(1，y)

9、，則×1×y2y4，將點(diǎn)C(1，4)代入axy10得a3.故選D.點(diǎn)撥：此類問題綜合性較強(qiáng)，注意到y(tǒng)kx，axy10都是含參數(shù)且恒過定點(diǎn)的直線，因此這兩題我們采用數(shù)形結(jié)合求解.注意把握的兩點(diǎn)：參數(shù)的幾何意義；條件的合理轉(zhuǎn)化.(1)若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，則a的取值范圍是()A.(1，2) B.(4，2)C.(4，0 D.(2，4)解法一：zax2y的斜率為，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，由圖象知斜率滿足：124a2，所以參數(shù)a的取值范圍是(4，2).解法二：由條件知，可行域是一個(gè)三角形，頂點(diǎn)為A(1，0)，B(3，4)，C(

10、0，1)，由于目標(biāo)函數(shù)的最小值僅在A點(diǎn)處取得，zAa，zB3a8，zC2，依題意，zAazB3a8，zAazC2，所以參數(shù)a的取值范圍是(4，2)，故選B.(2)()若變量x，y滿足約束條件 且z2xy的最小值為6，則k_.解：易得出約束條件中三條直線兩兩所成的交點(diǎn)(k，k)，(4k，k)，(2，2)，且可行域如圖，則k2.最小值在點(diǎn)(k，k)處取得，3k6，得k2.故填2.類型四利用線性規(guī)劃求非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解已知 當(dāng)x，y取何值時(shí)，x2y2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如圖，作出可行域(圖中的陰影部分)，可行域是封閉的ABC(包括邊界)，由得頂點(diǎn)A(2，3)，同理可得

11、B(0，2)，C(1，0)，因?yàn)閤2y2是可行域內(nèi)一點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，所以，當(dāng)P(x，y)和A(2，3)重合時(shí)，(x2y2)max223213，顯然，原點(diǎn)到直線BC：2xy20的距離d最小，這里d，(x2y2)mind2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P.綜上可知，當(dāng)x2，y3時(shí)，x2y2取得最大值，最大值是13；當(dāng)x，y時(shí)，x2y2取得最小值，最小值是.點(diǎn)撥：本題不是求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，而是求a2b2取得最大值、最小值問題，理解待求式的幾何意義并準(zhǔn)確畫圖是解這類題目的關(guān)鍵，同時(shí)注意取得最值的點(diǎn)不一定在頂點(diǎn)處取得，本題的最小值就是利用距離公式求得的.實(shí)系數(shù)方程f(x)x2

12、ax2b0的一個(gè)根在(0，1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，2)內(nèi)，求：(1)的值域；(2)(a1)2(b2)2的值域.解：由題意知可行域是一個(gè)不包括邊界的三角形，其頂點(diǎn)為A(3，1)，B(2，0)，C(1，0).如圖所示.(1)設(shè)kbk(a1)2，則k表示可行域內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)P(a，b)和定點(diǎn)Q(1，2)連線的斜率，因?yàn)锳(3，1)，C(1，0)，則kAQ，kCQ1，kAQkkCQ，k1.的值域是.(2)(a1)2(b2)2表示可行域內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)P(a，b)和定點(diǎn)Q(1，2)的距離的平方，顯然，當(dāng)動點(diǎn)P(a，b)和點(diǎn)C(1，0)重合時(shí)距離最小，最小值為2，而P(a，b)和點(diǎn)A(3，1)重合時(shí)距離最大，最大值

13、為，所以(a1)2(b2)2的值域?yàn)?8，17).類型五線性規(guī)劃與整點(diǎn)問題設(shè)不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(anN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_.解：直線ynx3nn(x3)，過定點(diǎn)(3，0)，由ynx3n0得x3，又x0，所以x1或x2.直線x2交直線ynx3n于點(diǎn)(2，n)，直線x1交直線ynx3n于點(diǎn)(1，2n)，所以整點(diǎn)個(gè)數(shù)ann2n3n.故填3n.點(diǎn)撥：求解整點(diǎn)問題，對作圖精度要求較高，可行域內(nèi)的整點(diǎn)要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點(diǎn)法”先作出可行域中的各整點(diǎn).設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 若x，y為整數(shù)，則3x4y的最小值為()A.14

14、B.16 C.17 D.19解：畫出可行域如圖，令3x4yz，yx，過x軸上的整點(diǎn)(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)處作格子線，可知當(dāng)yx過(4，1)時(shí)有最小值(對可疑點(diǎn)(3，2)，(2，4)，(4，1)逐個(gè)試驗(yàn))，此時(shí)zmin3×4416.故選B.類型六線性規(guī)劃在實(shí)際問題中的應(yīng)用某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積

15、(單位：畝)分別為_，_.解：設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x，y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z(0.55×4x1.2x)(0.3×6y0.9y)x0.9y.線性約束條件為即畫出可行域如圖所示.作出直線l0：x0.9y0，向上平移至過點(diǎn)B(30，20)時(shí)，zmax300.9×2048.故填30；20.點(diǎn)撥：對于此類有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動直線的最佳位置一般通過這個(gè)凸多邊形在第一象限的某個(gè)頂點(diǎn).某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品

