西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 兩個隨機變量的函數(shù)的分布

1、二、離散型隨機變量函數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 四、小結(jié)四、小結(jié)一、問題的引入一、問題的引入第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布.,),(,的分布的分布分布確定分布確定的的如何通過如何通過的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系與與并且已知并且已知表示該人的血壓表示該人的血壓年齡和體重年齡和體重分別表示一個人的分別表示一個人的和和令令有一大群人有一大群人 g 為了解決類似的問題下面為了解決類似的問題下面我們討論隨機變量函數(shù)的分布我們討論隨機變量函數(shù)的分布.一、問題的引入一、問題的引入二、離散型隨機變量函數(shù)的分布二、離散型隨機

2、變量函數(shù)的分布 012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量),( 例例1.)(,)(的分布律的分布律求求 21概率概率),( )2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122 3 2 1 23 21 13 101252353結(jié)論結(jié)論的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為若若二二維維離離散散型型隨隨機機變變量量,21 jipyxPijji 的分布律為的分布律為則隨機變量函數(shù)則隨機變量函數(shù)),( g ),(kkzgPzP ., 2, 1 ,)( kpjikyx

3、gzij例例2 設(shè)兩個獨立的隨機變量設(shè)兩個獨立的隨機變量與與 的分布律為的分布律為 P317 . 03 . 0 P424 . 06 . 0求隨機變量求隨機變量 =+ 的分布律的分布律.例例3 設(shè)相互獨立的兩個隨機變量設(shè)相互獨立的兩個隨機變量 , 具有同一具有同一分布律分布律,且且 的分布律為的分布律為 P105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律試試求求 xyOzyx 三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 1. =+ 的分布的分布概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為.d),()( yyyzfzf .d),()(xxzxfzf 由于由于與與 對稱對稱, 當當,獨立時獨立

4、時,也也可可表表示示為為)(zf ,d)()()( yyfyzfzf .d)()()(xxzfxfzf 或或由公式由公式,d)()()(xxzfxfzf 解解,)( xxfx22e21 由由于于,)( yyfy22e21 例例4 設(shè)兩個獨立的隨機變量設(shè)兩個獨立的隨機變量與與都服從標準正態(tài)都服從標準正態(tài)分布分布,求求 =+ 的概率密度的概率密度.),(分布分布服從服從即即20N 2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxd)()( 2222ee21 xzxzdee212242 得得. .的概率密度的概率密度求電阻求電阻其他其他它們的概率密度均為它們的概率密度均為相互獨立相互獨

5、立設(shè)設(shè)串聯(lián)聯(lián)接串聯(lián)聯(lián)接和和兩電阻兩電阻在一簡單電路中在一簡單電路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的概率密度為的概率密度為由題意知由題意知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例5 ,100,100 xzx當當,10,100時時即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被積函數(shù)不為零中被積函數(shù)不為零 xxzfxfzfR)1(., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其他其他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf ., 0,100,5010)(其他其他將將xxxf此時此時 ., 0,100,50)(1

6、0)(其他其他xzxzxzf ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR式得式得代入代入)1(的分布的分布 . 2xyOzyx 2Gyyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00 .d),(yyyzfy 當當 , 獨立時獨立時,.d)()()(yyfyzfyzfYX 分布密度為分布密度為.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz )(zF .,)(,)(,的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)試試求求其其他他其其他他它它們們的的概概率率密密度度分分別別為為相相互互獨獨立立壽壽命命的的燈燈泡泡的的分分別別表表示示兩兩只只不不

7、同同型型號號設(shè)設(shè) 00e200e2yyfxxfyx,d),(d),()(yyyzyfyyyzyfzf 00 解解由公式由公式例例6 ., 0, 0, 0,ee2),(2其他其他yxyxfyxyyzyde2)2(0 ,)2(22z yyzfyyzd)(20ee2 得所求密度函數(shù)得所求密度函數(shù))0(時時當當 z)0(時時當當 z, 0)( zfZ得得 .,)()(000222zzzzf 的分布的分布及及),min(),max(. 3YXNYXM ),()(,yFxF 和和的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為它它們們變變量量是是兩兩個個相相互互獨獨立立的的隨隨機機設(shè)設(shè)),()()(maxzFzFzF )

8、.()()(minzFzFzF 111推廣推廣的的分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為及及則則),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為量量個相互獨立的隨機變個相互獨立的隨機變是是設(shè)設(shè)).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 則則數(shù)數(shù)獨立且有相同的分布函獨立且有相同的分布函若若, )(,xFXXXn21,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如圖所示如圖所示開始工

9、作開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時當系統(tǒng)當系統(tǒng)備用備用并聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)串聯(lián)連接的方式分別為連接的方式分別為聯(lián)接而成聯(lián)接而成統(tǒng)統(tǒng)由兩個相互獨立的子系由兩個相互獨立的子系設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例7 7度度分分別別為為已已知知它它們們的的概概率率密密的的壽壽命命分分別別為為設(shè)設(shè), 21LL ,)(000exxxfx 由由解解串聯(lián)情況串聯(lián)情況(i),21就停止工作就停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)中有一個損壞時中有一個損壞時由于當由于當LLL的壽命為的壽命為所以這時所以這時 L).,min( .,的的概概率率密密度度的的壽壽命命接接方方式式寫寫出出試試分分別別就就以以上上三三種種聯(lián)聯(lián)且且

10、其其中中 L 00 ,)(000e1xxxFx ,)(000exxxfx ,)(000eyyyfy ;,)(000eyyyfy 由由 .,)(000e1yyyFy )(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的壽命為的壽命為所以這時所以這時 L).,max( 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為),max( )()()(maxzFzFzF . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzz并聯(lián)情況并聯(lián)情況(ii),21才停止工作才停止工作系統(tǒng)系統(tǒng)都損壞時都損壞時由于當且僅當由于當且僅當LLL,21才開始工作才開始工作系統(tǒng)系統(tǒng)損壞時損壞時由于這時當系統(tǒng)由于這時當系統(tǒng)LL即即兩兩者者之之和和是是的的壽壽命命因因此此整整個個系系統(tǒng)統(tǒng),21LLL 的的概概率率密密度度為為時時當當 ,0zyyfyzfzfd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee備用的情況備用的情況(iii), 0)(,0 zfz時時當當?shù)母怕拭芏葹榈母怕拭芏葹橛谑怯谑?. 0, 0, 0,ee )(zzzfzz.ee zz 四、小結(jié)四、小結(jié)1. 離散型隨機變量函數(shù)的分布律離散型隨機變量函數(shù)的分布律的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為