第10章曲線積分與曲面積分

1、第10章 曲線積分與曲面積分上一章已經(jīng)把積分概念從積分點集為數(shù)軸上的一個區(qū)間的情形推廣到積分點集為平面或空間內(nèi)一個閉區(qū)域的情形本章將把積分概念推廣到積分點集為一段曲線或一片曲面的情形，即曲線積分和曲面積分這種新型積分與我們前面遇到過的二重積分、三重積分之間的聯(lián)系在格林定理、高斯定理、斯托克斯定理中給出，這些定理有重要的理論意義和廣泛應用§1對弧長的曲線積分一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)定義1如果連續(xù)曲線上每一點處都有切線，當切點連續(xù)變動時，切線也連續(xù)轉(zhuǎn)動，就稱此曲線為光滑曲線實例求曲線弧的質(zhì)量設(shè)平面上有一條光滑曲線弧段，它的兩個端點為，上任一點處的線密度為連續(xù)函數(shù)，求此曲線弧的質(zhì)量

2、（見圖101）圖10-1解 用分點將曲線任意分為小段，其長度分別為現(xiàn)考慮小弧段的質(zhì)量在弧段上任取一點，曲線在處的密度為當很小時，因為線密度連續(xù)，就可以用點處的線密度代替這小弧段上其他各點處的線密度從而得到這小弧段的質(zhì)量的近似值為因此整個曲線的質(zhì)量的近似值為顯而易見，當分點越多，小弧段的長度越小時，近似值就越接近于曲線弧的質(zhì)量記，則曲線的質(zhì)量可精確地表達為：當時，上述和式的極限，即這種和式的極限在研究許多物理量或幾何量中也會遇到由此抽象出對弧長的曲線積分的概念定義2 設(shè)為平面上的一條光滑曲線，函數(shù)在上有界在上任取分點，將分成小段，每小段的長度為，在每小段上任取一點，作和式，當各小段弧的長度的最大

3、值時，上述和的極限存在，且不依賴于上分點和點的取法，則稱此極限值為函數(shù)在曲線上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分，記作，即其中稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段，稱為弧長微元（即弧微分）根據(jù)這個定義，當線密度在上連續(xù)時，上面所說的曲線質(zhì)量就等于對弧長的曲線積分，即定理1當在光滑曲線或分段光滑曲線弧上連續(xù)時，對弧長的曲線積分一定存在（即在曲線上可積）以后我們總假定是光滑的或分段光滑的，函數(shù)在上是連續(xù)的若是閉曲線，通常把函數(shù)在閉曲線上對弧長的曲線積分記作由對弧長的曲線積分的定義不難推出以下性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)為常數(shù)，則性質(zhì)2性質(zhì)3 將分成和，則性質(zhì)4，其中表示的長度性質(zhì)5 若，則特別地，有性質(zhì)6 在上若，則，其

4、中表示的長度性質(zhì)7當在光滑曲線弧上連續(xù)時，必有上某點，使得其中表示的長度二、對弧長的曲線積分的計算定理2 設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為其中，在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則曲線積分存在，且 （1）證 在上任取分點，它們對應于一列單調(diào)增加的參數(shù)值根據(jù)對弧長的曲線積分的定義，設(shè)點對應于參數(shù)值，即，這里因為，由積分中值定理，有，其中，于是由于極限存在且不依賴于的選擇，故可以把上式中的換成，從而因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以這個函數(shù)在上的定積分存在，因而曲線積分也存在，并且有證畢注公式（1）右端定積分的下限一定要小于上限這是因為在定義2中小弧段的長度總是正的，從而，所以定積分的下限一定要小于上限在學

5、習弧微分時，對不同的曲線表達形式給出了各種不同的弧微分公式對應地，對弧長的曲線積分也有不同形式的計算公式設(shè)下面的函數(shù)和曲線都滿足定理2的條件，則還有如下公式：設(shè)的方程為，則有設(shè)的方程為，則有設(shè)的極坐標方程為，則有設(shè)的參數(shù)方程為，則有此外，再補充下面兩個方面的結(jié)論：（1）對稱性 若積分弧段關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，則；換成關(guān)于是偶函數(shù)，則（其中為上的的那部分弧段）若關(guān)于直線對稱，則（2）物理應用 設(shè)曲線弧為面上的曲線，在點處線密度為，則曲線弧對軸、軸的的轉(zhuǎn)動慣量為，曲線弧的質(zhì)心坐標為，例1 求，其中是圓在第一象限內(nèi)的部分解 顯然可以由參數(shù)方程表示，由公式（1）例2計算，其中為由直線及拋物

