高等代數(shù)習題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高等代數(shù)習題第一章 基本概念 §1.1 集合 1、設Z是一切整數(shù)的集合，X是一切不等于零的有理數(shù)的集合Z是不是X的子集？ 2、設a是集A的一個元素。記號a表示什么？ a A是否正確？ 3、設 寫出 和 . 4、寫出含有四個元素的集合 的一切子集 5、設A是含有n個元素的集合A中含有k個元素的子集共有多少個？ 6、下列論斷那些是對的，那些是錯的？錯的舉出反例，并且進行改正 (i) (ii) (iii) (iv) 7證明下列等式： (i) (ii) (iii) §1.2映射 1、設A是前100個正整數(shù)所成的集合找一個A到自身的映射，但不是滿射 2、找一

2、個全體實數(shù)集到全體正實數(shù)集的雙射 3、 是不是全體實數(shù)集到自身的映射？ 4設f定義如下： f是不是R到R的映射？是不是單射？是不是滿射？ 5、令A=1,2,3.寫出A到自身的一切映射.在這些映射中那些是雙射？ 6、設a ,b是任意兩個實數(shù)且a<b.試找出一個0,1到a ,b的雙射. 7、舉例說明，對于一個集合A到自身的兩個映射f和g來說，fg與gf一般不相等。 8、設A是全體正實數(shù)所成的集合。令 (i)g是不是A到A的雙射？ (ii)g是不是f的逆映射？ (iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？ 9、設 是映射，又令 ，證明 (i)如果 是單射，那么 也是單射； (ii)如果 是滿射

3、，那么 也是滿射； (iii)如果 都是雙射，那么 也是雙射，并且 10判斷下列規(guī)則是不是所給的集合A的代數(shù)運算:   集 合 A 規(guī) 則 1 2 3 4 全體整數(shù) 全體整數(shù) 全體有理數(shù) 全體實數(shù) §1.3數(shù)學歸納法 1、證明: 2、設是一個正整數(shù).證明 , 是任意自然數(shù). 3、證明二項式定理:這里 ， 是 個元素中取 個的組合數(shù). 4、證明第二數(shù)學歸納法原理. 5、證明,含有 個元素的集合的一切子集的個數(shù)等于。§1.4整數(shù)的一些整除性質 1、對于下列的整數(shù) ,分別求出以 除 所得的商和余數(shù): ; ; ; . 2、設是整數(shù)且不全為0,而 , , .證明, 的一個最

4、大公因數(shù)必要且只要 . 3、設是不等于零的整數(shù).滿足下列兩個條件的正整數(shù)叫做與的最小公倍數(shù): ; 如果 且 ,則 .證明: 任意兩個不等于零的整數(shù) 都有唯一的最小公倍數(shù); 令 是 與 的最小公倍數(shù)而 ,則 . 4、設是一個大于1的整數(shù)且具有以下性質:對于任意整數(shù) ,如果 ,則 或 .證明, 是一個素數(shù)(定理1.4.5的逆命題). 5、設是兩兩不相同的素數(shù),而 . 證明 ; 利用 證明,素數(shù)有無限多個 §1.5數(shù)環(huán)和數(shù)域 1證明,如果一個數(shù)環(huán) 那么 含有無限多個數(shù) 2證明, 是數(shù)域 3證明, 是一個數(shù)環(huán), 是不是數(shù)域? 4證明,兩個數(shù)環(huán)的交還是一個數(shù)環(huán);兩個數(shù)域的交還是一個數(shù)域.兩個數(shù)

5、環(huán)的并是不是數(shù)環(huán)? 5設是一整數(shù),令 由例1, 是一個數(shù)環(huán).設 ,記 證明: 是一個數(shù)環(huán) ,這里 是 與 的最大公因數(shù) 第二章 多項式 §2.1一元多項式的定義和運算 1設 和 是實數(shù)域上的多項式證明：若是 (6) ，那么 2求一組滿足（6）式的不全為零的復系數(shù)多項式 和 3證明： §2.2 多項式的整除性 1求 被 除所得的商式和余式： ( i ) (ii) 2證明： 必要且只要 3令 都是數(shù)域F上的多項式，其中 且 證明： 4實數(shù) 滿足什么條件時，多項式 能夠整除多項式 5設F是一個數(shù)域， 證明： 整除 6考慮有理數(shù)域上多項式 這里 和 都是非負整數(shù)證明： 7證明： 整

