高二數(shù)學(xué)第二章推理與證明復(fù)習(xí)小結(jié)人教版VIP

1、第二章推理與證第二章推理與證明復(fù)習(xí)小結(jié)明復(fù)習(xí)小結(jié)推推理理與與證證明明推理推理證明證明合情推理合情推理演繹推理演繹推理直接證明直接證明數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法間接證明間接證明 比較法比較法類比推理類比推理歸納推理歸納推理 分析法分析法 綜合法綜合法 反證法反證法知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)b bc c + + c ca ac ca a + + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1: : a a、b b、c c 不不相相等

2、等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab bc c證證為為數(shù)數(shù)例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c + + +. .a ab bc c為為數(shù)數(shù)證證.1 11 11 1a a + +b b + +c c + + +成成立立a ab bc c一一.綜合法綜合法1 11 11 11 11 11 1+ + + +b bc cc ca aa ab b + + +2 22

3、 22 2111111=+.=+.abcabc 法法2 2: :a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c= =1 1，1 11 11 1 a a + + b b+ + c c = =+ + +b bc cc ca aa ab b證證為為數(shù)數(shù).111111 a +b +c +成a +b +c +成立立abcabc例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c 5 5， 求求 ：a a - - 5 5 - -a a - - 3 3 a a - - 2 2

4、- -a a . .證證 證明證明: : 要證要證 只需證只需證 只需證只需證 只需證只需證 只需證只需證 因?yàn)橐驗(yàn)?成立成立. . 所以所以 成立成立. .a a- -5 5 - - a a- -3 3 a a- -2 2 - - a a a a- -5 5a a a a- -2 2+ + a a- -3 3a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )0 0 6 60 0 6 6a a- -5 5 - - a a- -3 3 ,1,2 211

5、111+1,1+1,2323111111311111131+,1+,23456722345672111111111111111+21+22345671523456715你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明。你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明。例例: :平面內(nèi)有平面內(nèi)有n n條直線條直線, ,其中任何兩條不平行其中任何兩條不平行, ,任何三條任何三條不過同一點(diǎn)不過同一點(diǎn), ,證明交點(diǎn)的個數(shù)證明交點(diǎn)的個數(shù)f(n)f(n)等于等于n(n-1)/2.n(n-1)/2.證證:(1):(1)當(dāng)當(dāng)n=2n=2時時, ,兩條直線的交點(diǎn)只有兩條直線的交點(diǎn)只有1 1個個, ,又又f(2)=2f(2)=2(2-1

6、)/2=1,(2-1)/2=1,因此因此, ,當(dāng)當(dāng)n=2n=2時命題成立時命題成立. .(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)n=k(k2)時命題成立時命題成立, ,就是說就是說, ,平面內(nèi)滿足平面內(nèi)滿足 題設(shè)的任何題設(shè)的任何k k條直線的交點(diǎn)個數(shù)條直線的交點(diǎn)個數(shù)f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.以下來考慮平面內(nèi)有以下來考慮平面內(nèi)有k+1k+1條直線的情況條直線的情況. .任取其中任取其中的的1 1條直線條直線, ,記作記作l.l.由歸納假設(shè)由歸納假設(shè), ,除除l l以外的其他以外的其他k k條直線的交點(diǎn)個數(shù)條直線的交點(diǎn)個數(shù)f(k)f(k)等于等于k(k-1)/2.k

7、(k-1)/2.另外另外, ,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行, ,所以直線所以直線l l必與平面內(nèi)其他必與平面內(nèi)其他k k條直線都相交條直線都相交, ,有有k k個交點(diǎn)個交點(diǎn). .又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn)又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn), ,所以上面的所以上面的k k個交點(diǎn)兩兩不相同個交點(diǎn)兩兩不相同, ,且與平面內(nèi)其他的且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2k(k-1)/2個個交點(diǎn)也兩兩不相同交點(diǎn)也兩兩不相同. .從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個數(shù)是從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個數(shù)是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.k(k-1)/2+k=k(k-1)+2

8、/2 =(k+1)(k+1)-1/2.這就是說這就是說, ,當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時時,k+1,k+1條直線的交點(diǎn)個數(shù)為條直線的交點(diǎn)個數(shù)為: :f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.根據(jù)根據(jù)(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,命題對一切大于命題對一切大于1 1的正整數(shù)都的正整數(shù)都 成成立立. .說明說明: :用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題, ,重難點(diǎn)是處理好當(dāng)重難點(diǎn)是處理好當(dāng) n=k+1 n=k+1時利用假設(shè)結(jié)合幾何知識證明命題成立時利用假設(shè)結(jié)合幾何知識證明命題成立. .注注: :在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個結(jié)論在

9、上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個結(jié)論: :(1)(1)設(shè)這設(shè)這n n條直線互相分割成條直線互相分割成f(n)f(n)條線段或射線條線段或射線, ,-則則: f(n)=n2.: f(n)=n2.(2)(2)這這n n條直線把平面分成條直線把平面分成(n2+n+2)/2(n2+n+2)/2個區(qū)域個區(qū)域. .練習(xí)練習(xí)1:1:凸凸n n邊形有邊形有f(n)f(n)條對角線條對角線, ,則凸則凸n+1n+1邊形的對角線邊形的對角線 -的條數(shù)的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.n-1n-1練習(xí)練習(xí)2:2:設(shè)有通過一點(diǎn)的設(shè)有通過一點(diǎn)的k k個平面?zhèn)€平面, ,其中任何三個平面或其中任何三個平面或 三個以上的平面不共有一條直線三個以上的平面不共有一條直線, ,這這k k個平面將個平面將 空間分成空間分成f(k)f(k)個區(qū)域個區(qū)域, ,則則k+1k+1個平面將空間分成個平面將空間分成 f(k+1)=f(k)+_ f(k+1)=f(k)+_個區(qū)域個區(qū)域. .