第11講阿氏圓最值模型(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考數(shù)學幾何模型11：阿氏圓最值模型名師點睛 撥開云霧 開門見山在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“kPA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題【模型來源】“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k1），則滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.【模型建立】如圖 1 所示，O 的半徑為R，點 A、B 都在O 外 ，P為O上一動點，已知R=OB，連接 PA、PB，則當“PA+PB”的值最小時，P 點的位置如何確定？ 解

2、決辦法：如圖2，在線段 OB 上截取OC使 OC=R，則可說明BPO與PCO相似，則有PB=PC。故本題求“PA+PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點，P為動點，故當 A、P、C 三點共線時，“PA+PC”值最小?！炯记煽偨Y(jié)】計算的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點P使得的值最小，解決步驟具體如下：1. 如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP，OB2. 計算出這兩條線段的長度比3. 在OB上取一點C，使得，即構(gòu)造POMBOP，則，4. 則，當A、P、C三點共線時可得最小值典題探究 啟迪思維 探究重點例題1. 如圖，在R

3、tABC中，C=90°，AC=4，BC=3，以點C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點，點P是圓C上一個動點，則的最小值為_ 【分析】這個問題最大的難點在于轉(zhuǎn)化，此處P點軌跡是圓，注意到圓C半徑為2，CA=4，連接CP，構(gòu)造包含線段AP的CPA，在CA邊上取點M使得CM=2，連接PM，可得CPACMP，故PA：PM=2:1，即PM=問題轉(zhuǎn)化為PM+PBBM最小值，故當B，P，M三點共線時得最小值，直接連BM即可得變式練習>>>1如圖1，在RTABC中，ACB=90°，CB=4，CA=6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP,BP，求，

4、的最小值. 答案：=，=2，=，=.例題2. 如圖，點C坐標為(2,5)，點A的坐標為(7,0)，C的半徑為,點B在C上一動點，的最小值為_.答案：5.變式練習>>>2如圖，在平面直角坐標系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M為圓心，為半徑畫圓，O為原點，P是M上一動點，則PO+2PA的最小值為_.答案：10.例題3. 如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC1，BD2，P為上一動點，求PC+PD的最小值【解答】解：如圖當A、P、D共線時，PC+PD最小理由：連接PB、CO，AD與CO交于點M，ABBD4，BD是切線，ABD90°，BADD4

5、5°，AB是直徑，APB90°，PABPBA45°，PAPB，POAB，ACPO2，ACPO，四邊形AOPC是平行四邊形，OAOP，AOP90°，四邊形AOPC是正方形，PMPC，PC+PDPM+PDDM，DMCO，此時PC+DP最小ADAM2變式練習>>>3如圖，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，B的半徑為2，P是B上一動點，則PD+PC的最小值為5；PD+4PC的最小值為10【解答】解：如圖，連接PB、在BC上取一點E，使得BE1PB24，BEBC4，PB2BEBC，PBECBE，PBECBE，PD+PCPD+PE，PE+PDDE，

6、在RtDCE中，DE5，PD+PC的最小值為5連接DB，PB，在BD上取一點E，使得BE，連接EC，作EFBC于FPB24，BEBD×44，BP2BEBD，PBEPBD，PBEDBP，PEPD，PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），PE+PCEC，在RtEFC中，EF，F(xiàn)C，EC，PD+4PC的最小值為10故答案為5，10例題4. 如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_【分析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時PM=，則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最

7、大值連接PD，對于PDM，PD-PMDM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值變式練習>>>4（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為，PD的最大值為（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，B60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為，PD的最大值為 圖1 圖2【解答】解：（1）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG4，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DGPDPCPDPGDG，

8、當點P在DG的延長線上時，PDPC的值最大，最大值為DG故答案為，（2）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG1，作DFBC于F2，2，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，在RtCDF中，DCF60°，CD4，DFCDsin60°2，CF2，在RtGDF中，DGPDPCPDPGDG，當點P在DG的延長線上時，PDPC的值最大（如圖2中），最大值為DG故答案為，例題5. 如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線AB交于A（4，4），B（0，4）兩點，直線AC：y=x6交y軸于點C點E是直線

