動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律

1、第三章動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律3-1一架以 3.0102 ms1 的速率水平飛行的飛機(jī)，與一只身長為0.20m、質(zhì)量為0.50kg的飛鳥相碰。 設(shè)碰撞后飛鳥的尸體與飛機(jī)具有同樣的速度，而原來飛鳥對于地面的速率很小，可以忽略不計(jì)。 估計(jì)飛鳥對飛機(jī)的沖擊力， 根據(jù)本題的計(jì)算結(jié)果，你對高速運(yùn)動(dòng)的物體與通常情況下不足以引起危害的物體相碰后產(chǎn)生后果的問題有什么體會？解：以飛鳥為研究對象，其初速為0，末速為飛機(jī)的速度，由動(dòng)量定理。F tmv0,tl聯(lián)立兩式可得：vFmv 22.25105 Nl飛鳥的平均沖力 F 'F2.25 105 N式中的負(fù)號表示飛機(jī)受到的沖擊力與飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度方向相反。從計(jì)

2、算結(jié)果可知 F 'F2.25 105 N 大于鳥所受重力的4.5 萬倍?？梢?，沖擊力是相當(dāng)大的。 因此告訴運(yùn)動(dòng)的物體與通常情況下不足以引起危險(xiǎn)的物體相碰，可能造成嚴(yán)重的后果。3-2 質(zhì)量為 m 的物體， 由水平面上點(diǎn) O 以初速為 v0 拋出， v0與水平面成仰角。若不計(jì)空氣阻力。求： （ 1）物體從發(fā)射點(diǎn) O 到最高點(diǎn)的過程中，重力的沖量；（ 2）物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中，重力的沖量。解：（ 1）在垂直方向上，物體m 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)量的變化量是：P10mvsin而重力的沖擊力等于物體在垂直方向的動(dòng)量變化量：I 1P10mvsinmv0 sin（ 2）同理，物體從發(fā)射點(diǎn)

3、到落回至同一水平面的過程中，重力的沖力等于物體豎直方向上的動(dòng)量變化量I 2P2mv2 mv1mvsinmvsin2mvsin負(fù)號表示沖量的方向向下。3-3高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的。假如一質(zhì)量為51.0kg 的人，在操作時(shí)不慎從高空跌落下來，由于安全帶保護(hù)，最終使他懸掛起來。已知此時(shí)人離原處的距離為2.0m ，安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為0.50s。求安全帶對人的平均沖力。解：在人下落的整個(gè)過程中，重力的沖量和安全帶沖量相等，但方向相反。 設(shè)人自由落體的那段時(shí)間為tt2hg則 I mgI Fmv2mv10mg(t _ 0.5)F0.50，代入 h2.0m, g9.8ms 2 , m51.0kg

4、Fmg(t0.50) / 0.501.14103 N3-4 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)作圓錐擺運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的速率為v，圓半徑為 R。圓錐母線與軸線之間的夾角為，計(jì)算拉力在一周內(nèi)的沖量。解：建立圖 3-4 所示的三維直角坐標(biāo)系z根據(jù)功能原理，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周內(nèi)，合力的沖量為kI rI TI pmv0所以拉力在一周內(nèi)的沖量為ijyx2 R圖 3-4I TI p( mg T K ) mgKvT 為拉力， P 為重力。3-5一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊，最高點(diǎn)距離地面19.6m 爆炸 1.00s 后，第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上，此處距拋出點(diǎn)的水平距離為1.00× 102m。問第二塊

5、落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上。（不計(jì)空氣阻力）解：建立如圖3-5 所示的坐標(biāo)系， 爆炸后， 兩碎片落地后， 拋出點(diǎn)的距離分別為x1 , x2 ，爆炸前物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t 02hg物體在最高點(diǎn)只有水平速度： V0x1t 0爆炸后，第一塊的速度為V1 ，經(jīng)時(shí)間 t1 落地，則： h V1t11gt122爆炸前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒，其分量式為x 方向： mV01 V2x2y 方向：01 mV2 y1 mV122爆炸后，第二塊作斜拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t 2 落地，則：x2x1V2 xt 2y2h V2 yt 21 gt 222落地時(shí)， y20聯(lián)立所有式子，得： x2500m3-6 A、 B 兩船在平靜的湖面上平行

