數(shù)學教學中教師該做些什么——對一節(jié)研究性教學課例的思考

1、數(shù)學教學中教師該做些什么?對一節(jié)研究性教學課例的思考    拜讀了王芝平、郝澎老師的研究性教學課例，筆者為之振奮和感慨：我在教學中不也經(jīng)歷過這樣的研究式教學嗎？這樣的研究式教學是令人快樂的啊!遺憾的是在現(xiàn)今的課堂上實在太少了！如果師生在數(shù)學課堂中都能置身于數(shù)學探究之中，那么我們的數(shù)學教學就能演繹成一幕幕“數(shù)學研究”的活劇我們的數(shù)學教學就可以甩掉“枯燥乏味”的帽子，進入一個教師樂教、學生樂學的數(shù)學樂園！ ?欣喜之余，筆者愿結合此課例和自己的實踐就教師在研究性教學中如何發(fā)揮自己的積極作用談幾點體會和認識    1教師是

2、數(shù)學課程的開發(fā)者和創(chuàng)造者    以往在教師的頭腦中，教學內容和進度是由國家的教學大綱和教學計劃規(guī)定的，教師的任務只是按照教科書、教參去教，承擔的是“傳遞”任務新一輪課程改革認為，課程不等同于教材，而是教師和學生共同探求新知識的過程；課程不只來源于教材，而且來源于教師、學生和環(huán)境，是在四者之間的相互作用和相互影響中生成和發(fā)展的；課程實施的意義不只是傳授知識或培養(yǎng)能力，而是培養(yǎng)一個在知識、能力、情感態(tài)度和價值觀諸方面全面、和諧發(fā)展的人因此，教師是課程的開發(fā)者和創(chuàng)造者，教學不只是“教教材”，而是“用教材教”，整個教學的過程既是課程實施的過程，也是課程不斷開發(fā)和

3、生成的過程    從課例中可見，王老師十分成功地實踐了“教師是課程的開發(fā)者和創(chuàng)造者”    首先，王老師運用自己的數(shù)學素養(yǎng)和教學經(jīng)驗對教材進行了深入的挖掘，將教材第101頁的2個習題整合為“拋物線焦點弦的有關性質”的研究課題這樣，通過教師與教材的相互作用，提供到課堂上與學生交流的課程內容就已經(jīng)不再是教材靜態(tài)的、單一的內容了，而是內容更為豐富，思想更為鮮活，內涵更為深刻的課程內容了    其次，王老師充分發(fā)揮了學生3和學生8所犯“錯誤”、所歷“曲折”這種特殊的課程資源所具有的獨

4、特的教育意義    具體地說，對學生3的不當類比，王老師并沒有簡單地否定或糾正，而首先是讓學生說出他個人的思維方式這樣，師生了解到了學生發(fā)生錯誤的實際思維過程，從而就為進行有針對性地有效糾錯提供了必要的基礎事實上類比思維是極其可貴的，這樣的“錯誤”從思維方式上來說是有其合理之處的，如果我們簡單地予以否定，那么學生要么莫名其妙，不能真正理解、認識到自己的錯誤，要么會懷疑“類比”并且不敢再行“類比”了類似地，對于學生8的錯解，王老師沒有向學生明確地表明自己的觀點（“能證明或否定它嗎？”），而是通過設問給了學生一個思考、探究的機會  

5、60; 進一步地，王老師讓學生上講臺演示，“給了他充分表達自己想法的機會和探索的時間”，然后再讓大家進行討論這樣，王老師通過提供研討的時空，把學生對“問題”的種種思考和想法都充分地開發(fā)出來了同樣，對于學生8的錯解，王老師通過問句“能證明或否定它嗎？”打開學生思維的窗戶，給了學生一個廣闊的思維空間，使他們充分地展開探究活動從而把學生對問題的思考和想法全部開發(fā)出來了    特別地，在探究學生3的命題的整個過程之際，從“肯定猜想”“沒有大膽的猜想就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)”，到“質疑猜想”（包括組織討論）“猜想到的結論一定是正確的嗎？”再到“證明（反駁）猜想