6、除 必要且只要 整除 §2.3 多項式的最大公因式 1.      計算以下各組多項式的最大公因式： ( i ) (ii) 2.      設 證明：若 且 和 不全為零，則 反之，若 則 是 與 的一個最大公因式 3.      令 與 是 的多項式，而 是 中的數(shù)，并且 證明： 4 證明： （i） 是 和 的最大公因式； （ii） 此處 等都是 的多項式。 5 設 都是有理數(shù)域Q上的多項式。求 使得 6 設 令 是任意正整數(shù)，證明：

7、 由此進一步證明，對于任意正整數(shù) ，都有 7 設 證明：    8 證明：對于任意正整數(shù) 都有 9 證明：若是 與 互素，并且 與 的次數(shù)都大于0，那么定理 里的 與 可以如此選取，使得 的次數(shù)低于 的次數(shù)， 的次數(shù)低于 的次數(shù)，并且這樣的 與 是唯一的。 10 決定 ，使 與 的最大公因式是一次的。 11 證明：如果 那么對于任意正整數(shù) ， 12 設 是數(shù)域F上的多項式。 與 的最小公倍式指的是Fx中滿足以下條件的一個多項式 ：且 ； 如果 Fx且 ，那么 證明：Fx中任意兩個多項式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差別外，是唯一的。 設 都是最高次項系數(shù)是1的多項

8、式，令 表示 和 的最高次項系數(shù)是1的那個最小公倍式。證明 13 設 并且 證明： 14 設 證明： 互素的充要條件是存在多項式 使得 15 設 令 比照定理1.4.2，證明： 有最大公因式提示：如果 不全為零，取 是I中次數(shù)最低的一個多項式，則 就是 的一個最大公因式 §2.4 多項式的分解 1.      在有理數(shù)域上分解以下多項式為不可約多項式的乘積： 2.      分別在復數(shù)域，實數(shù)域，有理數(shù)域上分解多項式 為不可約因式的乘積. 3.   

9、60;  證明： 當且僅當 4.      求 在 內的典型分解式； 求 在 內的典型分解式 5.證明：數(shù)域F上一個次數(shù)大于零的多項式 是 中某一不可約多項式的冪的充分且必要條件是對于任意 或者 或者存在一個正整數(shù) 使得 6設 是 中一個次數(shù)大于零的多項式.如果對于任意 只要 就有 或 那么 不可約. §2.5 重因式 1.      證明下列關于多項式的導數(shù)的公式： 2.      設 是 的導數(shù) 的 重因式.證明： 未必是

10、 的 重因式； 是 的 重因式的充分且必要條件是 3. 證明有理系數(shù)多項式 沒有重因式. 4. 應該滿足什么條件，下列的有理系數(shù)多項式才能有重因式？ 5. 證明：數(shù)域F上的一個 次多項式 能被它的導數(shù)整除的充分且必要條件是 ， 這里的 是F中的數(shù) 。§2.6 多項式函數(shù) 多項式的根 1設 ,求 . 2數(shù)環(huán)R的一個數(shù) 說是 的一個 重根,如果 可以被 整除,但不能被 整除.判斷5是不是多項式 的根.如果是的話,是幾重根? 3設 求 提示:應用綜合除法 4將下列多項式 表成 的多項式. ; . 5求一個次數(shù)小于4的多項式 ,使 6求一個2次多項式,使它在 處與函數(shù) 有相同的值. 7令 是

11、兩個多項式,并且 可以被 整除. 證明 8令 是一個復數(shù),并且是 中一個非零多項式的根,令 證明: 在J中存在唯一的最高次項系數(shù)是1的多項式 ,使得 中每一多項式 都可以寫成 的形式,這里 .在 中不可約. 如果 ,求上述的 提示:取 是J中次數(shù)最低的、最高次項系數(shù)是1的多項式. 9設 中多項式 且 , 是一個大于1的整數(shù). 證明: 的根只能是零或單位根. 提示:如果 是 的根,那么 都是 的根. §2.7 復數(shù)和實數(shù)域上多項式 1設 次多項式 的根是 .求 以 為根的多項式,這里 是一個數(shù)。 （ii）以,(假定 都不等于零)為根的多項式.2設 是一個多項式,用 表示把 的系數(shù)分別換

12、成它們的共軛數(shù)后所得多項式.證明: 若是g ,那么 ; 若是 是 和 的一個最大公因式,并且 的最高次項系數(shù)是1,那么 是一個實系數(shù)多項式). 3給出實系數(shù)四次多項式在實數(shù)域上所有不同類型的典型分解式. 4在復數(shù)和實數(shù)域上,分解 為不可約因式的乘積. 5證明:數(shù)域F上任意一個不可約多項式在復數(shù)域內沒有重根. §2.8 有理數(shù)域上多項式1證明以下多項式在有理數(shù)域上不可約: ; ; . 2利用艾森斯坦判斷法,證明:若是 是 個不相同的素數(shù)而 是一個大于1的整數(shù),那么 是一個無理數(shù). 3設 是一個整系數(shù)多項式.證明:若是 和 都是奇數(shù),那么 不能有整數(shù)根.4求以下多項式的有理根: ; ;