6、逆向航行，當(dāng)兩船擦肩相遇時(shí)，兩船各自向?qū)Ψ狡椒€(wěn)的傳遞 50kg 的重物，結(jié)果是A 船停下來，而 B 船以 3.4m/s 的速度繼續(xù)向前駛?cè)?。A 、 B兩船原有質(zhì)量為0.5 103 kg和1.0103 kg ，求在傳遞重物前兩船的速度。（忽略水對船的阻力）。解：由于忽略水對船的阻力，滿足水平方向動(dòng)量守恒定律。設(shè)兩船的速度分別為VA0 、VB 0 ，末速度為 VAt 、 VBt 原來的質(zhì)量分別為M A 、 M B 轉(zhuǎn)移的質(zhì)量為 m對上述系統(tǒng) I 應(yīng)用動(dòng)量守恒定律： （搬出重物后 A 船與從 B 船搬入的重物為一個(gè)系統(tǒng)）(M Am)VA0 mVB 0M AVAt對系統(tǒng) II 應(yīng)用動(dòng)量守恒定律： （B

7、 船與從 A 船搬入的重物為一個(gè)系統(tǒng)）(M Bm)VB0 mVA0M BVBt由上面兩式聯(lián)立解出：VA0M B mVBt( M B m)(M Am)m2VB0( M A m)M BVBtm2( M A m)(M Bm)將已知數(shù)據(jù)代入得VVA 00.40m s 1 ( 負(fù)號表示與B船的速度方向相反 )B 03.6m s 13-7 質(zhì)量為 m' 的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為m 的物體，此人用與水平面成角的速率 v0 向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體相對于人為u 的水平速度向后拋出。問：由于拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）解：把人與物可視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高處，向左拋

8、出的過程中，滿足動(dòng)量守恒定律，有(mm' )v0 cosm' vm(v u)vmuv0 cosmm'人從最高點(diǎn)開始水平運(yùn)動(dòng)的距離為S1(v0 cosmu)v0 singm'm如果不拋物人從最高點(diǎn)開始水平運(yùn)動(dòng)的距離為S2v0v0 sincosg人跳躍后增加的距離為SS1mv0sinS2u( m'm)g3-8 一質(zhì)量均勻柔軟的繩豎直的懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落過程中的任意時(shí)刻，作用于桌面上的壓力等于已落到桌面下繩的重量的三倍。證：以繩子上端初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y 軸正向， 繩子的線密度為

9、，設(shè)在t 時(shí)間內(nèi)落到桌面上的繩子長度為y，這段繩子所受的重力為Gmgyg，對于 t tdt內(nèi)下落繩子長設(shè)為dy ，桌面對繩子的沖力為F由動(dòng)量定理FdPVdmVdyV 2dtdtdt桌面在tdt 時(shí)間內(nèi)所受的合力為FGFgyV 2由自由落體運(yùn)動(dòng)V 22gy ，帶入上式：F3 yg3G證畢。3-9設(shè)在地球表面附近，一初質(zhì)量為5.00105 kg 的火箭，從尾部噴出氣體的速率為2.00103 m s1 。（ 1 ）試問：每秒噴出多少氣體，才能使火箭最初向上的加速度為4.9010m s2；（ 2）若火箭的質(zhì)量比為6.00，求該火箭的最后速率？解：以繩子上段初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y 軸的正向，繩