6、”特例檢驗、圖形直觀，學生經(jīng)歷了科學研究的一般過程，從而受到了科學的思維方法論教育其次，教師對錯誤、失敗以及出錯學生的尊重之舉于無形之中便對學生進行了一次很好的情感態(tài)度方式乃至人生觀的教育顯然，此二者對學生的意義已超越了具體問題的獲解，具有深遠的“發(fā)展”意義因此可以說，它們是王老師對學生所犯“錯誤”、所歷“曲折”這種特殊的課程資源最重要的課程開發(fā)    2教師是數(shù)學活動的組織者、指導者和推進者 課例中一個值得引人深思的現(xiàn)象是，王老師在本節(jié)課的17處講話中有13處有問號，另有6處有感嘆號這反映或說明了什么？    在

7、傳統(tǒng)的數(shù)學課堂上，教師生怕學生看不懂教材或不能很好地理解教師講授的內容，于是不厭其煩地反復講，追求講深講透當代建構主義學習觀認為，學生的數(shù)學學習是學生從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)并憑借自己已有的知識和經(jīng)驗對新的問題情境、新的知識進行同化或順應的自主建構過程特別是這種建構是發(fā)生在每一個學生的頭腦里的，是他人無法替代的，如果沒有對新情境、新知識的自主建構活動，那么新情境、新知識就無法與已有的知識和經(jīng)驗建立實質性的聯(lián)系，從而“學習”就不可能真正地發(fā)生因此，傳統(tǒng)的數(shù)學課堂中教師不厭其煩的反復講解從實質上來說并無助于學生對新情境、新知識的認知，無助于學生學會探究問題解決問題  

8、0; 那么，在課堂中教師又該如何處理講和不講呢？進一步地，教師在課堂中究竟該發(fā)揮什么樣的作用呢？事實上，王老師在這一課例中一系列詞句和感嘆句給了我們很好的注解，即教師在課堂中應積極地發(fā)揮學生數(shù)學活動的組織者、推進者和指導者的作用    具體地說王老師在充分挖掘教材和精心組織教學內容的基礎上，一上課即出示問題情境讓學生進行思考、探索（“我們能發(fā)現(xiàn)什么結論嗎?”)；在“眾生”得出4個結論之后即組織學生探究、證明（“能證明這些結論嗎？”）；在學生證明它們之后即組織學生深入研究“通徑中的這些結論，在拋物線的一般的焦點弦中會怎樣呢？”；在學生3得出錯誤結

9、論之后通過追問、質疑、設疑、鼓勵等連續(xù)4個問句組織學生包括學生3本人對學生3的解答進行反思、辨析；隨后又通過設問“你能證明或否定它嗎？”引導學生對學生8的解答進行辨析、探究；在證明了通徑的焦點弦的性質后，通過設問“那么，通徑是否是拋物線的焦點弦中唯一最短的呢？”，及時地組織學生探究其唯一性；最后，通過設問“我們還能發(fā)現(xiàn)什么結論嗎？”，鼓勵學生展開思維探索新的結論，通過設問“我們還有哪些收獲呢？”鼓勵和提醒學生從其他方面（思維、情感態(tài)度、價值觀）進行歸納總結在課例結束之際，王老師還不失時機和熱情地鼓勵、組織學生進行課外研究活動從而我們清晰地看到，正是通過王老師一系列的問句，探究活動被有條不紊、循

10、序漸進地組織和推進；而學生不斷地進入思考和深入思考的境地    特別是每當學生在階段性的研究活動中取得了成果之際王老師都能及時地予以充分地肯定或表揚（感嘆）事實上教師的這種肯定或表揚對處于數(shù)學探究活動中的學生來說是十分寶貴的，那是教師對他們的無價獎賞，也是師生情感的一種溝通與交流，是促使他們鼓足干勁，再接再厲，進入下一階段的數(shù)學探究活動的興奮劑可見王老師深知學生的心理需要從更深入的角度來說，事實上王老師在不知不覺中把自己對學生智慧的欣賞態(tài)度、對學生由衷的熱愛之情轉化成了推動學生的探究活動深入發(fā)展的課程資源了    