6、線所圍成區(qū)域的整個邊界解可分成兩段光滑曲線弧和，其中和分別由和給出，所以例3 計算，其中為，為頂點的三角形的邊界解 因由三條線段連接而成，故 由于線段的表示式分別為，因此可得，從而例4 計算螺線對應于參數(shù)到的一段弧繞坐標原點旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量（假定螺線質(zhì)量分布均勻，線密度）解 轉(zhuǎn)動慣量，從而例5 求擺線的弧的重心其中曲線弧的線密度為（為常數(shù)）解 弧長的微分為，質(zhì)量為，于是，重心的坐標為，習題10-11. 計算下列對弧長的曲線積分（1），其中是拋物線上由原點到點之間的一段弧（2），其中是半圓周上由點到點之間的一段?。?），其中是點到點的直線段（4），其中為對數(shù)螺線在圓內(nèi)的部分（5），其中是圓周（6）

7、，其中是曲線（7），其中為圓周，直線以及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界（8），其中為曲線上相應于從0變到2的這段弧（9），其中為擺線的一拱（10），其中為折線，這里依次為點2. 求下列空間曲線的弧長（1）曲線上從點到點的一段弧（2）曲線（）3. 橢圓在點處的線密度為，求其質(zhì)量4. 計算半徑為，中心角為的均勻圓?。ǎ├@它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量和形心坐標5. 已知半圓形鐵絲，其線密度，求其質(zhì)心坐標6. 求均勻的?。ǎ┑闹匦牡淖鴺?#167;2對坐標的曲線積分一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)實例 求變力沿曲線做的功設(shè)一個質(zhì)點在面內(nèi)從點沿光滑曲線弧移動到點，移動時質(zhì)點受變力的作用，其中函數(shù)，在上連續(xù)

8、，求此過程中變力所做的功（見圖10-2）圖10-2分析如果是常力，且質(zhì)點是從沿直線移動到，則力所做的功為，而現(xiàn)在在每一點力都不一樣（大小和方向），且質(zhì)點移動路線是曲線，當然不能用上式計算這里只能應用已沿用過多次的劃分、近似、求和、取極限的方法解首先用分點將曲線任意分為個小弧段由于第個有向弧段很小，所以可將它近似地看作為向量，其中，又因為，在上連續(xù)，可以用上任一點處的力來近似這個小弧段各點的受力設(shè)變力沿有向小弧段所做的功為，則，這樣，令為各小段弧長度的最大值，則當時上述和的極限值便是變力沿著有向曲線弧所做的功，即由于這種和的極限不同于以前所學的，且在其他問題中會遇到，于是引入下面的定義定義1 設(shè)

9、為面內(nèi)從點到點的有向光滑曲線弧，函數(shù)，在上有界，用分點將曲線任意分成段有向小曲線弧記，在上任取一點，如果當各小弧段長度的最大值時，的極限總存在，且不依賴于上分點和點的取法，則稱此極限為在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作，即；類似地，如果時，的極限總存在，且不依賴于上分點和點的取法，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧上對坐標的曲線積分，記作，即，其中，稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段上面這兩個積分也稱為第二類曲線積分可以證明，當，在有向光滑曲線弧上連續(xù)時，對坐標的曲線積分及都存在以后我們總假定，在上連續(xù)上述定義可以類似推廣到積分弧段為空間有向曲線弧的情形：， 應用上經(jīng)常出現(xiàn)的是這種合并起來的形式，為簡便起