10、子的線密度為，設(shè)在 t 時(shí)間內(nèi)落到桌子上的繩子的長度為y，這段繩子所受的重力為G=mg= yg，對于 tt+dt內(nèi)下落的繩子長設(shè)為dy，桌面對繩子的沖擊力為F由動(dòng)量守定律Fdpv dmvdyv2dtdtdt桌面在t+dt時(shí)間內(nèi)所受的合力為FGFgyv2自由落體運(yùn)動(dòng)v22gy ，代入上式得：F3 gy3G證畢。3-10 設(shè)在地球表面附近，一初質(zhì)量為5.00 105 kg 的火箭，從尾部噴出的氣體的速率為 2.00103 ms 1 。試問：（ 1）每秒需噴出多少氣體，才能使火箭最初向上的加速度大小為4.90ms 2 ；（ 2）若火箭的質(zhì)量比為6.00，求該火箭的最后速率。解：（ 1）設(shè)火箭受氣體的

11、沖擊力為F，則 Fdmv0dt再由牛頓第二定律得：v0dmmgma(1)dt現(xiàn)在考慮 m05.00105 kg, a04.9ms 2 , v0 2.00103 ms 1 。則燃料噴出率為：dmm0 (ga0 )3.68103 kg s 1dtv0（ 1）將 adv代入（ 1）式，分離變量并積分可得：dtvdvv0mdmt(2)mgdtv0 'm00所以 vv0'mv0 lngtm0m0dmt5m0m1dt1解得： t(3)由于即m06m06dm6dt將（ 3）式代入（ 2）式并考慮初始條件可得火箭的最后速率為：vtv0 ln mgt2.47103 ms 1m03-11 一火箭垂

12、直向上發(fā)射，它的氣體質(zhì)量排出率恒為 5.00 10 2 m s 1 ，其中 m0 是火箭最初的質(zhì)量。火箭排除的氣體相對于火箭的速率為5.0010 3 ms 1。求發(fā)射后火箭速率和高度。（重力略去不計(jì)）解：以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)建立垂直向上的坐標(biāo)軸oy ，設(shè) t 時(shí)刻火箭（含未排除氣體）的質(zhì)量為 m ，速率為 v ，經(jīng) dt 時(shí)間排出氣體質(zhì)量為dm ，火箭速率變?yōu)関dv ，排出氣體的速率為u(vdv) ，由于忽略重力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，所以有：mV( mdv( vdv)dm(u vtdv)整理得： dvu dmm（ 2）當(dāng)上式積分并考慮v00時(shí)， m m0所以： Vm0u lnm設(shè) mm0kt （其中 k

13、5.0010 2 m s1）代入（ 1）式得vm0u lnktm0故 t10s 時(shí)， V3.47103 ms 1將 Vdydym0代入（ 2）式得u lnktdtdtm0分 離 變 量 積 分 ， 并 代 入 初 始 條 件 t0 時(shí) ， y0 得 火 箭 發(fā) 射 10s 后 的 高 度10m0yu lndt1.53104 m0 m0 kt3-12有 N鐵路上有一靜止的平板車，其質(zhì)量為m' ，設(shè)平板車可無摩擦的在水平軌道上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)個(gè)人從平板車的后端跳下，每個(gè)人的質(zhì)量均為m ，相對平板車的速度均為u 問：在下列兩種情況下， （ 1） N 個(gè)人同時(shí)跳離； （ 2）一個(gè)人，一個(gè)人的跳離，平板

14、車的末速度是多少？所得的結(jié)果為何不同，其物理原因是什么？解：（ 1）所有人同時(shí)跳，水平方向動(dòng)量守恒。車的末速度為V ，人的速度為 V u所以 0m'VNm(Vu)VNmm'uNm（ 2）若 N 個(gè)人一個(gè)一個(gè)跳，則每個(gè)人跳車的動(dòng)量守恒方程為：第一人跳： 0m(V1 u)m' ( N 1)m V1;V1muNmm'第二個(gè)人跳：m' ( N1)m V1m(V2u)m' ( N 2)m V2 ;V2V1mum' (N1)以此類推： VNVN 1mum' m將以上各式兩邊相加，化簡后得平板車的末速度為;NmVNun 1m' nm由于