13、.  第三章 行列式§3.1 線性方程組和行列式 §3.2 排列1計算下列排列的反序數(shù)： ； 2假設n個數(shù)碼的排列 的反序數(shù)是k,那么排列 的反序數(shù)是多少？ 3寫出4個數(shù)碼的一切排列 §3.3 階行列式 1確定六階行列式 D= 中以下各乘積的符號： 2寫出下列四階行列式 中一切帶有負號且含元素 的項。 3證明： 階行列式 4考察下列行列式： ， ， 其中 是 這 個數(shù)碼的一個排列。這兩個行列式間有什么關系？ 5計算 階行列式 6計算行列式 7證明：行列式 8設在 階行列式 中，§3.4 子式和代數(shù)余式 行列式的依行依列展開 1把行列式 依第三行

14、展開，然后加以計算  2計算以下行列式:   提示：把第一列的元素看成兩項的和，然后把行列式拆成兩個行列式的和。 3令 計算行列式 。 §3.5 克拉默規(guī)則 1解以下線性方程組： 2設 是 個不同的數(shù), 是任意 個數(shù),而多項式 有以下性質: , .用線性方程組的理論證明, 的系數(shù) 是唯一確定的,并且對 的情形導出拉格朗日插值公式. 3設 .用線性方程組的理論證明,若是 有 個不同的根,那么 是零多項式. 第四章 線性方程組§4.1 消元法 1解以下線性方程組： 2證明：對矩陣施行第一種行初等變換相當于對它連續(xù)施行若干次第二和第三種行初等變換。 3設 階行

15、列式 0. 證明：用行初等變換能把 行 列矩陣 化為 。 4證明：在前一題的假設下，可以通過若干次第三種初等變換把 化為 §4.2 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法 1對第一和第二種行初等變換證明定理4.2.1 2利用初等變換求下列矩陣的秩： 3證明：一個線性方程組的增廣矩陣的秩比系數(shù)矩陣的秩最多大1 4證明：含有 個未知量 個方程的線性方程組 有解的必要條件是行列式 這個條件不是充分的，試舉一反例 5 有解？ 6 取怎樣的數(shù)值時，線性方程組 有唯一解，沒有解，有無窮多解？ §4.3 線性方程組的公式解 1考慮線性方程組：這里 2 3設線性方程組： （9） 有解，并且添加一

16、個方程： 于方程組（9）所得的方程組與（9）同解證明：添加的方程是（9）中 個方程的結果 4設齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 ，而 中某一元素 的代數(shù)余子式 證明：這個方程組的解都可以寫成 的形式,此處k是任意數(shù). 5設行列式 令 是元素 的代數(shù)余子式.證明:矩陣 的秩 第五章 矩 陣 §5.1 矩陣的運算 1計算 ； ； ； ； 2證明，兩個矩陣A與B的乘積AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A 3可以按下列步驟證明矩陣的乘法滿足結合律： (i) 設B=( )是一個n p矩陣令 = 是B的第j列，j=1,2,p又設 是任意一個p 1矩陣證明：B = (ii)

17、設A是一個m n矩陣利用(i)及習題2的結果，證明： A(B )=(AB) (iii)設C是一個pxq矩陣利用(ii)，證明： A(BC)=(AB)C 4設 A= 證明：當且僅當 B= 時，AB=BA。 5令 是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n階矩陣求 6求滿足以下條件的所有n階矩陣A (i) i,j=1,2,n, (ii)AB=BA ；這里B是任意n階矩陣。 7舉例證明，當AB=AC時，未必B=C 8證明，對任意n階矩陣A和B，都有AB-BAI提示，考慮AB-BA的主對角線上的元素的和 9令A是任意n階矩陣，而I是n階單位矩陣，證明： ( )( )= 10.對任意n階矩陣A，必有

18、n階矩陣B和C，使A=B+C，并且 §5.2 可逆矩陣矩陣乘積的行列式 1設對5階矩陣實行以下兩個初等變換：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相當于這兩個初等變換的初等矩陣是什么？ 2證明：一個可逆矩陣可以通過列初等變換化為單位矩陣 3求下列矩陣的逆矩陣： 4設 A是一個n階矩陣，并且存在一個正整數(shù)m使得 (i) 證明 可逆，并且 (ii)求下列矩陣的逆矩陣 。 5設 證明， 總可以表成 和 型初等矩陣的乘積 6令 是n階矩陣 的伴隨矩陣，證明 (區(qū)別detA0和detA=0兩種情形) 7設A和B都是n階矩陣證明，若AB可逆,則A和B都可逆 8設A和B都是n階矩陣證

