小論文——倒立擺與SI魯棒極點配置

1、魯棒極點配置概念在單輸入系統(tǒng)控制中的應用李昊1 陳雯柏2 恒慶海2（1. 北京機械工業(yè)學院 計算機與自動化系 北京 100085；2. 北京信息工程學院 信息與通信工程系 北京 100101）摘 要：利用矩陣特征值一階攝動理論解釋了魯棒極點配置的原始目標，指出以特征向量廣義夾角加權和最大化為目標的一些方法存在認識偏差，并根據(jù)控制問題的特點重新規(guī)定了適用于評估閉環(huán)穩(wěn)定性的評判數(shù)；在MATLAB環(huán)境下編制了可直接使用拉格朗日方程的程序，求出了二級倒立擺穩(wěn)定位置附近局部線性化模型，以該評判數(shù)為基礎在GIP-300-VPPA-L型倒立擺上實現(xiàn)了對二級倒立擺的穩(wěn)定控制。建模程序經(jīng)適應性修改后可用于對任意

2、可用拉格朗日方程描述的系統(tǒng)進行建模。關鍵字： 特征值一階攝動 狀態(tài)反饋 魯棒極點配置 拉格朗日方程Robust pole assignment concept used on the SI plantLi Hao1,Chen wen-bai2, Heng qing-hai2(1. Department of Computer Scicnce & Automation, Beijing Institute of Machinery, Beijing 100085, China2. Department of Information & Communication Engineer

3、ing, Beijing Information Technology Institute, Beijing 100101, China)Abstract: The concept of robust pole assignment was re-explained using eigenvalue perturbation theory and some misunderstandings were pointed out. A new criterion for measuring the stable margin of state-space closed loop system wa

4、s given. Then the inverted pendulum is stabilized by the controller, which was selected by the criteria.Key words: eigenvalue; state-feedback; robust pole assignment; Lagrange equation引言應用線性系統(tǒng)理論的極點配置方法解決控制問題的時候，在證明一個以狀態(tài)空間模型描述的線性（子）系統(tǒng)為能控后，常基于純粹的性能因素指定目標極點，為了在參數(shù)發(fā)生攝動的情況下使極點配置的結果具有魯棒性，CAVIN等人1提出了魯棒極點配置（

5、RPA）概念，即依靠MI系統(tǒng)控制器相對目標極點的自由度設計具有魯棒能力的控制器，保證閉環(huán)極點對系統(tǒng)參數(shù)攝動具有較低的敏感度。為此目標，CAVIN1提出了第一種解決方案，實質(zhì)上以特征向量廣義夾角加權和最大化為目標（以下簡稱MaxA）；后來KAUTSKY等人2以使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣關于特征值問題的譜條件數(shù)最小為目標，以魯棒特征結構配置（以下簡稱RFSP）的名目完成了第二種方法，通過使各極點對應的特征向量矩陣盡量正交化，具體的執(zhí)行過程可形容為“循環(huán)掰”。根據(jù)CAVIN的方案還衍生了一系列類似的方法3、4、5。但這些算法都缺乏對不同閉環(huán)極點的區(qū)別對待，因為在所有極點具有同樣攝動敏感度時，顯然距離虛軸更遠的比

6、較近的對系統(tǒng)穩(wěn)定性威脅更??；MaxA類型的方法試圖使各右特征向量內(nèi)積之和盡量小，客觀上相當于要各右特征向量之間互相正交化（90°是單角最大），在輸入比狀態(tài)數(shù)小不多時容易利用自由度向這一目的靠攏5，但楊亞光等人3指出，這種方法僅在右特征向量間內(nèi)積絕對值之和的兩倍小于n/(n-1)時才有效。問題描述由特征值一階攝動理論6（以下簡稱EPT）得知，設某一n維方陣有一組相異的特征值，是一個很小的常數(shù)，為與維數(shù)相同且具有代表攝動形式特征的矩陣，在受到攝動變?yōu)楹螅鋯胃谟绊懴碌臄z動大小等于，與分別是對應的單位化了的左、右特征向量。由于實際系統(tǒng)的復雜性、以及在控制問題中因狀態(tài)反饋下閉環(huán)矩陣具有的形

