邏輯推理講義

1、2-1第一章 常用邏輯用語一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)解讀2010年高考大綱-常用邏輯用語（1）命題及其關(guān)系 理解命題的概念.了解“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系. 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.（2）簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.（3）全稱量詞與存在量詞 理解全稱量詞與存在量詞的意義. 能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.二、本章知識框圖 邏輯是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，需要全面地理解概念，正確地進行表述、推理和判斷，這就離不開對邏輯知識的掌握和運用更廣泛地說，在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中，基本的

2、邏輯知識也是認識問題、研究問題不可缺少的工具，是人們文化素質(zhì)的組成部分 “簡易邏輯”學(xué)生在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)過簡單的命題(包括原命題與逆命題)知識，掌握了簡單的推理方法(包括對反證法的了解)由此，這一大節(jié)首先給出含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的意義，介紹了判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假的方法接下來，講述四種命題及其相互關(guān)系，并且在初中的基礎(chǔ)上，結(jié)合四種命題的知識，進一步講解反證法然后，通過若干實例，講述了充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識  這一大節(jié)的重點是邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件學(xué)習(xí)簡易邏輯知識，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進行簡單推理的技

3、能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容是十分必要的  這一大節(jié)的難點是對一些代數(shù)命題真假的判斷初中階段，學(xué)生只是對簡單的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相關(guān)的技能和能力，主要還是通過幾何課的學(xué)習(xí)獲得的，初中代數(shù)側(cè)重的是運算的技能和能力，因此，像對代數(shù)命題的證明，學(xué)生還需要有一個逐步熟悉的過程三、課時分配 11 命題與量詞約2課時 12 基本邏輯連接詞約3課時 13 充分條件、必要條件與命題的四種形式約2課時 本章小節(jié)約1課時四、知識點精析知識點1.命題的概念命題的概念：可以判斷真假的陳述句叫命題正確的叫真命題，錯誤的叫假命題注

4、意：1.初中教材中命題的定義是：判斷一件事情的句子叫做命題；這里的定義是：可以判斷真假的語句叫做命題.說法不同，實質(zhì)是一樣的 2.要判斷句子是否是命題，首先看句子的句型。一般地，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題，其次看能不能判斷其真假，也就是判斷是否成立。 3.開語句. 語句中含有變量x或y，在沒有給定這些變量的值之前，是無法確定語句真假的這種含有變量的語句叫做開語句(有的邏輯書也稱之為條件命題)例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0. 4.一個命題，一般可用一個小寫字母表示，如：p、q、r例 11>5 3是15的約數(shù) 0.7是整數(shù) 是真命題，是假命題反例：3是15的約

5、數(shù)嗎？ x>8 都不是命題，不涉及真假(問題) 無法判斷真假“這是一棵大樹”； “x2” 都不能叫命題由于“大樹”沒有界定，就不能判斷“這是一棵大樹”的真假由于x是未知數(shù)，也不能判斷“x2”是否成立 知識點2.量 詞1.全稱量詞與全稱命題2.存在量詞與存在性命題知識點3基本邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 “或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題知識點4簡單命題與復(fù)合命題簡單命題：不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫做簡單命題復(fù)合命題：由簡單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題其實，有些概念前面已遇到過

6、如：或：不等式 -x-6>0的解集 x | x<-2或x>3 且：不等式 -x-6<0的解集 x | -2< x<3 即 x | x>-2且x<3 知識點5 復(fù)合命題的構(gòu)成形式如果用 p, q, r, s表示命題，則復(fù)合命題的形式接觸過的有以下三種：即：p或q 記作 pq p且q 記作 pq 非p (命題的否定) 記作 p釋義：“p或q”是指p,q中的任何一個或兩者.例如，“xA或xB”，是指x可能屬于A但不屬于B（這里的“但”等價于“且”），x也可能不屬于A但屬于B，x還可能既屬于A又屬于B（即xAB）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也

7、可能只有q真，還可能p,q都為真.“p且q”是指p,q中的兩者.例如，“xA且xB”，是指x屬于A，同時x也屬于B（即xAB）.“非p”是指p的否定，即不是p. 例如，p是“xA”，則“非p”表示x不是集合A的元素（即x）.開語句：語句中含有變量x或y，在沒有給定這些變量的值之前，是無法確定語句真假的這種含有變量的語句叫做開語句(有的邏輯書也稱之為條件命題)也可以把簡單的開語句用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”連結(jié)起來，構(gòu)成復(fù)合的開語句(有的邏輯書也稱之為復(fù)合條件命題)，這里的“或”、“且”、“非”與復(fù)合命題中的“或”、“且”、“非”符號與意義相同在進行命題教學(xué)時，要注意命題與開語句的區(qū)別，特