11、當然，王老師沒有忘記，教師在學生的探究活動中應有的指導作用比如，對于學生3的猜想，通過王老師的質疑讓學生明白猜想是需要證明或反駁的；在師生對學生3的思考討論完畢之余，王老師的小結讓學生認識到“在科學發(fā)現(xiàn)中，錯誤和失敗不僅是在所難免的，也是我們所需要的，很多情況下，真理來自錯誤，成功源自失敗”；王老師還指導學生注意從學生3失?。ㄥe誤猜想）的可取（合理）之處著手探究問題的解決，事實上這即是真實的科學研究的一般方法和歷程；在學生10解答之余王老師及時地小結解題思想方法“解析幾何問題一般離不開代數(shù)運算”、“見繁即變，見簡即用，不膠一法，乃為通術”；在學生12完成證明之后，王老師即從數(shù)學哲學和數(shù)學方法論

12、上進行了小結；“邏輯的嚴謹性是數(shù)學的主要特征由觀察、猜想獲得的結論，必須通過嚴謹?shù)臄?shù)學演繹論證，才能上升為數(shù)學定理”；最后，王老師從數(shù)學及科學研究的高度對本節(jié)課的數(shù)學內容和師生經(jīng)歷的數(shù)學活動進行了闡釋所有這些都使得本節(jié)課教師的教學和學生的探究活動從具體的數(shù)學內容中脫胎出來，上升到一般的科學研究層面，具有了思維方法論的教育意義而這正是一般的數(shù)學教學所缺乏的！    不過，王老師對學生11另一種解答的評價“真是得來全不費功夫!”似值商榷事實上這一評價容易使一些學生對數(shù)學生發(fā)一種“神秘”感，也無助于學生了解方法的來源及其發(fā)生的思維過程，從而就難以對它產(chǎn)生真正的

13、“理解”其實，學生11的解法并不是不可捉摸、憑空而來的從“直線的表達式”這一知識結構出發(fā)便可十分自然地獲得因此教師不妨反問學生11“你是如何得到的”，從而使學生從知識結構上深入地認識這一解法并獲得相應的理解    教師要盡可能地“放手”    應該說，在這一節(jié)課中，王老師讓學生充分地進入了數(shù)學探究活動之中，突出了學生在課堂中的主體地位特別是王老師敢于讓學生經(jīng)歷錯誤，善于指導學生從錯誤中走出來，避免了弗賴登塔爾所說的“教學法的顛倒”，體現(xiàn)了“數(shù)學教學即數(shù)學研究”的教學思想，是十分值得贊賞的  &#

14、160; 但是，筆者在此又愿提出如下意見與大家商討，即在這一節(jié)課中，學生探究活動的研究性、自主性和廣泛性是否可以進一步改善？    具體地說，由拋物線通徑的性質到拋物線一般的焦點弦的性質無疑體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思想方法，但是這一轉折在課例中卻是教師本人給出的，從而是否真正發(fā)揮了應有的教育意義就值得懷疑即如果沒有教師的推廣，學生能否自主地生發(fā)并由此而深刻地體驗“由特殊到一般”的研究思想？    其次，在學生6回答完畢之后，教師提出的“那么學生3的猜想中有合理的地方嗎？”也給人一種“生硬”的感覺即如果沒有

15、教師這種突兀的指引，學生能否采取這樣一種策略呢？    事實上，以上兩個地方正是探究活動暨思維教育的重要環(huán)節(jié)，因而我們就不得不為師生感到擔心：是否錯過了思維教育或磨礪的重要機會？    筆者以為，對于前一問題，我們是否可以這樣處理，即在提出“圓錐曲線的焦點弦問題是解析幾何中一個非常重要的問題今天，我們就來共同研究拋物線焦點弦的有關性質”這一問題之后，教師并不講授通徑的概念，而是放手讓學生自行去探究一陣，包括鼓勵和指導學生幾個人一組地“共同”探究    可以說，以上的改進方案就