7、式，閉環(huán)攝動陣不僅與、，甚至還與有關，故經(jīng)常很難對進行正交化分解和確定元素的比例大小。但即使在無法確定形式的情況下，特征值攝動的大小也仍然與成反比，并且該組值僅取決于名義閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，可見，各特征值的攝動靈敏度判據(jù)之間是獨立的，可能出現(xiàn)同一個閉環(huán)系統(tǒng)的兩個特征值攝動靈敏度相差懸殊的情況。因此可以以使的某元素盡可能大作為目標（以下簡稱EPT目標）提高對應閉環(huán)極點的抗攝動能力。RFSP法試圖通過使的右特征向量矩陣盡量為正交陣（即盡量大）來達到RPA目的，只使用了右特征向量系，似乎與同時需要左、右特征向量系的EPT理論不同，但實際上由于成立，即任一特征值的左特征向量與其它特征值的右特征向量正交，故任

8、一特征值的左特征向量肯定在由其它特征值的右特征向量展成空間的零空間中，反之亦然?？紤]到無重根情況下特征值的左特征向量系和右特征向量系都肯定是滿秩的，即的列向量之間線性無關，的行向量之間也線性無關。由于線性無關弱于正交，即一特征值的右（左）特征向量一般不在其它特征值的右（左）特征向量轉(zhuǎn)置展成空間的零空間中而是與之呈一定夾角，所以一般有，如果正好在該零空間中就有成立。這樣，RFSP的做法就符合了基于EPT理論產(chǎn)生的使的目標。而除了完全正交的情況，各特征向量廣義夾角和最大與以上目標并不重合，甚至不能排除各特征向量位于一個廣義平面內(nèi)的情況，二階系統(tǒng)時MaxA方法與RFSP法目標一致，而對三階及更高階系

9、統(tǒng)，該情況意味著所有特征值毫無抗攝動能力。算例1將以一個三階系統(tǒng)為例說明這一問題，同時驗證小攝動下EPT理論的正確性。主要結果控制問題更關心特征值攝動后是否越過性能界或穩(wěn)定界，而不應該泛泛地要求所有特征值具有接近的攝動靈敏度，故以更強調(diào)特征值整體抗攝動能力的作為評判數(shù)就不太合適，從穩(wěn)定性來說，對距虛軸較近的點顯然應該有更嚴格的攝動限制，應該把一組目標極點對應的最小作為更有效率的評判標準，該值越大越好。建模得到的難免存在不精確現(xiàn)象，由于在中可以看出與由的不確定造成的閉環(huán)下攝動成正比，大的造成閉環(huán)系統(tǒng)矩陣中更大的參數(shù)攝動，從而有時一些看似攝動影響非常小的目標極點對應的控制結果反而不好；又由于過強的

10、輸入會激發(fā)系統(tǒng)內(nèi)部包括非線性在內(nèi)的更復雜的問題，所以在用于實際問題時不能僅使用一個評判標準，而應該既保證較大，又限制對應的控制器反饋倍數(shù)。閉環(huán)目標極點確定對應某一右特征向量空間而不受其它閉環(huán)極點影響2，但其左特征向量卻完全取決于其它閉環(huán)極點而不受對應極點的影響。在MI情況下，即使已經(jīng)確定，由于特征向量矩陣的列向量擁有自由度，通過選擇不同組合可產(chǎn)生一系列。算例2將利用倒立擺驗證上述目標的效果，但在SI系統(tǒng)中閉環(huán)極點決定右特征向量，閉環(huán)目標極點組也與一一對應，雖然可以簡化設計過程，但因沒有MI系統(tǒng)可用的自由度，無法直接使用EPT方法的結論，要使用EPT目標，只能采取在一系列滿足性能要求的目標極點組