8、別在舉有關(guān)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的例子時，容易把兩者混淆知識點6 判斷復(fù)合命題真假的方法1“非 p”形式的復(fù)合命題例 (1)如果p表示“2是10的約數(shù)”，試判斷非p的真假. (2) 如果p表示“32”，那么非p表示什么？并判斷其真假.解：(1)中p表示的復(fù)合命題為真，而非p“2不是10的約數(shù)”為假. (2)中p表示的命題“32”為假，非p表示的命題為“3>2”，其顯然為真.小結(jié)：非p復(fù)合命題判斷真假的方法 當(dāng)p為真時，非p為假；當(dāng)p為假時，非p為真，即“非 p”形式的復(fù)合命題的真假與p的真假相反，可用下表表示p非p真假假真2“p且q”形式的復(fù)合命題例如果p表示“5是10的約數(shù)”

9、，q表示“5是15的約數(shù)”，r表示“5是8的約數(shù)”，試寫出且，且的復(fù)合命題，并判斷其真假，然后歸納出其規(guī)律.解：p且q即“5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)”為真（p、q為真）；p且r即“5是10的約數(shù)且是8的約數(shù)”為假（r為假）小結(jié)：“p且q”形式的復(fù)合命題真假判斷當(dāng)p、q為真時，p且q為真；當(dāng)p、q中至少有一個為假時，p且q為假可用下表表示Pqp且q真真真真假假假真假假假假3“p或q”形式的復(fù)合命題：例如果p表示“5是12的約數(shù)” q表示“5是15的約數(shù)”，r表示“5是8的約數(shù)”，寫出，p或r，q或s，p或q的復(fù)合命題，并判斷其真假，歸納其規(guī)律.p或q即“5是12的約數(shù)或是15的約數(shù)”為真（p為

10、假、q為真）；p或r即“5是12的約數(shù)或是8的約數(shù)”為假（p、r為假）小結(jié)：“p或q”形式的復(fù)合命題真假判斷當(dāng)p，q中至少有一個為真時，“p或q”為真；當(dāng)p，q都為假時，“p或q”為假. 即“p或q”形式的復(fù)合命題，當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況時為真. 可用下表表示.Pqp或q真真真真假真假真真假假假像上面三個表用來表示命題的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容.4邏輯符號“或”的符號是“”，“且”的符號是“”，“非”的符號是“”.例如，“p或q”可記作“pq”； “p且q”可記作“pq”；“非p”可記作“p

11、”.注意：數(shù)學(xué)中的“或”與日常生活用語中的“或”的區(qū)別“或”這個邏輯聯(lián)結(jié)詞的用法，一般有兩種解釋： 一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一個，但不是兩者.日常生活中有時采用這一解釋.例如“你去或我去”，人們在理解上不會認為有你我都去這種可能. 二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一個或兩者.例如“xA或xB”，是指x可能屬于A但不屬于B（這里的“但”等價于“且”），x也可能不屬于A但屬于B，x還可能既屬于A又屬于B（即xAB）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，還可能p,q都為真.數(shù)學(xué)書中一般采用這種解釋，運用數(shù)學(xué)語言和解數(shù)學(xué)題時，都要遵守這一點.還要注

12、意“可兼有”并不意味“一定兼有”. 另外，“蘋果是長在樹上或長在地里”這一命題，按真值表判斷，它是真命題，但在日常生活中，我們認為這句話是不妥的.5學(xué)習(xí)邏輯的意義 一方面是因為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)需要用邏輯來闡明，另一方面是因為計算機離不開數(shù)學(xué)邏輯，課本中介紹的洗衣機上的“或門電路”和電子保險門上的“與門電路”就是兩個在這方面應(yīng)用的實例.可以說計算機的“智能”裝置是以數(shù)學(xué)邏輯為基礎(chǔ)進行設(shè)計的. 同學(xué)們可以結(jié)合日常生活中電器的自動控制功能，再找出一些這樣的例子. 電路： 或門電路（或） 與門電路（且）知識點7. 符號“”的含義 前面我們討論了“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假.“若p則q

13、”為真，是指由p經(jīng)過推理可以得出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立，記作pq，或者qp；如果由p推不出q，命題為假，記作pq. 簡單地說，“若p則q”為真，記作pq（或qp）； “若p則q”為假，記作pq（或qp）. 符號“”叫做推斷符號. 例如，“若x>0，則x2>0”是一個真命題，可寫成：x>0 x2>0； 又如，“若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等”是一個真命題，可寫成：兩三角形全等兩三角形面積相等.說明：“pq”表示“若p則q”為真；也表示“p蘊含q”. “pq”也可寫為“qp”，有時也用“pq”.例 指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條

