大學(xué)高等數(shù)學(xué)文科復(fù)習(xí)重點

1、第一章 預(yù)備知識一、 定義域1. 已知 的定義域為 ，求 的定義域。答案：2. 求 的連續(xù)區(qū)間。提示：任何初等函數(shù)在定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。答案： 二、 判斷兩個函數(shù)是否相同？1. ， 是否表示同一函數(shù)？答案：否2. 下列各題中， 和 是否相同？答案：都不相同 三、 奇偶性1. 判斷 的奇偶性。答案：奇函數(shù)四、 有界性 ，使 ，則 在 上有界。有界函數(shù)既有上界，又有下界。1. 在 內(nèi)是否有界？答案：無界2. 是否有界？答案：有界，因為 五、 周期性1. 下列哪個不是周期函數(shù)（C）。A B C D 注意： 是周期函數(shù)，但它沒有最小正周期。六、 復(fù)合函數(shù)1. 已知 ，求例：已知 ，求 解1：解2：

2、令 ， ， ，2. 設(shè) ，求 提示： 3. 設(shè) ，求 提示：先求出 4. 設(shè) ，求 提示：七、 函數(shù)圖形熟記 的函數(shù)圖形。第二章 極限與連續(xù)八、 重要概念1. 收斂數(shù)列必有界。2. 有界數(shù)列不一定收斂。3. 無界數(shù)列必發(fā)散。4. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。九、 無窮小的比較1. 時，下列哪個與 是等價無窮?。ˋ）。A B C D 十、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， ， ， ， 2. 自變量趨于無窮大，分子、分母為多項式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 出現(xiàn)根號，首先想到有理化 補充練習(xí)：（1） （2） （3

3、） （4） （5） 4. 出現(xiàn)三角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個重要極限例： 作業(yè)：P497 （1）（3）5. 出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)，首先想到第二個重要極限例： 作業(yè)：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必達(dá)法則作業(yè)：P995 （1）（8）7. 分子或分母出現(xiàn)變上限函數(shù)提示：洛必達(dá)法則+變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)例： 補充練習(xí)：（1） （2） （3） （4） 十一、 連續(xù)與間斷任何初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點是區(qū)間的分界點。若 ，則 在 處連續(xù)，否則間斷。第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點，進(jìn)一步還可細(xì)分為可去間斷點和

4、跳躍間斷點。第二類間斷點：不屬于第一類的間斷點，進(jìn)一步還可細(xì)分為無窮間斷點和振蕩間斷點。1. 設(shè)在 處連續(xù)，求 解： 在 處連續(xù)， 2. 作業(yè)：P494、10P5011、123. 補充練習(xí)：（1）研究函數(shù)的連續(xù)性： ， （2）確定常數(shù) ，使下列函數(shù)連續(xù)： ， ， （3）求下列函數(shù)的間斷點并確定其所屬類型： 十二、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點定理： 在 上連續(xù)，且 ，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使得 1. 補充練習(xí)：（1）證明方程 至少有一個不超過3的正實根。（2）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根。（3）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根。（4）證明方程 至少有一個小于1的正根。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分十三、

5、重要概念1. 可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。2. 可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)。3. 函數(shù)在 處可導(dǎo)的充要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在并且相等。十四、 導(dǎo)數(shù)的定義作業(yè)：P75 2十五、 對于分段函數(shù)，討論分界點是否可導(dǎo)？例： 在 處，連續(xù)但不可導(dǎo)1. 作業(yè)：P754、52. 討論下列函數(shù)在區(qū)間分界點的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù) 答案：在 處連續(xù)、不可導(dǎo) 答案：在 處連續(xù)、不可導(dǎo) 答案：在 處不連續(xù)、不可導(dǎo)3. 設(shè) ，為使 在 處連續(xù)且可導(dǎo)， 應(yīng)取什么值？答案： 十六、 求導(dǎo)數(shù)1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P756、102. 利用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76133. 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76124. 求

