11-12幾代試題及答案

1、11-12-2幾何與代數(shù) B 期末試卷 A、填空題 (30%)1,BA = B 2E, E為2階單位陣，則0| =2. 設(shè)矩陣A,B分別是s和t階可逆矩陣，則3.4. 過(guò)點(diǎn)P(l,2,0)且與直線垂直的平面的方程是x-y+ 3z =05. 若向量組 (1,-1,2), (1, k,-3), (3,0,1)線性相關(guān) , 貝打 =6. 設(shè) 4是 4x3 階矩陣，若齊次線性方程組 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，則方程組 Ary= 0的基礎(chǔ)解系中有 .7 設(shè) a,0 是非零向量，若 |a + 0| = |a-0|,-個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量則向量 a 與 0 的關(guān)系是 .9(°a b&#

2、39;2 0與對(duì)角陣相似，則參數(shù)“和 b 滿足42102k+1正定，則參數(shù) k.、k +滿足-01)abda b +d二、(10%)計(jì)算行列11d式a_2b<7a b+ 3三、(12%)設(shè)矩陣4 =2-3求矩陣方程為 +A-AX = O 的J - 2設(shè) 3階方陣 A 的特征值為-1, 2, 3 ,貝怖列式 |2獷卜四、（14% ）設(shè)線性方 程組Xj+ 馮=2兀+ 2X2 +也=2與< axx + 2x2 -X3 =-2x, + bx, = 03 c都是相容的，且是同解2Cx2 + 兀 3 =方程組。（1）求參數(shù)0的值;（2）求參數(shù)b,c的值和方程組的通解。五、（10%）在空間直角坐

3、標(biāo)系中，曲線:o曲面曲是以曲y = 0 x = 0線為準(zhǔn)線，母線與 y軸平行的柱面，龍 2為2繞z軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面。分別求曲面叭、龍2的方程；并求誓與龍 2的交線在xOy平面上的投影曲線的方程。六、(14%)給定二次型 / ( %, X2, X3)= 3xf + 6x ； +-4X,X2-8X,X3-4x2x3。1. 求正交變換x = Qy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并給岀相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型;2. 作岀二次曲面/ （%!，%2,%3）= -1的草圖。七、證明題（10%）1. 設(shè)4是sx"矩陣，B是"xs矩陣，若AB = E,證明：4的行向量組線性無(wú)關(guān)。 二、（12%）2. 假設(shè)a,

4、b,c是實(shí)數(shù)，證明：矩陣1 b 1的三個(gè)特征值互不相同分）(0礦U1.2; 2.,U"1 0 丿6. 2 7. 垂直;3. 0 ;4. 5x3z + 3 = 08. 4/3 ;9. a = 0,b4y5.任意；10.k >0(10%) a b cQl b+1 c 解:a 2 b c+2a-3 b c=(a+b + c + d) jbb +1bb010 c 0 =6(a + b + c + d )oo £ 丄)c + d)、填空題（30%,每空3解：先化簡(jiǎn)矩陣方|A|= 2 -3 0 =-1A0,故方程組兩邊同時(shí)左乘 得 X + AXA =O，X =4(4 E) “1-

5、2 0A'1,得 XA'+E-X=O,再右乘 4, 即 X(A-E)=A(或進(jìn)一步X = E + (A-<-0 J< -11/2 -12 -4，3-E)"=-1/20 1-1/2-2< 01/2 1 -而A-E'0 1/2 -1、.-.x= -1/21、0 1/2 0 ,-1/2四、(14%)解：(1)設(shè)£ =；-0 c1 2 1q<2242 jk_2>因?yàn)?片與 Ax =乞相容，且它們是同解方程組，貝U r(At) = rCAp/jJ = r(A,Z? 2) = r(AA) = 2，由 |Aj = 0 ,得到 a =

6、3 ；Ax = b(2) Ax = bx與=同解，所以|與=$也同解，且增廣矩陣秩為2%, = -2 + x三a001-112 200b0001-c2-2c<0000>/無(wú)、兀=b2即通解X2Z? = 0, c = 1-11°<l02112、bA32-1-211b0<c12增廣矩陣/1血丿<0-1-1222022401b +2c12五、(10%)解：柱面陌的方程： x2+2z = 1,旋轉(zhuǎn)面兀2的方程：十+尸-32=0;x2 +2z =1曲面眄與兀2的交線3的方x2 +y2 _3z=0 -q 2 - /?*)2 _ o交線3在xOy平面的投影曲線方程：%

7、歹，投影曲線是一個(gè)橢圓。z = 0<(14%)、4'3 解：(1)二次型 f(x) = xTAx 的矩陣-2 -26-4、-2求特交值換得人=Q=7,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形-23丿:/(yp y2, y3) = 7X +7y; -2_yf(2)變換特征向Qy將二次曲面/(%!, X2, x3) = -1的方程化為：7yj+7yj 2y; =-1,'4 2 4、'1 1/2入 2 =7 時(shí)，E A2 1 200 04 2 4;00 0丿得到正交的特征向量：%0 ' “2 =-41'-524'1 -41 =2 時(shí)，一A =2 -820 1-1/2、

8、4 20 0° 丿fl00-i -1/2 ,特征向量“30'小 “2W，M'hll令正交矩陣0=1/V21/V182/30-4/V181/3-1/V21/V182/3丿a這是一個(gè)雙葉雙曲面，草圖如下七、證明題(10%)1.證明：Asx, 5, xs(AB)sxs ?: AB = E, :. r(AB) = r(E) = 5 ;而 s = r(A5) < min |r(A), r(5) < r(A),同時(shí)r(A)Vmins, ” <S. r(4) = s,即4的行向量組線性無(wú)關(guān)2.證明：(反證法)？?？ 是實(shí)對(duì)稱矩陣,.?.4A (其中A是對(duì)角矩陣)。下面只需要證明矩陣矩陣A沒(méi)有二重特