15、 m' nmm'Nm所以 VNV即一個(gè)一個(gè)跳，車的末速度大于N 個(gè)人同時(shí)跳車的末速度。其物理原因是N 個(gè)人逐跳時(shí)，車的速度逐次增大， 導(dǎo)致跳車者對平板車所做的功也逐次增大，因而平板車獲得的動(dòng)能要大于 N 個(gè)人跳的情況。3-13 如習(xí)題 3-13圖所示，一繩索跨過無摩擦的滑輪，系在質(zhì)量為1.00kg 的物體上，起初物體靜止在無摩擦的水平平面上，若用5.00 N 的恒力作用在繩索的另一端，使物體向右作加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)系在物體上的繩索從與水平面成30 角變?yōu)?37 角時(shí)，力對物體所做的功為多少？已知滑輪與水平面之間的距離d1.00m 。5N 1mF5N d30°30°

16、37°Oxx(a)(b)圖 3-13解：以物體的初始位置為原點(diǎn)，建立如圖1-13（b）所示的坐標(biāo)系，當(dāng)移動(dòng)很小距離dx 時(shí)，F(xiàn) 對物體所做的功為：dWF cos dx(1)由于xdc tan 30dc tan，所以dxd d (c tan) dd將dx關(guān)系代入（ ）sin 21式可得：WdF cosdF2d(sin)dsin 2sin 21所以 WFd1371.67J30sin3-14一物體在介質(zhì)中按規(guī)律x ct 3 作直線運(yùn)動(dòng)， c 為一常數(shù)。 設(shè)介質(zhì)對物體的阻力正比于速度的平方。試求物體由x00 運(yùn)動(dòng)到 xl 時(shí)，阻力所做的功。 （已知阻力系數(shù)為k）解：根據(jù)題意設(shè)物體所受的阻力F

17、kV 2由速度的定義可得：Vdx3ct 2dt24所以： FkV 29kc 2t 4F9kc 3 x 3由功的定義得阻力所做的功為：WFdxF dx24279kc 3 x 3 dx27 kc 3 l 3lllo0073-15 一人從 10.0m深的井中提水， 起始桶中裝有 10.0kg 的水，由于桶漏水， 每升高 1.00m要漏去 0.20kg 的水，水桶被勻速地從井中提到井口，求人所做的功。解：以桶在井中的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立豎直向上的坐標(biāo)軸oy 則水桶在上升的過程中的重力 P=mg-ky ；式中 k=0.2g （kg/m ），因桶始終保持勻速上升，故拉力F與重力 P是平衡力，即 F=m

18、g-ky ，方向沿 oy 軸正向，拉力的功為：WHdyHky )dy mgy1ky 2 0HF(mg002將 m10.0kg, H10.0m, k0.2 g(kg / m) 代入上式可得：W88J3-16一質(zhì)量為 0.20kg 的球，系在長為2.00m的細(xì)繩子上，細(xì)繩的另一端系在天花板上。把小球移至使細(xì)繩與豎直方向成30°角的位置，然后從靜止放開。求（ 1）在繩子由 30°角的位置到0°的位置的過程中， 重力和張力所做的功； （ 2）物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率；（3）在最低位置時(shí)的張力。解：（ 1）由于張力方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以張力 FT 做功為0，即 W

19、TFT ds 0 。設(shè) 0 度角時(shí)小球的勢能為 0， 30°角時(shí)勢能為 EP mgl(1cos30 )由于勢能的變化等于重力所做的功可知：WmgEPE0 mgl(1cos30 )0.53J（ 2）由于勢能完全轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。所以小球在最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能EkE P0.53J此時(shí)的速率為： v2Ek2.30ms 1m（ 3）小球在最低位置時(shí)，由于力和加速度的方向在一條直線上則FTmgm v2lFTmgmv22.49Nl3-17最初處于靜止的質(zhì)點(diǎn)受到外力的作用，該力的沖量為4.00N·s，在同一時(shí)間間隔內(nèi)，該力所做的功為2.00J，問該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為多少？解：考慮到質(zhì)點(diǎn)的初動(dòng)量和動(dòng)能為0，

