知識(shí)講解變化率與導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)

1、變化率與導(dǎo)數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）理解平均變化率的概念；（2）了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；（3）理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；（4）會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平均變化率問題1.變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的平均變化率為：要點(diǎn)詮釋： 本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為,且,相應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為,則函數(shù)從到的平均變化率為 函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.即遞增或遞減幅度的大小。對

2、于不同的實(shí)際問題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義。如位移運(yùn)動(dòng)中，位移S（m）從t1秒到t2秒的平均變化率即為t1秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度。高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運(yùn)動(dòng)，就要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度。3.如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和作商：對所求得的差作商，即。要點(diǎn)詮釋：1. 是的一個(gè)“增量”，可用代替，同樣。2. 是一個(gè)整體符號(hào)，而不是與相乘。3. 求函數(shù)平均變化率時(shí)注意，兩者都可正、可負(fù)，但的值不能為零，的值可以為零。若函數(shù)為常函數(shù)，則=0.要點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)的概念定義：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，

3、我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作要點(diǎn)詮釋： 增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0。的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)。 時(shí)，y在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)。即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近。 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率。要點(diǎn)三、求導(dǎo)數(shù)的方法：求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟： 求函數(shù)的增量：； 求平均變化率：； 求極限，得導(dǎo)數(shù)：。也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)?！镜湫屠}】類型一：求平均變化率例1 函數(shù)在區(qū)間1，1+x內(nèi)的平均變化率為_?！窘馕觥?【點(diǎn)評】 由于平均變化率是函數(shù)值增量與自變量增量之

4、比，所以求函數(shù)在給定區(qū)間x0，x0+x上的平均變化率問題，就是求的值。舉一反三：【變式1】求在附近的平均變化率.【答案】所以 所以在附近的平均變化率為【變式2】求在到之間的平均變化率，并求，時(shí)平均變化率的值.【答案】當(dāng)變量從變到時(shí)，函數(shù)的平均變化率為當(dāng)，時(shí)，平均變化率的值為：.【變式3】 已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則 【答案】 ，  類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)值【高清課堂：變化率與導(dǎo)數(shù) 383113 例1】例2 （1）求函數(shù) 在x=1處的導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 【解析】 (1) , ，即.所以 函數(shù) 在x=1處的導(dǎo)數(shù)為6 .

5、（2） 依照定義，f(x)在的平均變化率，為兩增量之比，需先求，再求：，即為f(x)=在附近的平均變化率。 再由導(dǎo)數(shù)定義得： 【點(diǎn)評】利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，需熟練掌握求導(dǎo)數(shù)的步驟和方法，即三步法。舉一反三：【變式1】求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).【答案】，所以 【變式2】 求函數(shù)求在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 【答案】 ，所以 【變式3】 若，求和【答案】 因?yàn)?，所以所以因?yàn)?，所以?shí)際是求函數(shù)處的導(dǎo)數(shù)值，0所以，即= 0類型三：實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例3. 質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)，求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.【解析】根據(jù)平均速度的意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)

6、的知識(shí)求解。瞬時(shí)速度v=(8+2t)=8（cm/s）【點(diǎn)評】 t=2時(shí)的瞬時(shí)速度就是t=2附近平均速度的極限，亦即速度在t=2時(shí)導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)，關(guān)于時(shí)間t的位移函數(shù)是求（1）t=4時(shí)，物體的位移是s(4);（2）t=4時(shí)，物體的速度v(4);（3）t=4時(shí)，物體的加速度a(4).【答案】(1) (2) t=4時(shí)，v(4)=48 (3) t=4時(shí) a (4) = 24【變式2】一個(gè)小球自由下落，它在下落3秒時(shí)的速度是多少？【答案】自由落體的運(yùn)動(dòng)公式是（其中g(shù)是重力加速度）.當(dāng) 時(shí)間增量很小時(shí)，從3秒到（3）秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落3秒時(shí)的速度.從3秒到（3）秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：從而，.結(jié)論：越小，越接近29.4米/秒當(dāng)無限趨近于0時(shí)，無限趨近于29.4米/秒.【變式3】 質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s (t)=at2+1做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s）。若質(zhì)點(diǎn)