10、見，把上式寫成，也可寫成向量形式，其中為向量值函數(shù)，上式也稱為向量值函數(shù)在有向曲線弧段上的第二類曲線積分。例如，本節(jié)開始時討論過的功可以表達成，或由上述曲線積分的定義，可以推出對坐標的曲線積分的一些性質(zhì)，為方便起見，我們用向量形式表達，并假定其中的向量值函數(shù)在曲線上連續(xù)性質(zhì)1（線性性質(zhì)） 設(shè)為常數(shù)，則性質(zhì)2（關(guān)于積分弧段的可加性） 若有向曲線弧可分成兩段光滑的有向曲線弧和，則性質(zhì)3 （積分路徑的有向性） 設(shè)是有向光滑曲線弧，為與同路徑而反向的曲線弧，則性質(zhì)3表明，當積分弧段的方向改變時，對坐標的曲線積分要改變符號因此關(guān)于對坐標的曲線積分，我們必須注意積分弧段的方向二、對坐標的曲線積分的計算定理

11、1 設(shè)，在有向曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為當參數(shù)單調(diào)地由變到時，點從的起點沿運動到終點，、在以及為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則曲線積分存在，且 （1）證 在上取一列點，它們對應于一列單調(diào)增加的參數(shù)值根據(jù)對坐標的曲線積分的定義，有，設(shè)點對應于參數(shù)值，即，這里在與之間由于，應用微分中值定理，有，其中，在與之間，于是因為極限存在且不依賴于的選擇，故可以把上式中的換成，從而上式右端的和的極限就是定積分，由于函數(shù)連續(xù)，這個定積分是存在的，因此上式左端的曲線積分也存在，并且有同理可證把以上兩式相加，得，這里下限對應于的起點，上限對應于的終點證畢公式（1）表明，計算對坐標的曲線積分時，只要把

12、依次換成；積分下限對應于曲線的起點的參數(shù)值，積分上限對應于曲線的終點的參數(shù)值，不一定小于設(shè)下面的函數(shù)和曲線都滿足定理1的條件，則還有如下公式：如果平面上有向光滑曲線由直角坐標方程給出，起點對應的，終點對應的，則如果平面上有向光滑曲線由直角坐標方程給出，起點對應的，終點對應的，則如果空間中有向光滑曲線由參數(shù)方程給出，起點對應的，終點對應的，則例1 計算，其中為橢圓的上半部分（）自點到點的弧段解的參數(shù)方程是，參數(shù)由變到0故例2計算，其中為（1）從沿拋物線到的一段弧；（2）從沿拋物線到的一段弧解 （1）取為參數(shù)，起點對應，終點對應，：，化為定積分，有（2）取為參數(shù)，起點對應，終點對應，：，化為定積分

13、，有例3 計算，其中是圓周上由到的一段解例4 求，其中是由點到的直線段解 直線的方程是，化為參數(shù)方程得對應于起點及終點的參數(shù)值分別是及因此例5 計算，其中為連接點，的三角形，取逆時針方向解 封閉曲線是由三條線段構(gòu)成的，這三條線段的方程不同，因而由對坐標的曲線積分的性質(zhì)有，顯然的方程為，起點所對應的為1，終點所對應的為0，故；的方程為，起點所對應的為0，終點所對應的為，故；的方程為，起點所對應的為，終點所對應的為1，故因此例6設(shè)質(zhì)點受力作用，沿橢圓按逆時針方向，從到，求力對質(zhì)點所做的功，其中的大小與點到原點的距離成正比，的方向恒指向原點解，由已知有，其中是比例常數(shù)，于是所做的功為橢圓的參數(shù)方程為

14、，由于起點對應，終點對應，于是三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系由對弧長的曲線積分及對坐標的曲線積分的定義，可以看出對弧長的曲線積分與積分路徑的方向無關(guān)，而對坐標的曲線積分與積分路徑的方向是相關(guān)的；但它們的計算都是化為定積分來完成的，因而兩類線積分之間也是有聯(lián)系的下面我們以定積分作為橋梁，來尋求兩者之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑曲線弧由參數(shù)方程給出，的起點、終點分別對應參數(shù)和函數(shù)在以和為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)，于是由對坐標的曲線積分計算公式（1）有（2）而有向曲線弧的切向量為，它的方向余弦為，其中和為有向曲線弧上任意一點處的切線向量的方向角。由對弧長的曲線積分計算公式得 （3）因此由（2）、（