20、由動(dòng)量定律可得I( mv)mv(1)由動(dòng)能定律可得：WEk1 mv 2(2)2由（ 1）（ 2）兩式可得質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mI 24.00kg2W3-18設(shè)兩個(gè)粒子之間的相互作用是排斥力，并隨它們之間的距離r 按 Fk r 3 的規(guī)律變化，其中 k 為常數(shù)。試求兩粒子相距為r 時(shí)的勢能。（設(shè)力為零的地方勢能為零）解：由 Fk可知，當(dāng) r時(shí)， F0, E0r3設(shè)想一個(gè)粒子靜止不動(dòng)，并以其位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。將另一個(gè)粒子從無窮遠(yuǎn)處移到r 處，排斥力所做的負(fù)功的絕對值即為勢能的增量，亦即：EPErEW(1)而 Wrrkk(2)Fdr3 dr2r2r因?yàn)?E0所以兩粒子相距r 時(shí)的勢能為：Erk2r 23-19

21、如果一物體從高為h0 處靜止下落。試以（1）時(shí)間 t 為自變量；（ 2） h 為自變量，畫出它的動(dòng)能和勢能圖線，并證明兩曲線中動(dòng)能和勢能之和相等。解：（ 1）由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：vtgt1mg 2t 2Ek12Ek2mv2hh01gt 2mgh012t22E P2mgE pmgh由上面兩式可畫出動(dòng)能和勢能曲線如下圖3-19（a）所示。（ 2）任意時(shí)刻動(dòng)能和勢能總和為：EEkEPmgh0Ek1 mv2mg(h0h), EP mgh 于是可畫出動(dòng)能和勢能關(guān)于h 的曲線圖如圖3-192（b）所示，從圖可直接看出動(dòng)能和勢能之和保持不變。EEmgh0mgh0EPEPEkOtOEkhh0（ a）（ b）

22、圖 3-193-20 一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，系在繩子的一端，繩子的另一端固定在平面上。此質(zhì)點(diǎn)粗糙的水平面上作半徑為r 的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速度為v0 。當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，其速率為v0 / 2 。求（ 1）摩擦力做功； （ 2）動(dòng)摩擦因數(shù)； （ 3）在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？解：（ 1）物體做圓周運(yùn)動(dòng)。水平方向上受到兩個(gè)力的作用。即拉力和摩擦力，拉力的方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不做功，由功能原理：WEk 及 WWf 得摩擦力做功為：W f1 m( 1 mv0 )21 mv023 mv02(1)2228（ 2） WfF f2 rmg 2 r(2)由（ 1）（ 2）兩式可得動(dòng)摩擦系數(shù)為：3v0216

23、 rg（ 3）設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)N 圈后靜止由動(dòng)能定理可得：mg 2 rn1 mv02 代入可得運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為： n4圈。233-21 如習(xí)題 3-21圖所示，A 和 B 兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質(zhì)量分別為m1 和m2 。問在 A 板上需要加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使A 在跳起來時(shí)B 稍被提起。（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k）解：取彈簧壓縮到最低點(diǎn)時(shí)為重力勢能和彈性勢能的零點(diǎn)，且又彈簧自由伸長時(shí)的高度為坐標(biāo)原點(diǎn)， 豎直方向?yàn)閥 軸的正向。 y0點(diǎn)放 A 物體的平衡位置，再加 F 后下降 y1 ，放手后，彈簧彈起超過原長點(diǎn)O 的高度為 y，故 m2 被提起所用的彈力f 2 要大于 m2g。設(shè)壓