19、明，若AB=I,則A和B互為逆矩陣 9證明，一個n階矩陣A的秩1必要且只要A可以表為一個n 1矩陣和一個1 n矩陣的乘積 10.證明：一個秩為r的矩陣總可以表為r個秩為1的矩陣的和 11設A是一個n n矩陣， 都是n 1矩陣用記號 表示以 代替A的第i列后所得到的 矩陣 (i)線性方程組 可以改寫成 I是n階單位矩陣 (ii)當detA0時，對(i)中的矩陣等式兩端取行列式，證明克拉默規(guī)則 §5.3 矩陣的分塊 1求下面矩陣的逆矩陣2設A，B都是n階矩陣，I是n階單位矩陣，證明 3設 都是n=r+s階矩陣，而 是一個n階矩陣，并且與S,T有相同的分法求SA,AS,TA和AT.由此能得

20、出什么規(guī)律？ 4證明，2n階矩陣 總可以寫成幾個形如 的矩陣的乘積 5設 是一個對角線分塊矩陣證明: 6證明，n階矩陣 的行列式等于(detA)(detB) 7設A,B,C,D都是n階矩陣，其中detA0并且AC=CA，證明 第六章 向量空間 §6.1 定義和例子 1令F是一個數(shù)域，在F3里計算 （i） （2，0，-1）+（-1，-1，2）+ （0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1， ，2）+（1，-3，1） 2證明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么a = b = c = 0 3找出不全為零的三個有理數(shù)a，b，c

21、（即a，b，c中至少有一個不是0），使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0） 4令 1 = （1，0，0）， 2 = （0，1，0）， 3 =（0，0，1）證明，R3中每個向量 可以唯一地表示為 = a1 1 + a2 2 + a3 3 的形式，這里a1，a2，a3 R 5證明，在數(shù)域F上向量空間V里，以下算律成立： （i）a ( ) = a - a ； (ii) (a- b) = a - b , 這里a，b F ， , V 6證明：數(shù)域F上一個向量空間如果含有一個非零向量，那么它一定含有無限多個向量 7證明，對于任意正整數(shù)n 和任意向量 ，都

22、有 n = + 8證明，向量空間定義中條件3º，8）不能由其余條件推出 9驗證本節(jié)最后的等式： （ 1， n）(AB) =（ 1， n）A）B   §6.2子空間 1判斷R n中下列子集哪些是子空間： (i)                  （a1，0，0，an）| a1，an R； (ii)        

23、0;       （a1 ，a2 ，an ）| ai =0； (iii)               （a1 ，a2 ，an ）| ai =1； (iv)              （a1 ，a2 ，an ）| ai Z ，i = 1，n. 2Mn (F)表示數(shù)域F上一

24、切n階矩陣所組成的向量空間（參看6.1，例2）令 S= A Mn (F) |A= A， T= A Mn (F) |A= A 證明，S和T都是 Mn (F)的子空間，并且 Mn(F) = S + T，S T=0 3設W1，W2是向量空間V的子空間，證明：如果V的一個子空間既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 在這個意義下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空間 4設V是一個向量空間，且V 0證明：V不可能表成它的兩個真子空間的并集 5設W，W1，W2都是向量空間V的子空間，其中W1 W2且W W1=W W2， W + W1=W + W2 .證明：W1=W2 6設W1，W 2是數(shù)

25、域F上向量空間V的兩個子空間， , 是V的兩個向量，其中 W2，但 W1，又 W2，證明： （i）                   對于任意k F, +k W2 ； （ii）                 至多有一個k F，使得 +k W1 7設W1，W

26、2 ，Wr 是向量空間V的子空間，且Wi V，i=1，r. 證明：存在一個向量 V，使得 Wi， i=1，r提示：對r作數(shù)學歸納法并且利用第6題的結果 §6.3 向量的線性相關性 1.下列向量組是否線性相關: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；(ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）2證明，在一個向量組 里，如果有兩個向量 與 成比例，即 =k ， ，那么 線性相關3令 。證明 線性相關必要且只要行列式 = 04設 ，線性無關對每一個 任意添