11、中循環(huán)的辦法，即驗算哪些組的較大，以此確定閉環(huán)目標極點，同時得到對應的的集合。在用于SI系統(tǒng)中時，仍需進行RFSP法2所要求的前期準備工作。對SI系統(tǒng)的具體步驟如下，由于使用狀態(tài)反饋，所以不寫出輸出方程。a) 對進行QR分解，有，為一個n維列向量，為一個標量。b) 從目標性能出發(fā)，劃定一個滿足性能要求的目標極點區(qū)域。由于最大目標極點實部小的閉環(huán)系統(tǒng)在同樣偏離平衡點時一般需要更大的控制輸入，容易導致更多問題，所以要權衡選取。c) 從RFSP理論得知，當某一閉環(huán)特征值重數(shù)大于輸入維數(shù)時，會導致X奇異，即使能夠得出名義控制器，但配置在這里的幾重目標極點對參數(shù)攝動均毫無抵抗力，極點配置的目標更是工程問

12、題而非數(shù)學問題，因此指定SI系統(tǒng)目標極點互異，計算對應這些目標極點的并單位化得到，將各按的順序排成一個n階方陣。由于無重根，故可逆，求其逆，單位化的各行向量，得到。而后以作為該組的評判數(shù)，該指標同樣越大越好，再考慮控制器反饋倍數(shù)進行取舍。采用遍歷循環(huán)的辦法，在目標極點配置區(qū)域內(nèi)按某一策略選取很多組目標極點，在所有循環(huán)到的極點集中選出一（多）組符合評判標準的作為最終的配置極點，并同時得到多個控制器，這樣做的好處是可以有更多的檢驗機會。由于SI系統(tǒng)狀態(tài)靜態(tài)反饋閉環(huán)極點與控制器之間一一對應，確定了后可以用任何方法求取。算例1假設三階系統(tǒng)的目標極點為-1 2 -3，假設僅能將單位化前的右特征向量矩陣X

13、配置成或（實際上把X1的0.1變成0后，就是三個共面且互相成120°（60°）夾角的矢量，加0.1純粹是為了可以求逆），對該兩矩陣進行列單位化（為了EPT理論計算）。根據(jù)相似變換，不管是否對X1、X2進行列單位化，由極點對角陣和該兩右特征向量矩陣總能得到和，分別記為A1、A2，兩者的MaxA指標1分別為1.4901和5.3531（越小越好），注意A1的指標勉強小于3/（3-1）1.5，而A2的指標遠超過該值。同時， A1的三個特征值各自的EPT衡量標準值分別為0.0995、0.0993、0.0993，而A2的為0.2075、0.2873、0.2873（越大越好），MaxA與

14、EPT的衡量結果相反。后兩個特征值的EPT標準相等是因為X1、X2的列向量在三維空間對應的矢量有對稱關系，當然，在對稱陣I-XTX的對角線同側(cè)也會出現(xiàn)兩個相同的值，即該陣中會有四個一樣的值，但EPT與MaxA的成因不同。另外，當X發(fā)生變化時，A也跟著變化，下面為了簡化，只寫出X1、X2的變化，討論時保證對應關系。A1、A2兩矩陣各元素均受到在±0.005范圍內(nèi)均勻分布的攝動時，1000次同樣隨機攝動嘗試下的最大特征值結果如圖1所示，其中標“”的是A1在攝動下的表現(xiàn)，標“o”的是A2的。其它隨機嘗試的結果均與其大同小異，并且所有攝動影響下的實際特征值都是純實數(shù)。圖1 同強度攝動下A1（