6、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76145. 求高階導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P75116. 求切線方程、法線方程利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率 ，則法線的斜率為 例：求曲線 在 處的切線方程。解： 切線斜率 ，切線經(jīng)過點 切線方程： 作業(yè)：P7537. 求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P1564十七、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作業(yè)：P7615十八、 利用微分進(jìn)行近似計算公式： 作業(yè)：P7616第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用十九、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設(shè) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使得 證明步驟：（1）根據(jù)待證的不等式設(shè)函數(shù) （2）敘述函數(shù) 滿足定理條件 （3）根據(jù)定理證明出

7、不等式。1. 作業(yè)：P9942. 補充練習(xí)：證明下列不等式：（1）當(dāng) 時， （2） （3）當(dāng) 時， 二十、 單調(diào)性與極值1. 單調(diào)性：（1）確定單調(diào)區(qū)間可能的分界點（駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表討論 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間作業(yè)：P9962. 極值：（1）確定可能的極值點（駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表討論 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)性與極值例：確定 的單調(diào)區(qū)間及極值點作業(yè)：P1009二十一、 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟：（1）求出所有可能的極值點 （2）計算各可能極值點的函數(shù)值以及區(qū)間端點的函數(shù)值 （3

8、）上述各值中最大的為max，最小的為min作業(yè)：P10010 （1）二十二、 最值的應(yīng)用問題步驟：（1）寫出目標(biāo)函數(shù) （2）求出可能的極值點 （應(yīng)用問題只有一個可能的極值點） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題，則寫出 ，并且最大值 ；如果是最小值問題，則寫出 ，并且最小值作業(yè)：P10013補充作業(yè)：從斜邊長 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分二十三、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例： 解1（第一類換元）：解2（第二類換元）：作業(yè)：P1256P12672. 分部積分法例： 作業(yè)：P1268第六章 定積分及其應(yīng)用二十四、 利用P132推

9、論3估計積分值：作業(yè)：P1562二十五、 證明題（1）設(shè) ，證明： （2）設(shè) ，證明：證（1）：證（2）：二十六、 計算定積分例： 作業(yè)：P1575、8、10二十七、 廣義積分例： 作業(yè)：P15817二十八、 求平面圖形的面積，求旋轉(zhuǎn)體的體積例：求平面上曲線 以及 所圍圖形的面積，并求該圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。作業(yè)：P15711P15813第二章 極限與連續(xù)二十九、 重要概念1. 收斂數(shù)列必有界。2. 有界數(shù)列不一定收斂。3. 無界數(shù)列必發(fā)散。4. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。5. 極限存在的充要條件是左、右極限存在并且相等。三十、 無窮小的比較1. 時，下列哪個與 是等價無窮?。ˋ

10、）。A B C D 三十一、 求極限1. 無窮小與有界量的乘積仍是無窮小。 ， ， ， ， 2. 自變量趨于無窮大，分子、分母為多項式例如： 提示：分子、分母同除未知量的最高次冪。3. 出現(xiàn)根號，首先想到有理化 補充練習(xí)：（1） （2） （3） （4） （5） 4. 出現(xiàn)三角函數(shù)、反三角函數(shù)，首先想到第一個重要極限例： 作業(yè)：P497 （1）（3）5. 出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)，首先想到第二個重要極限例： 作業(yè)：P497 （4）（6）6. 、 、 、 、 、 、 ，可以使用洛必達(dá)法則作業(yè)：P995 （1）（8）7. 分子或分母出現(xiàn)變上限函數(shù)提示：洛必達(dá)法則+變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)