16、6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為元.解：設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)x天，乙種設(shè)備需要生產(chǎn)y天，該公司所需租賃費(fèi)為z元，則z200x300y，甲、乙兩種設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品的情況如下表所示：產(chǎn)品設(shè)備A類產(chǎn)品(件) (50)B類產(chǎn)品(件) (140)租賃費(fèi)(元)甲設(shè)備510200乙設(shè)備620300則x，y滿足的關(guān)系為即作出不等式組表示的平面區(qū)域，當(dāng)z200x300y對應(yīng)的直線過兩直線的交點(diǎn)(4，5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z200x300y取得最小值為2300元.故填2300.1.解客觀題可

17、利用特殊點(diǎn)判斷二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域所在位置，如果直線AxByC0不經(jīng)過原點(diǎn)，則把原點(diǎn)代入AxByC，通過AxByC的正負(fù)和不等號的方向，來判斷二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域所在的位置.2.如果可行域是一個(gè)多邊形，那么一般在其頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值.最優(yōu)解一般是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)，到底是哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，有三種解決方法：第一種方法：將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的一個(gè)便是.第二種方法：利用圍成可行域的直線斜率來判斷.特別地，當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域某條邊重合時(shí)，其最優(yōu)解可能有無數(shù)組.第三種方法：將可行域所在多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)Pi逐一代入目標(biāo)函數(shù)ZPim

18、xny，比較各個(gè)ZPi，得最大值或最小值.1.不等式組所表示的平面區(qū)域是 ()解：畫出直線x2，在平面上取直線的右側(cè)部分(包含直線本身)；再畫出直線xy0，取直線的右側(cè)部分(包含直線本身)，兩部分重疊的區(qū)域就是不等式組表示的平面區(qū)域.故選D.2.()設(shè)變量x，y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)zx2y的最小值為()A.2 B.3 C.4 D.5解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)可化為yxz，由圖可知，當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)(1，1)時(shí)，z取得最小值3.故選B.3.設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，則使函數(shù)yax的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A.1，3B.2，C.2，9D.

19、，9解：如圖，陰影部分為平面區(qū)域M，顯然a1，只需研究過(1，9)，(3，8)兩種情形，a19且a38即2a9，故選C.4.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是()A.a B.0a1C.1a D.0a1或a解：如圖，由條件可知，當(dāng)直線xya在直線xy右上方時(shí)，可行域可以組成一個(gè)三角形，即a時(shí)，可行域可以組成一個(gè)OAB；當(dāng)0a1，可以組成一個(gè)三角形，所以0a1或a，故選D.5.()x，y滿足約束條件 若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為()A.或1 B.2或C.2或1 D.2或1解：作出可行域如圖陰影部分所示，kAB2，kAC1.由zyax得yaxz.當(dāng)a0，直線

20、yaxz與直線AB重合時(shí)，z取最大值2，此時(shí)a2；當(dāng)a0時(shí)，直線yaxz與直線AC重合時(shí)，z取最大值2，此時(shí)a1.故選D.6.若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且xy的最大值為9，則實(shí)數(shù)m()A.2 B.1 C.1 D.2解：如圖，令zxy，則yxz，平移可知可行域只可能是ABC，且xy的最大值只在點(diǎn)C處取得，聯(lián)立方程組 得C(若m，則與2xy30平行，不可能)，(xy)max9，解得m1.故選C.7.若點(diǎn)P(m，3)到直線4x3y10的距離為4，且點(diǎn)P在不等式2xy3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m.解：由題意可得解得m3，故填3.8.若x，y滿足 且zyx的最小值為4，則k的值為_.解：由所給條件知目標(biāo)函數(shù)取

21、最小值4時(shí)，對應(yīng)的直線為yx4，由xy20且y0知，直線kxy20過點(diǎn)(4，0)，k.故填.9.變量x，y滿足(1)假設(shè)z14x3y，求z1的最大值；(2)設(shè)z2，求z2的最小值；(3)設(shè)z3x2y2，求z3的取值范圍.解：作出可行域如圖中陰影部分，聯(lián)立易得A，B(1，1)，C(5，2).(1)z14x3yyx，易知平移yx至過點(diǎn)C時(shí)，z1最大，且最大值為4×53×214.(2)z2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率大小，顯然直線OC斜率最小.故z2的最小值為.(3)z3x2y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而2OB2OA2OC229.故z32，29.10.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲、乙兩種產(chǎn)品所需煤、電、勞力、獲得利潤及每天資源限額(最大供應(yīng)量)如下表所示：甲產(chǎn)品(每噸)乙產(chǎn)品(每噸)資源限額(每天)煤(t)94360電(kw·h)45200勞力(個(gè))310300利潤(萬元)612問：每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸，獲得利潤總額最大？解：設(shè)此工廠應(yīng)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸、y噸，獲得