15、）與A2（o）特征值最大實部受到的影響可見MaxA指標較小的A1特征值受到影響的程度反而要大得多，特征值變化更符合EPT比較的結果。當X1中的0.1項減小時，其MaxA指標雖始終小于1.5，但攝動對A1特征值的影響迅速增大。當X1的0.1和X2的0.3均變成10時，MaxA指標分別減小到0.5099 和0.0398，而對應特征值1的EPT指標分別增加到0.9950和0.9901，同樣攝動下特征值最大實部的情況如圖2。圖2 參數(shù)變成10后同強度攝動下A1與A2特征值最大實部受到的影響可見EPT指標比MaxA更接近實際情況，且趨勢也一致。繼續(xù)增大那三個值時情況也類似。所以，楊亞光等人的證明3只對M

16、axA本身有意義，而MaxA卻與RPA沒有直接聯(lián)系。本質(zhì)上是因為其與EPT理論不重合。算例2使用固高公司的GIP-300-VPPA-L型倒立擺，用計算機的數(shù)字運算、執(zhí)行器控制連續(xù)系統(tǒng)，采樣間隔0.005s，理論計算中的連續(xù)系統(tǒng)要用數(shù)字控制器來控制，從采樣/保持信號與模擬信號之間的鋸齒形差異和時間延遲、以及電機皮帶系統(tǒng)的響應動態(tài)來看，也是一種加入的時變不確定因素，客觀上可以檢驗理論的適應能力。GIP-300-VPPA-L在接成直線二級倒立擺狀態(tài)下的物理模型如圖3。使用的擺桿為：擺桿1為標準配置的短桿，擺桿2為標準配置的長桿。廣義坐標方向即為該坐標的正向，小車質(zhì)量M1.32，均質(zhì)擺桿1質(zhì)量m1=0

17、.04，半長l1=0.09，桿相對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量J1=1/3*m1*l12=0.0001，擺桿2質(zhì)量m2=0.132，半長l2=0.27，桿相對其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量J2=1/3*m2*l22=0.0032，質(zhì)量塊（實際是擺桿2的角度傳感器）質(zhì)量m3=0.2086，忽略所有摩擦。因為僅考慮上平衡點附近的穩(wěn)定性問題，所以僅建立此處的局部線性化模型。本文利用MATLAB的符號運算功能處理第二類拉格朗日方程，編程計算裝置數(shù)學模型的符號解和數(shù)值解，程序如下（狀態(tài)變量順序為，圖3中的方向即為其正向。標“”的行在經(jīng)過適當更改后，該程序可用于建立更多可使用拉格朗日方程描述的局部線性模型）：clearn=6; %

18、 syms M m1 m2 m3 l1 l2 L1 J1 J2 g positive; % syms ddx dx x ddsita1 dsita1 sita1 ddsita2 dsita2 sita2 F L real; % temp1=x dx sita1 dsita1 sita2 dsita2; % 狀態(tài)變量temp2=dx ddx dsita1 ddsita1 dsita2 ddsita2; % 狀態(tài)變量微分temp3=ddx ddsita1 ddsita2; % （角）加速度temp4=M m1 m2 m3 l1 l2 L1 J1 J2 g; % 物理參數(shù)init=sym(1.32

19、.04 .132 .208 .09 .27 2*.09 1/3*.04*.092 1/3*.132*.272 9.8); % 物理參數(shù)值L=1/2*M*dx2+1/2*m1*(dx-l1*dsita1)2+1/2*m2*(dx-L1*dsita1-l2*dsita2)2+1/2*J1*dsita12+1/2*J2*dsita22+1/2*m3*(dx-L1*dsita1)2+m1*g*l1*sita12/2+m2*g*(L1*sita12/2+l2*sita22/2)+m3*g*L1*sita12/2; % 已經(jīng)局部線性化后的拉格朗日函數(shù)sysA=subs(diff(L,dx),temp1,t