15、3）兩式得出，其中是有向光滑曲線上任意一點處切向量的方向余弦向量同樣，空間中的兩類曲線積分之間的關(guān)系為，上式表明第二類曲線積分可轉(zhuǎn)化為第一類曲線積分，其中是空間有向光滑曲線上任意一點處切向量的方向余弦向量若記，則有上式表明，向量值函數(shù)的第二類曲線積分等于數(shù)量值函數(shù)的第一類曲線積分例7 設(shè)為曲線上從點到點一段弧，將化成第一類曲線積分解 曲線的切向量為，沿方向的單位切向量為，故，例8 若在平面曲線上，并設(shè)曲線的長為，證明證 設(shè)，由兩類曲線積分的關(guān)系，習題10-21 計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中是拋物線從點到一段；（2），其中從沿擺線到點；（3），其中從點沿曲線到點；（4），其中是曲線上從

16、點到點的一段；（5），其中是上半橢圓上從點到點；（6），其中是拋物線從點到點一段；（7），其中為自點至點，再到點的折線段；（8），其中為螺旋線上由參數(shù)到的一段有向弧；（9），其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界，取逆時針方向；（10），其中為圓周，取逆時針方向2把化成第一類曲線積分，其中為：（1）沿拋物線從點到點；（2）沿上半圓周從點到點3把化成第一類曲線積分，其中為上從到一段4在橢圓上每一點都有作用力，大小等于從點到橢圓中心的距離，而方向朝著橢圓中心（1）試計算質(zhì)點沿橢圓位于第一象限中的弧從點移動到點時，力所做的功；（2）求點按正向走遍橢圓時，力所做的功§3格林公式及

17、其應用本節(jié)將介紹著名的格林公式，進而討論平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件及原函數(shù)的概念和求法格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與沿該區(qū)域邊界上的第二類曲線積分之間的關(guān)系一、格林公式在給出格林公式之前，先介紹一些有關(guān)平面區(qū)域的概念設(shè)是一平面區(qū)域，如果對于區(qū)域內(nèi)任意兩點，都可以用一條全部位于內(nèi)的曲線將它們連接起來，則稱為連通區(qū)域圖10-3若不是連通區(qū)域，則稱其為非連通區(qū)域設(shè)是一平面連通區(qū)域，如果內(nèi)任一條閉曲線所圍成的有界區(qū)域都屬于，則稱是單連通區(qū)域通俗地講，單連通區(qū)域就是沒有“洞”的連通區(qū)域若是連通區(qū)域但不是單連通區(qū)域，則稱其為復連通區(qū)域例如，平面上的圓形區(qū)域、上半平面都是單連通區(qū)域，圓環(huán)形區(qū)域、都是

18、復連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域的邊界曲線，我們規(guī)定的正向如下：當觀察者沿的這個方向行走時，在他近處的內(nèi)那一部分總在他的左邊例如，是邊界曲線及所圍成的復連通區(qū)域（見圖10-3），作為的正向邊界，的正向是逆時針方向，而的正向是順時針方向圖10-4定理1（格林公式）設(shè)閉區(qū)域是由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有， （1）其中是的取正向的邊界曲線證為證明本定理，我們分三步進行（1）先假設(shè)區(qū)域既是型又是型（見圖10-4），即可表示為因為連續(xù)，所以由二重積分的計算法有另一方面，由對坐標的曲線積分的性質(zhì)及計算法有因此 （2）又因為是型的，可表示為類似可證 （3）由于區(qū)域既是型又是型的，（2）、（3

19、）式同時成立，合并后即得公式（1）圖10-5（2）設(shè)是單連通區(qū)域，但平行于坐標軸的直線與區(qū)域的邊界線多于兩個交點，（如圖10-5）用輔助線將劃分為如圖所示的三個子區(qū)域，使每個子區(qū)域都既是型又是型的于是公式（1）在每個子區(qū)域都成立，即有,將上述三個等式相加，注意到在各子區(qū)域的公共邊界（即輔助線上）沿正反方向各積分一次，其值抵消，因而有（3）設(shè)是復連通區(qū)域，如圖10-6所示，圖10-6作輔助線，于是以為邊界的區(qū)域就是一個平面單連通區(qū)域由（2）的證明可知，而復連通區(qū)域的邊界正是區(qū)域的內(nèi)、外正向邊界之和，即因而格林公式仍成立證畢格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與的整個邊界曲線上的對坐標曲線積分之間的