9、AB上的動點，過點E作EFx軸交AC于點F，交拋物線于點G（1）求拋物線y=x2+bx+c的表達式；（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；（3）在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；在的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為E上一動點，求AM+CM它的最小值【解答】解：（1）點A（4，4），B（0，4）在拋物線y=x2+bx+c上，拋物線的解析式為y=x22x+4；（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（m，2m+4），G（m

10、，m22m+4），四邊形GEOB是平行四邊形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如圖1，由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（a，2a+4），直線AC：y=x6，F(xiàn)（a，a6），設(shè)H（0，p），以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=x6，ABAC，EF為對角線，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如圖2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=，AE=2，設(shè)AE交E于G，取EG的中點P，PE=，連接PC交E于M，連接EM，EM=

11、EH=，=，=，=，PEM=MEA，PEMMEA，=，PM=AM，AM+CM的最小值=PC，設(shè)點P（p，2p+4），E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或p=（由于E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即：AM+CM=變式練習>>>5如圖1，拋物線yax2+（a+3）x+3（a0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0m4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PMAB于點M（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達式；（2）設(shè)PMN的周長為

12、C1，AEN的周長為C2，若，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OE，旋轉(zhuǎn)角為（0°90°），連接EA、EB，求EA+EB的最小值【解答】解：（1）令y0，則ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1或，拋物線yax2+（a+3）x+3（a0）與x軸交于點A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為ykx+b，則，解得，直線AB解析式為yx+3（2）如圖1中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），拋物線解析式為yx2+x+3，PNm2+m+3（m+3）m

13、2+3m，解得m2（3）如圖2中，在y軸上 取一點M使得OM，連接AM，在AM上取一點E使得OEOEOE2，OMOB×34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AE+BEAE+EMAM，此時AE+BE最?。▋牲c間線段最短，A、M、E共線時），最小值A(chǔ)M達標檢測 領(lǐng)悟提升 強化落實1. 如圖，在RTABC中，B=90°，AB=CB=2，以點B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為，點P為圓B上的一動點，求的最小值.答案：.2. 如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為O，P是O上一動點，則PA+PB的最小值為_.答案：.3. 如圖，等邊ABC的邊長為6，內(nèi)切圓記為O，

14、P是O上一動點，則2PB+PC的最小值為_.答案：.4. 如圖，在RtABC中，C=90°，CA=3，CB=4，的半徑為2，點P是上的一動點，則的最小值為？ 5. 如圖，在平面直角坐標系中，P是AOB外部第一象限內(nèi)的一動點，且BPA=135°，則的最小值是多少？答案6. 如圖，RtABC，ACB90°，ACBC2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD，連接AF，BD（1）求證：BDCAFC；（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD+AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD+AD

15、的最小值【解答】（1）證明：如圖1中，四邊形CDEF是正方形，CFCD，DCFACB90°，ACFDCB，ACCB，F(xiàn)CADCB（SAS）（2）解：如圖2中，當點D，E在AB邊上時，ACBC2，ACB90°，AB2，CDAB，ADBD，BD+AD+1如圖3中，當點E，F(xiàn)在邊AB上時BDCF，AD，BD+AD+（3）如圖4中取AC的中點M連接DM，BMCD，CM1，CA2，CD2CMCA，DCMACD，DCMACD，DMAD，BD+ADBD+DM，當B，D，M共線時，BD+AD的值最小，最小值7. （1）如圖1，在ABC中，ABAC，BD是AC邊上的中線，請用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE，并證明BDCE：（2）如圖2，已知點P是邊長為6的正方形ABCD內(nèi)部一動點，PA3，求PC+PD的最小值；（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB18，BC25，點M是矩形內(nèi)部一動點，MA15，當MC+MD最小時，畫出點M的位置，并求出MC+MD的最小值【解答】解：（1）如圖1中，作線段AB的垂直平分線MN交AB于點E，連接EC線段EC即為所求；ABAC，AEEC，ADCD，AEAD，ABAC，AA，ADAE，BADCAE（SAS），BDCE（2）如圖2中，在AD上截取AE，使得AEPA29，AEAD×69，PA2AEAD，PAEDAP，