20、emp2)-diff(L,x);subs(diff(L,dsita1),temp1,temp2)-diff(L,sita1);subs(diff(L,dsita2),temp1,temp2)-diff(L,sita2); % 拉格朗日方程左端項。sysB=F;0;0; % 拉格朗日方程右端項。E=jacobian(sysA,temp3);% 求加速度項的導數(shù)，僅使用temp4中參數(shù)。R=sysB-simple(sysA-E*temp3');% 系統(tǒng)方程為E*dx=R。sys=ER;% 系統(tǒng)方程為dx=sys。preA=jacobian(sys,temp1);% 求s ds sita1

21、dsita1 sita2 dsita2 的具體系數(shù)。preB=diff(sys,F);% F的系數(shù)。post,sg = subexpr(preA preB,'sg');% 求符號解preA和preB的簡化形式。partA=double(subs(preA,temp4,init);% 符號解轉(zhuǎn)變成數(shù)值解。partB=double(subs(preB,temp4,init);A=zeros(n,n);b=zeros(n,1);for i=1:n/2 A(2*i-1,2*i)=1; A(2*i,:)=partA(i,:); b(2*i)=partB(i);end% 最終的模型數(shù)值解完

22、成。數(shù)值解如下：，。從其形式可以看出，無論物理參數(shù)如何攝動，最終的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的攝動只發(fā)生在第二、四、六行，也就是說的第一、三、五分量不管多大，對最后的特征值攝動都沒有影響，考慮到，因此這三個分量大，意味著會產(chǎn)生影響的第二、四、六分量小，因此用更符合實際情況的代替稍粗糙的作為評判數(shù)。設定目標極點在、所包圍的矩形區(qū)域中，以1的步長進行取點，并遍歷尋求所有可能的組合，滿足評判數(shù)大于0.08、最大反饋倍數(shù)小于200，得到8個控制器，有6個可以實現(xiàn)穩(wěn)定，其中一個的目標極點為，為-9.6149 -7.7542 -89.9405 -3.5447 119.5499 18.7666。兩個不能保證閉環(huán)穩(wěn)定的解并

23、不能證明基于EPT的算法不能成立，而只能說明抗攝動的方向與實際攝動方向相差太大，且實際攝動范圍也大，這表明 EPT法也存在一定的保守性。當使用兩個標準的中等長度擺桿時，按文獻6中參數(shù)外推，擺桿質(zhì)量m1=m2=0.083，半長l1= l2=0.17，桿相對其重心的轉(zhuǎn)動慣量J1=J2=1/3*m2*l22=0.0008，其它不變，將程序中參數(shù)初始化命令init行改為“init=sym(1.32 .083 .083 .208 .17 .17 2*.17 1/3*.083*.172 1/3*.083*.172 9.8);”得到的7個控制器都可以使新的二級對象穩(wěn)定，其中一個是 -4.8677 6.728

24、1 126.2604 4.9033 157.4546 21.053，目標極點為。后來的實驗還發(fā)現(xiàn)上述能達到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)對多種情況有一定適應能力，鼓勵有條件的讀者檢驗，但請注意坐標方向和變量順序。結束語基于EPT理論證明了RFSP方法的正確性，指出了MaxA類型目標的錯誤，并改進得到了更有針對性的RPA評判數(shù)。該方法簡單方便，物理意義明確，無需求解Riccati方程，并且文中所取的評判數(shù)門檻還有相當大的裕量。在二級倒立擺實物上實驗的成功顯示了新評判數(shù)的效果，而且分離了的各目標極點魯棒性標準也為將來更細致的區(qū)別對待創(chuàng)造了條件。同時這種魯棒極點配置評判數(shù)的選取也可以用于如觀測器設計等場合。參考文獻1 CAVIN R K,et al., Robust and Well-conditioned Eigen-structure Assignment Via Sylvesters Equations, American Control Conference, 1982, 1053-1057.2 KAUTSKY J,NICHOLS N K,VAN DOOREN P.Robu