20、關(guān)系從而利用格林公式我們可以將平面閉曲線上的曲線積分化為由圍成的閉區(qū)域上的二重積分來計算，但有時我們也可將二重積分化為其邊界曲線上的曲線積分來計算例如，若令，則有，上式左端是閉區(qū)域的面積的兩倍，因此我們又得到一個用曲線積分計算平面區(qū)域面積的公式，其中為區(qū)域的整個邊界，取正向例1 求橢圓所圍成的區(qū)域面積解 橢圓邊界的正向可表示為，其中表示參數(shù)從起點到終點的變化方向于是例2 求，其中為曲線與直線圍成區(qū)域的邊界，取順時針方向（如圖10-7）解令，于是圖10-7圖10-8例3 計算，其中為由點到點的半圓周解直接計算比較困難，由于較簡單，可考慮用格林公式為此添加直線段，使與形成封閉曲線，由格林公式得，其

21、中為所圍成的半圓域，如圖10-8在直線段上，于是所以注由此例可知，當被積函數(shù)表達式比較復雜，而比較簡單時，可考慮用格林公式來計算當曲線不封閉，可添一些輔助線，使之成為封閉曲線，再利用格林公式來計算，當然再添的輔助線上的曲線積分應該是易算的例4 計算，其中是由圓與圍成的在上半平面的環(huán)域的正向邊界（如圖10-9）圖10-9解在極坐標系中，由格林公式得例5計算，其中為任意一條分段光滑且不經(jīng)過原點的閉曲線，取正方向解 令，則當時有圖10-10記所圍成的閉區(qū)域為當時，由公式（1）得當時，由于在上不連續(xù)，所以不能使用格林公式為解決這個問題，取足夠小的正數(shù)，作完全位于內(nèi)的圓周且取順時針方向記由和所圍成的閉區(qū)

22、域為，則不包含原點（如圖10-10），與在內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)對復連通區(qū)域用格林公式，得于是圖10-11二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件在物理、力學中要研究所謂勢場，就是要研究場力所做的功與路徑無關(guān)的情形在什么條件下場力所做的功與路徑無關(guān)？這個問題在數(shù)學上就是要研究曲線積分與路徑無關(guān)的條件為了研究這個問題，先要明確什么叫做曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)是一個區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)如果對于內(nèi)任意指定的兩個點、以及內(nèi)從到的任意兩條曲線（圖10-11），等式恒成立，就稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)定理2若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則下列三個命題是等價的：（1）曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)；（2），

23、其中是全部包含在內(nèi)任一條光滑或分段光滑的閉曲線；（3）在內(nèi)每一點處都有證設(shè)是內(nèi)任一條正向閉曲線，在上任意指定兩個不同點，點把分成兩條曲線，使因為曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)，所以于是，（反證法）假設(shè)存在一點，使，不妨設(shè)因為在內(nèi)連續(xù)，所以在內(nèi)存在一個以為圓心，半徑為的圓形閉區(qū)域，使得在上恒有記為閉區(qū)域的正向邊界，于是由格林公式及二重積分的性質(zhì)得，這與沿閉曲線積分為零相矛盾，因此在內(nèi)有若，則對于內(nèi)任意指定的兩個點以及內(nèi)從點到點的任意兩條曲線，由于是一條正向閉曲線，所以根據(jù)格林公式有，從而，即于是證畢圖10-12例6計算，其中是圓上從點到點一段（如圖10-12）解 由于，故曲線積分與路徑無關(guān)，因此可以在從