24、縮最低點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：1 k ( y0y1 ) 2m1 g( y1y0y)1 ky 222由牛頓第二定律得：Fm1 gf0由彈力公式可得：f 1k( y0y1 )放手后， m2 受到向上的彈力f 2kym2 g由式可得：F(m1m2 ) g ，由題意可知恰恰能被提起，即：F(m1m2 ) g 。3-22如習(xí)題 3-22圖所示，有一自動(dòng)卸貨礦車， 滿載時(shí)的質(zhì)量為m' ，從與水平成30斜面上的 A點(diǎn)靜止下滑。設(shè)斜面對車的阻力為車重的0.25 倍，礦車下滑距離 l 時(shí)，與緩沖彈簧一道沿著斜面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)V車使彈簧產(chǎn)生最大的壓縮形變時(shí)，礦車自動(dòng)卸貨， 然后借助彈簧的彈力作用，

25、使之返回原位置 A 再裝貨。使問要完成這一過程，空載時(shí)與滿載時(shí)的質(zhì)量之比應(yīng)為多大？解：設(shè)空載時(shí)車的質(zhì)量為m，則摩擦力所做的功等于系統(tǒng)勢能的減小量，則0.25m' g (lx)0.25mg(lx)(m' m) g(1x) sin30整理后得0.25m'0.75mm1m'33-23 用鐵錘把釘子敲入墻面木板。設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比。若第一次敲擊，能把釘子釘入木板1.0010 2 m。第二次敲擊時(shí)，保持第一次敲擊釘子的速度，那么第二次能把釘子釘入多深？解：設(shè)阻力為F fkx ，則由功的定義可得W1x0F fdxx0第一次阻力作功：0kxdx0W2

26、x0xF fdxx0x第二次阻力作功：00kxdx由功能原理： W1E1Ek1 ,W2E2Ek2根據(jù)題意可知， W1W2聯(lián)立可得：x(21)10 2 m0.41 10 2 m3-24 一質(zhì)量為 m的地球衛(wèi)星，沿著半徑為 3RE的圓規(guī)道運(yùn)動(dòng)， RE為地球半徑。已知地球的質(zhì)量為 mE。求（ 1）衛(wèi)星的動(dòng)能； （ 2）衛(wèi)星的引力勢能； （3）衛(wèi)星的機(jī)械能。解：（ 1）衛(wèi)星受到地球的引力剛好提供向心力，即GM E mV 2m(3RE ) 23RE所以衛(wèi)星的動(dòng)能為：Ek1 mV 2G mE m26RE整理還有結(jié)果： V 2GmE3RE（ 2）由于 r時(shí)， E p0由系統(tǒng)勢能的定義可知3REmE mmE

27、mEP( G 2) drG0r3RE（ 3）衛(wèi)星的機(jī)械能為：mE mEEkEPG6RE3-25 如圖 3-25 所示，天文觀測臺有一半徑為R 的半球形屋面，有一冰塊從光滑面的最高點(diǎn)由靜止沿著屋面下滑，若摩擦力忽略不計(jì)。 求此冰塊離開屋面的位置及在該位置的速度。解：設(shè)在如圖位置為冰塊的脫離點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律可得：mgR1mV 2mgR sin2V 2由向心力公式：F向mR力的合成與分解可得：mgsin- FNm V 2R當(dāng)冰塊脫離屋面時(shí)有：FN 0聯(lián)立式可解到：sin22,arcsin41.833此時(shí)，速度為： VgR sin2Rg， V 的方向是沿切向方向的。33-26 如 圖 3-26 所

28、 示 ， 把 質(zhì) 量 m0.20kg 的 小 球 放 在 位 置 A時(shí)，彈簧被壓縮2l 7.5 10 m 。然后在彈簧彈性力的作用下， 小球從位置 A 由靜止被釋放， 小球沿著軌道 ABCD 運(yùn)動(dòng)。小球與軌道間的摩擦力忽略不計(jì)。已知，BCD 是半徑為 r0.15m 的半圓弧， AB 相距為 2r，求彈簧勁度系數(shù)的最小值。解：選擇小球、彈簧、軌道和地球?yàn)橄到y(tǒng)。在此系統(tǒng)內(nèi)只受重力和彈簧的彈力作功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，取 A 點(diǎn)為重力勢能零點(diǎn)，彈簧自由伸長為彈簧的勢能零點(diǎn)。1 k ( l ) 2mg 3r1 mvc222設(shè)想在 C 點(diǎn)處于臨界狀態(tài) N 0由可知，mvc2mgr聯(lián)立可得k7mgr366N