27、上p個數(shù)，得到 的m個向量 證明 1 ， 2 ， m也線性無關5設 線性無關，證明 也線性無關6設向量組 ( 線性無關，任取 證明，向量組 線性無關7下列論斷哪些是對的，哪些是錯的，如果是對的，證明；如果是錯的，舉出反例： (i) 如果當 ，那么 線性無關(ii) 如果 線性無關，而 不能由 線性表示，那么 ， 也線性無關(iii) 如果 線性無關，那么其中每一個向量都不是其余向量的線性組合 (iv) 如果 線性相關，那么其中每一個向量都是其余向量的線性組合8設向量 可以由 表示，但不能由 線性表示證明，向量組 與向量組 ， 等價9設向量組 中 并且每一 都不能表成它的前 個向量 的線性組合證

28、明 線性無關10設向量 線性無關，而 ， ， 線性相關，證明，或者 與 中至少有一個可以由 線性表示，或者向量組 ， 與 ， 等價 §6.4 基和維數(shù) 1令Fn x表示數(shù)域F上一切次數(shù) n的多項式連同零多項式所組成的向量空間這個向量空間的維數(shù)是幾？下列向量組是不是F3 x的基： (i)x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2； (ii)x-1，1-x2，x2+2x-2，x3. 2求下列子空間的維數(shù)： （i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）) R3 (ii) L(x-1，1-x2，x2-x) Fx； (iii) L(ex，e2x，e3x) C a，b.

29、 3把向量組（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）擴充為R4的一個基 4令S是數(shù)域F上一切滿足條件A=A的n階矩陣A所成的向量空間，求S的維數(shù) 5證明，復數(shù)域C作為實數(shù)域R上向量空間，維數(shù)是2如果C看成它本身上的向量空間的話，維數(shù)是幾？ 6證明定理6.4.2的逆定理：如果向量空間V的每一個向量都可以唯一地表成V中向量 的線性組合，那么dimV = n. 7設W是R n 的一個非零子空間，而對于W的每一個向量（a1，a2，an）來說，要么a1 = a2= = an = 0，要么每一個ai 都不等于零，證明dimW = 1 8設W是n維向量空間V的一個子空間，且0< dimW <

30、n證明：W在V中有不只一個余子空間 9證明本書最后的論斷 §6.5坐標 1設1 ，2 ，n是V的一個基求由這個基到 2 ，n ，1的過渡矩陣 2證明，x3，x3+x，x2+1，x+1是F3 x（數(shù)域F上一切次數(shù) 3的多項式及零）的一個基求下列多項式關于這個基的坐標： （i）x2+2x+3； （ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x 3設 1 =(2，1，-1，1)， 2=（0，3，1，0）， 3=（5，3，2，1）， 4=（6，6，1，3）證明 1 ， 2 ， 3， 4 作成R4的一個基在R4中求一個非零向量，使它關于這個基的坐標與關于標準基的坐標相同 4設 1 =(1，2，-

31、1)， 2=（0，-1，3）， 3=（1，-1，0）； 1=（2，1，5）， 2=（-2，3，1）， 3=（1，3，2） 證明 1 ，2 ，3 和 1 ，2 ，3都是R3的基求前者到后者的過渡矩陣 5設 1 ， 2 ， n是F上n維向量空間V的一個基A是F上一個n s矩陣令 ( 1 ， 2 ， s)=( 1 ， 2 ， n)A 證明 dimL( 1 ， 2 ， s)=秩A  §6.6 向量空間的同構 1證明,復數(shù)域C作為實數(shù)域R上向量空間,與V2同構 2設 是向量空間V到W的一個同構映射,V1是V的一個子空間.證明 是W的一個子空間 3證明:向量空間 可以與它的一個真子空間

32、同構 §6.7 矩陣的秩 齊次線性方程組的解空間 1證明：行列式等于零的充分且必要條件是它的行（或列）線性相關 2證明，秩（A+B） 秩A+秩B 3設A是一個m行的矩陣，秩A=r，從A中任取出s行，作一個s行的矩陣B證明，秩B r+s m 4設A是一個m n矩陣，秩A=r從A中任意劃去ms行與nt列，其余元素按原來位置排成一個s t矩陣C，證明，秩C r+s+tmn 5求齊次線性方程組 x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0， 3x1 +2x2 + x3 +x4 3x5 =0， 5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4x5 =0， x2 + 2x3 + 2x4 + x5

33、=0 的一個基礎解系 6證明定理6.7.3的逆命題：Fn的任意一個子空間都是某一含n個未知量的齊次線性方程組的解空間 7證明，F(xiàn)n的任意一個Fn的子空間都是若干n1維子空間的交 第七章 線性變換 §7.1 線性映射 1令 =（x1，x2，x3）是R3的任意向量下列映射 哪些是R3到自身的線性映射？ （1） () = + ，是R3的一個固定向量 （2） () = (2x1x2 + x3 ，x2 + x3 ，x3) （3） () =（x12 ，x22 ，x32） （4） () =（cosx1，sinx2，0） 2設V是數(shù)域F上一個一維向量空間證明V到自身的一個映射 是線性映射的充要條件是