11、例： 補充練習(xí)：（1） （2） （3） （4） 三十二、 連續(xù)與間斷任何初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的。分段函數(shù)可能的間斷點是區(qū)間的分界點。若 ，則 在 處連續(xù)，否則間斷。第一類間斷點：左、右極限都存在的間斷點，進(jìn)一步還可細(xì)分為可去間斷點和跳躍間斷點。第二類間斷點：不屬于第一類的間斷點，進(jìn)一步還可細(xì)分為無窮間斷點和振蕩間斷點。1. 設(shè)在 處連續(xù)，求 解： 在 處連續(xù)， 2. 作業(yè)：P494、10P5011、123. 補充練習(xí)：（1）研究函數(shù)的連續(xù)性： ， （2）確定常數(shù) ，使下列函數(shù)連續(xù)： ， ， （3）求下列函數(shù)的間斷點并確定其所屬類型： 三十三、 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點定理： 在

12、上連續(xù)，且 ，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使得 1. 補充練習(xí)：（1）證明方程 至少有一個不超過3的正實根。（2）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根。（3）證明方程 在 內(nèi)至少有一個實根。（4）證明方程 至少有一個小于1的正根。第三章 導(dǎo)數(shù)與微分三十四、 重要概念1. 可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。2. 可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)。3. 函數(shù)在 處可導(dǎo)的充要條件是左、右導(dǎo)數(shù)存在并且相等。三十五、 導(dǎo)數(shù)的定義作業(yè)：P75 2三十六、 對于分段函數(shù)，討論分界點是否可導(dǎo)？例： 在 處，連續(xù)但不可導(dǎo)1. 作業(yè)：P754、52. 討論下列函數(shù)在區(qū)間分界點的連續(xù)性與可導(dǎo)數(shù) 答案：在 處連續(xù)、不可導(dǎo) 答案：在 處連續(xù)、

13、不可導(dǎo) 答案：在 處不連續(xù)、不可導(dǎo)3. 設(shè) ，為使 在 處連續(xù)且可導(dǎo)， 應(yīng)取什么值？答案： 三十七、 求導(dǎo)數(shù)1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P756、102. 利用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76133. 求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76124. 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P76145. 求高階導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P75116. 求切線方程、法線方程利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率 ，則法線的斜率為 例：求曲線 在 處的切線方程。解： 切線斜率 ，切線經(jīng)過點 切線方程： 作業(yè)：P7537. 求變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作業(yè)：P1564三十八、 求微分 1. ， 2. ，求 解：作業(yè)：P7615三十九、 利用微

14、分進(jìn)行近似計算公式： 作業(yè)：P7616第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四十、 利用拉格朗日中值定理證明不等式定理：設(shè) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則在 內(nèi)至少存在一點 ，使得 證明步驟：（1）根據(jù)待證的不等式設(shè)函數(shù) （2）敘述函數(shù) 滿足定理條件 （3）根據(jù)定理證明出不等式。1. 作業(yè)：P9942. 補充練習(xí)：證明下列不等式：（1）當(dāng) 時， （2） （3）當(dāng) 時， 四十一、 單調(diào)性與極值1. 單調(diào)性：（1）確定單調(diào)區(qū)間可能的分界點（駐點與導(dǎo)數(shù)不存在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表討論 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間作業(yè)：P9962. 極值：（1）確定可能的極值點（駐點與導(dǎo)數(shù)不存

15、在的點） （2）將定義域分成若干個子區(qū)間，列表討論 在各子區(qū)間上的符號，從而確定單調(diào)性與極值例：確定 的單調(diào)區(qū)間及極值點作業(yè)：P1009四十二、 求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值步驟：（1）求出所有可能的極值點 （2）計算各可能極值點的函數(shù)值以及區(qū)間端點的函數(shù)值 （3）上述各值中最大的為max，最小的為min作業(yè)：P10010 （1）四十三、 最值的應(yīng)用問題步驟：（1）寫出目標(biāo)函數(shù) （2）求出可能的極值點 （應(yīng)用問題只有一個可能的極值點） （3）分析是最大值問題還是最小值問題。如果是最大值問題，則寫出 ，并且最大值 ；如果是最小值問題，則寫出 ，并且最小值作業(yè)：P10013補充作業(yè)：從斜邊長 的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。第五章 不定積分四十四、 換元法、分部積分法求不定積分1. 換元法例： 解1（第一類換元）：解2