29、m 1( l ) 23-27如圖所示，質(zhì)量為m、速度為 v 的鋼球，射向質(zhì)量為m' 的靶子，靶子中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k 的彈簧，此靶子最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面做無摩擦的滑動(dòng)。求子彈射入靶子內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：選擇鋼球與靶子組成的系統(tǒng)初狀態(tài)：鋼球與靶子碰撞前的速度V末狀態(tài)：鋼球與靶子有共同的速度Vt （此時(shí)彈簧的壓縮兩剛好達(dá)到最大）由動(dòng)量守恒定律mV( mm' )Vt由機(jī)械能守恒定律1 mV 21 (m m' )Vt 21 k( x) 2222聯(lián)立上面兩式可得xVmm'k(mm')3-28一質(zhì)量為 m 的彈丸，穿過如圖所示擺錘后

30、，速度由v 減少到 v 2 。已知擺錘的質(zhì)量為 m' ，擺線的長度為 l ，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸的速度最小值應(yīng)為多少？解：彈丸和沙擺在最低點(diǎn)相互作用時(shí)滿足機(jī)械能守恒定律mvm vm' v'2沙擺在最高點(diǎn)時(shí)有F向m' gFT取臨界條件 FT0（取 V '、 V ' ' 分別為彈丸穿后沙擺在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的速率）沙擺在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的機(jī)械能守恒，即：1 m'V ' 22m' gl1 m'V ' '222聯(lián)立式可得Vmin2m'5glm3-29 一個(gè)電子和原來

31、靜止的氫原子發(fā)生對心彈性碰撞。試問電子的動(dòng)能中傳遞給氫原子的能量百分?jǐn)?shù)。 （已知?dú)湓拥馁|(zhì)量約為電子質(zhì)量的1840 倍）解：設(shè)電子的質(zhì)量m，初速度為 V0末速度為 v ，初動(dòng)能為 Ee氫原子的質(zhì)量為 M 。初速為0，末速度為 V ' ，獲得的能量為 EH由動(dòng)量守恒定律得mV0mvMV '由機(jī)械能守恒定律有1 mV021 mv 21MV'2222由兩式可解得V '2mVMm所以氫原子和電子的能量之比為EH1MV'2M( 2m )222.2 10 3 ，即 EHEe 0.22%Ee12mMm2mV03-30 質(zhì)量為 2.7 1023 kg ，速度為 1.61

32、0 7 ms 1 的粒子 A ，與另一個(gè)質(zhì)量為其一半的靜止的粒子 B 發(fā)生二維完全彈性碰撞，碰撞后A 的速率為 5.0 107 ms 1 。求（ 1）粒子 B的速率及相對粒子A 原來速度方向的偏角； （2）粒子 A 的偏轉(zhuǎn)角。解：（ 1）建立如圖坐標(biāo)系 Oxy 。其原點(diǎn)在碰撞點(diǎn)x 軸的正向與粒子A 的初速度 V A0 同方向。設(shè)碰撞后， A 、 B 粒子的速度分別為VA 、 VB 方向如圖所示。在 x 和 y 軸上分別寫出動(dòng)量守恒的分量式子mVA0mVA cos1 mVB cos(1)120 mVA sin(2)mVB sin2按照機(jī)械能守恒定律1 mVA 0 21 mVA21 1 mVB2（ 3）2222聯(lián)立（ 1）、（ 2）、（ 3）式得（1） VB2(VA20VA2 ) 4.69107 m s 1cos3VB，所以arccos3VB54 6'4VA04VA0（ 2） cosVA203VA2VA20 3VA24VA 0VA，所以arccos22 20'4VA0VA3-31 有兩個(gè)帶電粒子，它們的質(zhì)量均為m，電荷均為 q。其中一個(gè)靜止