34、：對于任意 V，都有 ( ) = a ，這里a是F中一個定數(shù) 3令Mn (F) 表示數(shù)域F上一切n階矩陣所成的向量空間取定A Mn (F).對任意X Mn (F)，定義 (X) = AXXA (i)                  證明： 是Mn (F)是自身的線性映射。 (ii)            &

35、#160;   證明：對于任意X，Y Mn (F)， (XY) = (X)Y+X (Y) 4令F4表示數(shù)域F上四元列空間，取 A= 對于 F4，令 ( ) = A 求線性映射 的核和像的維數(shù) 5設V和W都是數(shù)域F上向量空間，且dimV = n令 是V到W的一個線性映射我們如此選取V的一個基： 1， s， s+1， n，使得 1， s，是Ker( )的一個基證明： （i） ( s+1)， ( n)組成Im( )的一個基； （ii）dim Ker( ) + dim Im( ) = n.。 6設 是數(shù)域F上n維向量空間V到自身的一個線性映射W1，W2是V的子空間，并且V = W1

36、 W2證明： 有逆映射的充要條件是V = (W1) (W1) §7.2 線性變換的運算 1舉例說明，線性變換的乘法不滿足交換律 2在Fx中，定義 ：f (x) f(x) ， ：f (x) xf (x) ， 這里f(x)表示f(x)的導數(shù)證明, , 都是Fx的線性變換，并且對于任意正整數(shù)n都有 n n = n n-1 3設V是數(shù)域F上的一個有限維向量空間證明，對于V的線性變換 來說，下列三個條件是等價的： （i） 是滿射； (ii)Ker( ) = 0; (iii) 非奇異 當V不是有限維時，(i)，(ii)是否等價？ 4設 L (V)， V，并且 ， ( )， k-1( )都不等于零

37、，但 k( ) = 0證明： ， ( )， k-1( ) 線性無關 5 L (V) 證明 (1) Im( ) Ker( )當且僅當 2 = ； (2)   Ker( ) Ker( 2) Ker( 3) ； (3)   Im( ) Im( 2) Im( 3) 6設Fn = (x1，x2 ，xn ) | xi F 是數(shù)域F上n 維行空間定義 (x1，x2 ，xn ) = (0，x1 ，xn-1 ) (i) 證明： 是Fn的一個線性變換，且 n = ； (ii) 求Ker( )和Im( ) 的維數(shù) §7.3 線性變換和矩陣 1令Fnx表示一切次數(shù)不大

38、于n 的多項式連同零多項式所成的向量空間， ：f (x) f(x) ，求關于以下兩個基的矩陣： (1) 1，x ，x2 ，xn， (2) 1，xc， ， ，c F 2設F上三維向量空間的線性變換 關于基 1 ， 2， 3的矩陣是 求 關于基 1 = 2 1 +3 2 + 3， 2 = 3 1 +4 2 + 3， 3 = 1 +2 2 +2 3， 的矩陣 設 = 2 1 + 2 3求 ( )關于基 1， 2， 3的坐標 3設 1， 2， n是n維向量空間V的一個基 j = ， = ， j = 1，2，n， 并且 1 ， 2， n線性無關又設 是V的一個線性變換，使得 ( j) = ，j = 1，

39、2，n，求 關于基 ， ， 的矩陣 4設A，B是n階矩陣，且A可逆，證明，AB與BA相似 5設A是數(shù)域F上一個n階矩陣，證明，存在F上一個非零多項式f (x)使得f (A) = 0 6證明，數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換 是一個位似（即單位變換的一個標量倍）必要且只要 關于V的任意基的矩陣都相等 7令Mn (F)是數(shù)域F上全休n階矩陣所成的向量空間取定一個矩陣A Mn (F) 對任意X Mn (F)，定義 (X) = AXXA 由7.1習題3知 是Mn (F)的一個線性變換，設 A = 是一個對角形矩陣證明， 關于Mn (F)的標準基Eij |1 (見6.4，例5)的矩陣也是對角形矩陣，

40、它的主對角線上的元素是一切aiaj (1 ).建議先具體計算一下n = 3的情形 8設 是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換證明，總可以如此選取V的兩個基 1 ， 2， n和 1， 2， n，使得對于V的任意向量 來說，如果 = ，則 ( ) = ，這里0 是一個定數(shù)。提示：利用7.1，習題5選取基 1 ， 2， n §7.4 不變子空間 1設 是有限維向量空間V的一個線性變換，而W是 的一個不變子空間，證明，如果 有逆變換，那么W也在 -1之下不變 2設 是向量空間V的線性變換，且 證明Im( )和Ker( )都在 之下不變 3 是數(shù)域F上向量空間V的一個線性變換，并且滿足條件

