向量知識點題型歸納

1、專題-平面向量1.向向量的相關(guān)概念、2.向量的線性運算二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在后；2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如，等；3坐標表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標，叫做向量的坐標表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標相同。三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1e2。如（1）若，則_ （答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A

2、. B. C. D. （答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_ （答：）；（4）已知中，點在邊上，且，則的值是 （答：0）四實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：當0時，的方向與的方向相同，當0；當P點在線段 PP的延長線上時1；當P點在線段PP的延長線上時；若點P分有向線段所成的比為，則點P分有向線段所成的比為。如若點分所成的比為，則分所成的比為_（答：）3線段的定比分點公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，= 線段PP的中點公式。在使用定比分點的坐標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標。在具體計算時應根據(jù)題設(shè)條件

3、，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點P的坐標為_（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（答：或）十一平移公式：如果點按向量平移至，則=，；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，可別忘了?。∪纾?）按向量把平移到，則按向量把點平移到點_（答：（，）；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_ （答：）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2），特別地，當同向或有；當反向或有；當不共

4、線(這些和實數(shù)比較類似).在中，若，則其重心的坐標為。如若ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標為_（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；（4）向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_（答：直線AB）12、向量與三角形外心. 三角形外接圓的圓心,簡稱外心. 是三角形三邊中垂線的交點. （下左圖）重心 三角形三條中線的交點,叫做三角形的重心.掌握重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.（上右圖）三、垂心 三角形三條高的交點,稱為

5、三角形的垂心.（下左圖）四、內(nèi)心 三角形內(nèi)切圓的圓心,簡稱為內(nèi)心. 是三角形三內(nèi)角平分線的交點.三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例.（上右圖）題型一：共線定理應用例一：平面向量共線的充要條件是（ ）A.方向相 同 B. 兩向量中至少有一個為零向量 C.存在 D存在不全為零的實數(shù)變式一：對于非零向量，“”是“”的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設(shè)是兩個非零向量（ ）A.若則 B. 若，則 C. 若，則存在實數(shù)，使得 D若存在實數(shù)，使得，則例二：設(shè)兩個非零向量，不共線，（1）如果（2）如果

6、求實數(shù)k的值。變式一：設(shè)兩個不共線向量，若三點A,B,D共線，求實數(shù)k的值。變式二：已知向量，且則一定共線的三點是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D題型二：線段定比分點的向量形式在向量線性表示中的應用例一：設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，則（ ）A. B. C. D. 變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且,那么（ ）A. B. C. D. 變式二：在平行四邊形ABCD中，,M為BC的中點，則 ( 用表示)例二：在三角形ABC中，,若點D滿足,則( )A. B. C. D. 變式一：(高考題) 在三角形ABC中，點D在邊AB上，C

7、D平分角ACB,，,則( )A. B. C. D. 變式二：設(shè)D,E,F分別是三角形ABC的邊BC,CA,AB上的點，且則與( )A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若,其則=變式四：在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O,E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若則( )A. B. C. D. 題型三：三點共線定理及其應用例一：點P在AB上，求證：且=1（）變式：在三角形ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M和N,若則m+n=例二：在平行四邊形ABCD中

8、，E,F分別是BC,CD的中點，DE與AF交于點H,設(shè)則A. B. C. D. 變式：在三角形ABC中，點M是BC的中點，點N是邊AC上一點且AN=2NC,AM與BN相交于點P,若求的值。題型四： 向量與三角形四心一、 內(nèi)心例一：O是ABC所在平面內(nèi)一定點，動點P滿足，則點P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 變式一：已知非零向量與滿足，且，則ABC為（ ）A. 等邊三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形變式二：P為ABC的內(nèi)心二、重心例一：O是ABC內(nèi)一點，則為ABC的（ ）A.外心B.內(nèi)心C.重心 D.垂心 變式一：在AB

9、C中，G為平面上任意一點，證明：O為ABC的重心變式二：在ABC中，G為平面上任意一點，證明：O為ABC的重心三垂心：例一：求證：在ABC中， O為ABC的垂心變式一：O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則點P的軌跡一定通過ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 四外心例一：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，則變式一：已知點O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且，則O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、內(nèi)心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 內(nèi)心題型五：向量的坐標運算 例一：已知A(-2,4),B(3，-

10、1)，C(-3，-4)，且,試求點M,N和的坐標。變式一：已知平面向量其中t和k 為不同時為零的實數(shù)，（1）若，求此時k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2)若，求此時k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定3個向量，回答下列問題。（1）求；（2）求滿足的實數(shù)m,n;(3)若，求實數(shù)k；（4）設(shè)且，求。題型六：向量平行（共線）、垂直充要條件的坐標表示例一：已知兩個向量,當實數(shù)k取何值時，向量與平行？變式一：設(shè)向量a,b滿足|a|=，b=（2,1），且a與b反向，則a坐標為_例二：已知向量且A,B,C三點共線，則k=（ ）A: B: C: D:變式一：已知且a/b，則銳角為_變式

11、二：ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c 設(shè)向量若，則C的大小為（ ）A: B: C: D:題型七：平面向量的數(shù)量積例一：（1）在RtABC中，C=90，AC=4，則（ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16（2）(高)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_；的最大值為_（3）在ABC中，M是BC中點，AM=1，點P在AM上滿足，則等于（ ）A: B: C: D:變式一：(高) 如圖所示，平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=_變式二：在ABC中，AB=1，BC=，AC=，若O為ABC的重心，則的值為_例二：(高)在矩形ABCD中，A

12、B=,BC=2,點E為BC的中點，點F在邊CD上，若,則的值是 變式一：(高)在ABC中，,AC=2.設(shè)點P,Q滿足,若,則=（ ）A: B: C: D:2 例三：已知向量滿足則 變式一：在ABC中，若則 變式二：已知向量滿足則 變式三：已知向量滿足則 題型八：平面向量的夾角例一：已知向量則的夾角是例二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式一：已知向量滿足則的夾角是變式二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式三：若向量不共線，則的夾角是變式四：(高) 若向量滿足且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為.，則的夾角的取值范圍是例二：已知，的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍。變式一：設(shè)兩個向量，滿

13、足，的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍。變式二：已知均為單位向量，其夾角為，有下列4個命題：其中的真命題是（ ）A. B. C. D. 題型九：平面向量的模長例一：已知，向量的夾角為，求，。變式一：已知向量滿足，則= 變式二：已知向量滿足的夾角為，則= 變式三：在ABC中，已知求.例二：已知向量的夾角為，則= 變式一：(高) 已知向量的夾角為，且則= 變式二：設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，,=,則 變式三：已知向量，若則 例三：已知向量，滿足，且的取值范圍是 變式一：已知單位向量，且，的最大值為 變式二：(高)已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 動點，則的最小值為 題型十：平面向量在三角函數(shù)中的應用例一：在ABC中，A,B,C所對邊的長分別為a,b,c，已知向量，且滿足（1）求A的大小（2）求的值變式一：已知變量，函數(shù)（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間（3）如果ABC的三邊a,b,c滿足，且b邊所對的角為x，試求x的范圍和此時f(x)的值域變式二：已知向量（1）求證ab及|a+b|（2）定義f(x)=ab-2m|a+b|,若函數(shù)f(x)的最小值為