14、件： p：x=y；q：x2=y2. p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個角相等.分析：可根據(jù)“若p則q”與“若q則p”的真假進行判斷.解：由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分條件，q是p的必要條件. 由pq，即三角形的三條邊相等三角形的三個角相等，知p是q的充分條件，q是p的必要條件；又由qp，即三角形的三個角相等三角形的三條邊相等，知q也是p的充分條件，p也是q的必要條件. 以上是直接利用定義由原命題判斷充分條件與必要條件的方法.那么，如果由命題不是很好判斷的話，我們可以換一種方式，根據(jù)互為逆否命題的等價性，利用它的逆否命題來進行判斷.知識點8. 充分條件與必要條件如果已知pq，那

15、么我們就說，p是q的充分條件，q是p的必要條件. 在上面是兩個例子中，“x>0”是“x2>0”的充分條件，“x2>0”是“x>0”的必要條件；“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件.知識點9. 充分條件與必要條件的判斷1.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對的）2.利用逆否命題判斷：即“若qp成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.知識點10. 充要條件如果既有pq，又有qp，就記作pq.此時，p既是q的充分條件，p又是q的必要條件，我們就說，p是q

16、的充分必要條件，簡稱充要條件.（當(dāng)然此時也可以說q是p的充要條件）例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要條件；“三角形的三條邊相等”是“三角形的三個角相等”的充要條件.說明：符號“”叫做等價符號.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等價于q”. “pq”有時也用“pq”；“充要條件”有時還可以改用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表示，其中“當(dāng)”表示“充分”，“僅當(dāng)”表示“必要”.知識點11.幾個與充要條件相關(guān)的概念若pq，但pq，則說p是q的充分而不必要條件；若pq，但pq，則說p是q的必要而不充分條件；若pq，且pq，則說p是q的既不充分也不必要條件.例如，“x>2”是“x>1”的充

17、分而不必要的條件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的條件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的條件.知識點12.充要條件的判斷方法四種“條件”的情況反映了命題的條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，所以在判斷時應(yīng)該：確定條件是什么，結(jié)論是什么；嘗試從條件推出結(jié)論，從結(jié)論推出條件（方法有：直接證法或間接證法）；確定條件是結(jié)論的什么條件.知識點13.怎樣用集合的觀點對“充分”、“必要”、“充要”三種條件進行概括？答：有兩種說法：若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件（此時B也是A的充要條件）.在含有變量的命題中，凡能使命

18、題為真的變量x的允許值集合，叫做此命題的真值集合. 若pq，說明p的真值集合q的真值集合，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，說明p，q的真值集合相等，即p，q等價，則p是q充要條件（此時q也是p的充要條件）.知識點14.四種命題1.四種命題簡介 兩個命題，如果第一個命題的條件（或題設(shè)）是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆命題.例 (1)同位角相等，兩直線平行； (2)兩直線平行，同位角相等 (3)同位角不相等，兩直線不平行； (4)兩直線不平行，同位角不相等.比較命題(1)與(3

19、)、(1)與(4)的條件與結(jié)論的異同在命題(1)與命題(3)中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們稱命題(1)與命題(3)互為否命題；在命題(1)與命題(4)中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們稱命題(1)與命題(4)互為逆否命題；思考：由原命題怎么得到逆命題、否命題、逆否命題？交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.2概括：(1)為原命題 (2)為逆命題 (3)為否命題 (4)為逆否命題反問：若(2)為原命題，則(1

20、)(3)(4)各為哪種命題？ 若(3)為原命題，則(1)(2)(4)各為哪種命題？ 若(4)為原命題，則(1)(2)(3)各為哪種命題？強調(diào)：“互為”的含義3四中命題的形式若p為原命題條件，q為原命題結(jié)論則：原命題：若 p 則 q 逆命題：若 p 則 q 否命題：若 Øp 則 Øq 逆否命題：若 Øq 則 Øp4四種命題的相互關(guān)系 互逆命題、互否命題與互為逆否命題都是說兩個命題的關(guān)系，若把其中一個命題叫做原命題時，另一個命題就叫做原命題的逆命題、否命題與逆否命題.因此，四種命題之間的相互關(guān)系，可用下圖表示：5四種命題的真假關(guān)系一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系： 原命題為真，它的逆命題不一