41、2 = 證明： (i) Ker( ) = ； (ii)V = Ker( ) Im( )； (iii)如果 是V的一個線性變換，那么Ker( )和Im( )都在 之下不變的充要條件是 4設 是向量空間V的一個位似（即單位變換的一個標量倍）證明，V的每一個子空間都在 之下不變 5令S是數(shù)域F上向量空間V的一些線性變換所成的集合V的一個子空間W如果在S中每一線性變換之下不變，那么就說W是S的一個不變子空間S說是不可約的，如果S在V中沒有非平凡的不變子空間，設S不可約，而 是V的一個線性變換，它與S中每一線性變換可交換。證明 或者是零變換，或者是可逆變換提示：令W = Ker .證明W是要的一個不變子

42、空間 §7.5 本征值和本征向量 1求下列矩陣在實數(shù)域內的特征根和相應的特征向量： (i) ； (ii) ；(iii) 2證明：對角形矩陣 與 相似必要且只要b1，b2，bn是a1，a2，an的一個排列 3設 A = 是一個實矩陣且adbc = 1 證明： (i) 如果| trA |>2，那么存在可逆實矩陣T，使得 T-1AT = 這里 且 ，1，-1 (ii) 如果| trA | = 2且A ，那么存在可逆實矩陣T，使得 T-1AT = 或 .(iii) 如果| trA | < 2則存在可逆實矩陣T及 ，使得 T-1AT = 提示 在(iii)，A有非實共軛復特征根 =

43、1.將 寫成三角形式令 是A的屬于 的一個特征向量，計算A 和A 4設a，b，c 令 A= ，B= ，C= (i) 證明，A，B，C彼此相似； (ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有兩個等于零 5設A是復數(shù)域C上一個n階矩陣 (i) 證明：存在C上n階可逆矩陣T使得 T-1AT = (ii) 對n作數(shù)學歸納法證明，復數(shù)域C上任意一個n階矩陣都與一個“上三角形”矩陣 相似，這里主對角線以下的元素都是零 6設A是復數(shù)域C上一個n階矩陣， 是A的全部特征根（重根按重數(shù)計算） (i) 如果f (x)是C上任意一個次數(shù)大于零的多項式，那么f ( 是f(A)的全部特征根 (ii) 如果A可

44、逆，那么 ，并且 是A-1的全部特征根 7令 A = 是一個n階矩陣。 (i) 計算 (ii) 求A的全部特征根 8 是任意復數(shù)，行列式 D = 叫做一個循環(huán)行列式，證明： D = ， 這里 ，而 是全部n次單位根提示：利用6.7兩題的結果 9設A，B是復數(shù)域上n階矩陣證明，AB與BA有相同的特征根，并且對應的特征根的重數(shù)也相同提示：參看5.3習題2 §7.6 可以對角化的矩陣 1檢驗7.5習題1中的矩陣哪些可以對角化如果可以對角化，求出過渡矩陣T 2設 ， 求A10 3設 是數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換令 是 的兩兩不同的本征值， 是屬于本征值 的本征子空間證明，子空間的和

45、 是直和，并在 之下不變 4數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換 叫做一個對合變換，如果 2 =,是單位變換，設 是V的一個對合變換，證明: (i) 的本征值只能是 ； (ii) V = V1 ，這里V1是 的屬于本征值1的本征子空間，V 是 的屬于本征值 1 的本征子空間提示：設 5數(shù)域F上一個n 階矩陣A叫做一個冪等矩陣，如果 ,設A是一個冪等矩陣.證明： (i)I + A 可逆，并且求 (ii)秩A + 秩 提示：利用7.4，習題3 (ii) 6數(shù)域F上n維向量空間V的一個線性變換 叫做冪零的，如果存在一個自然數(shù)m使 m = 0.證明： (i) 是冪零變換當且僅當它的特征多項式的根都是零

46、； (ii) 如果一個冪零變換 可以對角化，那么 一定是零變換 7設V是復數(shù)域上一個n維向量空間，S是V的某些線性變換所成的集合，而 是V的一個線性變換，并且 與S中每一線性變換可交換，證明，如果S不可約 (參看7.4，習題5)，那么 一定是一個位似 提示：令 是 的一個本征值，考慮 的屬于 的本征子空間，并且利用7.4，習題5的結果 8設 是數(shù)域F上n維向量空間V的一個可以對角化的線性變換，令 是 的全部本征值證明，存在V的線性變換 ，使得 (i) ； (ii) (iii) (iv) (v) 的屬于本征值 的本征子空間， 9令V是復數(shù)域C上一個n維向量空間， ， 是V的線性變換，且 (i)