16、給予了學生更具真實性和挑戰(zhàn)性的問題：沒有了“通徑”這一具體條件，問題更為開放；沒有“通徑”這一特殊情形的提示，對一般情形的研究也更為真實從而，“問題”給予學生的探究空間就更為廣闊，引發(fā)的探究性活動就更具自主性同時，由于給予了學生自主探究的時間，特別是通過小組共同研究，學生更易被廣泛地調動起來，他們的思維也更能在思想的交流、碰撞和啟發(fā)中得到激活，并從不同的角度廣泛和深入地展開，從而為接下來全班性的師生共同研討打下必要的基礎    事實上，學生通過自覺或盲目的探究更易發(fā)現(xiàn)并從整體上感知“拋物線的焦點弦的長在它垂直于橫軸時最短，而當它的傾斜角由90?°

17、;?逐漸減小到0?°?時，拋物線的焦點弦就逐漸變成拋物線的對稱軸，它的長度將由2p趨于無窮大”而且，由于此種情況下此結論往往首先是從圖形(的變化）上看出來的，因而就不會像課例中那樣受已有結論“”的干擾了特殊地，由此數(shù)形結合思想及解析幾何所蘊含的“運動觀”就能更廣泛地得到體驗和認識    特別地，由此也更有利于學生形成良好的數(shù)學觀，體會和認識“特殊到一般”的方法論，增進發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，形成創(chuàng)新的意識和科研的欲望，獲得成功的體驗和成就后的滿足即,通過以上，學生可以清晰地看到，“通徑”的概念是數(shù)學上必要和合理的“創(chuàng)造”，而“特殊”在科學研究

18、中具有重要的研究價值，“特殊到一般”是科學研究的重要方法論，學習不等于被動接受，他們是可以有所創(chuàng)造的！    對于后一問題，筆者以為，此時完全可以放手讓學生自行（包括獨立思考和合作討論）去嘗試證明（開放），而沒有必要把學生的思維突然指引到學生3的解答上去（收斂）不要怕學生找不到合理或高效的思路，學生在由盲目到自覺、由失敗到成功的曲折歷程（體驗）中更能理解和認識“錯誤之中有合理的地方”、“要善于從失敗之中汲取有益的成分獲得有益的啟示”，這比單純地由教師給出這一道理更為有效這也是一種啟發(fā)式或灌輸式    事實上，以上的

19、討論已提醒我們，思維方法的教育一如知識的教授，也是不可灌輸而只能讓學生從自己已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，在“經(jīng)歷”問題解決的過程中自主建構的；在問題解決的過程中，只有方向是他（們）自己選擇的，子問題是他（們）自己提出的，信息是他（們）自己收集處理的，方法是他（們）自己思考（包括相互交流、相互啟發(fā)）獲得的，才能真正地、有效地培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新的意識、獨立思考的精神、問題解決的能力特別是提出問題的能力，以及合作、交流的行為方式因此，我們在試圖進行思維方法教育時，就需要進行必要的放手，特別是在某些重要環(huán)節(jié)，我們又必須盡可能地放手，否則易使設計之中的思維方法教育成為實際上的“知識（經(jīng)驗）灌輸” &#

20、160;  一般地說，在此課例中，問題基本上是教師提出來的，而學生基本上是被教師從一個問題引領到另一問題，基本上只是在嘗試解決教師所提問題而沒有“提出問題”的行為特別是在一些探究的關鍵環(huán)節(jié)上，學生尚未多加思考時教師便已主動地“牽引”（提問）學生前行，實是遺憾    事實上，以上就涉及了一種更為普遍和值得探討的教學現(xiàn)象，即在許多數(shù)學課堂上，我們往往看到問題一提出來教師即讓學生口答，問題最終在教師和幾位學生的“問答”之中解決了當然，有時也有一些學生能跟上來，能聽懂他們之間的對話并參與其中（齊答)但事實上由于每個學生具有的知識和經(jīng)驗不盡相同，他們對問題的感知、理解、探究、解答的方式、方法、進程也是不盡相同的，特別是在速度上往往相差很大從而在這樣的教學當中，我們就往往可以看到這樣一種現(xiàn)象，即當部分（往往是少部分）對問題的感知、理解、探究、解答走在前面的學生說出他們的思考之際，另一部分（往往是大部分）學生便喪失了經(jīng)歷對問題的感知、理解、探究、解答的機會，因為發(fā)言者已使他們的