47、證明， 的每一本征子空間都在 之下不變； (ii) 與 在V中有一公共本征向量第八章 歐氏空間和酉空間 §8.1向量的內積 1證明:在一個歐氏空間里,對于任意向量 ,以下等式成立: (1) ； (2) 在解析幾何里,等式(1)的幾何意義是什么? 2在區(qū)氏空間 里,求向量 與每一向量 , 的夾角. 3在歐氏空間 里找出兩個單位向量,使它們同時與向量 中每一個正交. 4利用內積的性質證明,一個三角形如果有一邊是它的外接圓的直徑,那么這個三角形一定是直角三角形 5設 是一個歐氏空間里彼此正交的向量.證明: (勾股定理) 6設 都是一個歐氏空間的向量,且 是 的線性組合.證明,如果 與 正交

48、, ,那么 . 7設 是歐氏空間的 個向量.行列式 叫做 的格拉姆(Gram)行列式.證明 =0,必要且只要 線性相關. 8設 是歐氏空間兩個線性無關的向量,滿足以下條件: 和 都是 的整數(shù). 證明: 的夾角只可能是 . 9.證明:對于任意實數(shù) , ). §8.2 正交基1已知 ,，, 是 的一個基.對這個基施行正交化方法,求出 的一個規(guī)范正交基 2在歐氏空間 里,對于線性無關的向量級1, , , 施行正交化方法,求出一個規(guī)范正交組 3令 是歐氏空間V的一組線性無關的向量, 是由這組向量通過正交化方法所得的正交組.證明,這兩個向量組的格拉姆行列式相等,即 4令 是 維歐氏空間V的一個

49、規(guī)范正交基,又令 K叫做一個 -方體.如果每一 都等于0或1, 就叫做K的一個項點.K的頂點間一切可能的距離是多少? 5設 是歐氏空間V的一個規(guī)范正交組.證明,對于任意 ,以下等式成立: . 6設V是一個 維歐氏空間.證明 如果W是V的一個子空間,那么 . 如果 都是V的子空間,且 ,那么 如果 都是V的子空間,那么 7證明, 中向量 到平面 的最短距離等于 8證明,實系數(shù)線性方程組 有解的充分且必要條件是向量 與齊次線性方程組 的解空間正交. 9令 是 維歐氏空間V的一個非零向量令 稱為垂直于 的超平面,它是V的一個 維子空間.V中有兩個向量 , 說是位于 的同側,如果 同時為正或同時為負.

50、證明,V中一組位于超平面 同側,且兩兩夾角都 的非零向量一定線性無關 提示:設 是滿足題設條件的一組向量.則 ,并且不妨設 .如果 ,那么適當編號,可設 , ,令 ,證明 .由此推出 . 10設U是一個正交矩陣.證明: U的行列式等于1或-1; U的特征根的模等于1; 如果 是U的一個特征根,那么 也是U的一個特征根; U的伴隨矩陣 也是正交矩陣. 11.設 ,且 . 證明, 可逆,并且 12.證明:如果一個上三角形矩陣 是正交矩陣,那么A一定是對角形矩陣,且主對角線上元素 是1或-1. §8.3正交變換1證明: 維歐氏空間的兩個正交變換的乘積是一個正交變換;一個正交變換的逆變換還是

51、一個正交變換. 2設 是 維歐氏空間V的一個正交變換.證明:如果V的一個子空間W在 之下不變,那么W的正交補 也在 下不變. 3設V是一個歐氏空間, 是一個非零向量.對于 ,規(guī)定 . 證明, 是V的一個正交變換,且 , 是單位變換. 線性變換 叫做由向量 所決定的一個鏡面反射.當V是一個 維歐氏空間時,證明,存在V的一個標準正交基,使得 關于這個基的矩陣有形狀: 在三維歐氏空間里說明線性變換 的幾何意義. 4設 是歐氏空間V到自身的一個映射,對 有 證明 是V的一個線性變換,因而是一個正交變換. 5設U是一個三階正交矩陣,且 .證明: U有一個特征根等于1; U的特征多項式有形狀 ，這里 . 6設 和 是 維歐氏空間V的兩個規(guī)范正交基. 證明:存在V的一個正交變換 ,使 . 如果V的一個正交變換 使得 ,那么 所生成的子空間與由 所生成的子空間重合. 7令V是一個 維歐氏空間.證