24、經(jīng)到的有向折線段上計算所求積分，即也可以在從經(jīng)到的有向折線段上計算所求積分，即必須注意，定理2 中的區(qū)域必須是單連通區(qū)域，且函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)如果兩個條件之一不能滿足，那么就不能保證定理的結(jié)論成立例如在本節(jié)例5中我們看到，當所圍成的區(qū)域含有原點時，雖然除去原點外，恒有，但沿閉曲線積分，其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞函數(shù)以及連續(xù)性條件的點，這種點通常稱為奇點三、全微分準則我們知道，當二元函數(shù)有連續(xù)偏導數(shù)時，便有全微分反過來，設(shè)已給兩個連續(xù)的二元函數(shù)，是否存在使其全微分為 （4）要解決這個問題，需要解決下列兩個問題：（1）函數(shù)滿足什么條件，表達式（4）是全微分（2）怎樣求出，使它的微分為（4）式

25、在解決這個問題之前，我們首先引入全微分的原函數(shù)的概念定義1 若函數(shù)使，則稱是表達式的一個原函數(shù)顯然，全微分的原函數(shù)不止一個，因為（為常數(shù)）也是的原函數(shù)不難證明：全微分的任意兩個原函數(shù)之差是一個常數(shù)下面介紹原函數(shù)存在定理定理3設(shè)區(qū)域是一個單連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則是某個函數(shù)的全微分的充分必要條件是在內(nèi)恒成立證 先證必要性假設(shè)存在某個函數(shù)，使得，則，從而，由于在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，所以連續(xù)，從而，于是再證充分性由定理2，因為在內(nèi)恒成立，則在內(nèi)與積分路徑無關(guān)取的起點為定點，終點為動點，則是的函數(shù)，記為，即 （5）下面來證明這個函數(shù)的全微分就是由于都連續(xù)，所以只要證明，由偏導數(shù)的定義

26、有，而由式（5）有，由于曲線積分與路徑無關(guān)，從點到點的曲線積分弧段選為有向直線段：常數(shù)，按對坐標的曲線積分的計算公式，有，應用定積分中值定理得，于是（因為連續(xù)）同理可證證畢由上述定理知，如果在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足在內(nèi)恒成立，那么是某函數(shù)的全微分，由該定理的證明可知，這個函數(shù)可由曲線積分給出此積分與路徑無關(guān)，為計算簡便起見，可以選擇平行于坐標軸的直線段連成的折線或作為積分路徑（如圖10-13），當然假定這些折線完全位于內(nèi)若取積分路徑為，則 （6）圖10-13若取積分路徑為，則 （7）例7驗證在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求出它的一個原函數(shù)解 因為，且在整個平面內(nèi)恒成立，所以

27、在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分取，由公式（6）得所求函數(shù)為習題10-31 利用格林公式計算下列積分：（1），其中是圓周，逆時針方向；（2），其中為域的正向邊界線；（3），其中為橢圓的正向；（4），其中為圓周的正向；（5），其中是以點為頂點的三角形的正向邊界線2利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積（1）星形線；（2）橢圓；（3）圓3證明下列曲線積分在整個平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值：（1）；（2）；（3）4驗證下列在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求一個這樣的（1）；（2）；（3）；（4）5設(shè)函數(shù)在復連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)可微，且恒有，與是內(nèi)任何兩條同向閉曲線，且與各自所圍區(qū)域內(nèi)具有相同的不屬于

28、的點證明由此并計算，其中為正方形的正向邊界線6設(shè)位于點的質(zhì)點對質(zhì)點的引力大小為（為常數(shù)，為質(zhì)點與之間的距離），質(zhì)點沿曲線自運動到，求在此運動過程中質(zhì)點對質(zhì)點的引力所做的功§4對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)實例 求曲面的質(zhì)量設(shè)有曲面，在其上每點處的面密度為連續(xù)函數(shù)，求曲面的質(zhì)量我們用類似于曲線積分中求曲線質(zhì)量的方法來處理這個問題用曲線把曲面任意分割成小塊，其面積仍用表示在小塊曲面上任取一點（如圖10-14），在點處的密度為，當很小時，我們可以把它圖10-14近似地看作是質(zhì)量均勻分布密度等于的小塊曲面于是它的質(zhì)量可以近似地用來代替，即因此曲面的質(zhì)量為當分割得越細，近似值

29、就越接近于曲面的質(zhì)量用表示塊小曲面的直徑（曲面上任意兩點間距離的最大者）的最大值，則曲面的質(zhì)量可精確地表達為當時上述和式的極限，即考慮上式右端這類形式的極限問題，就引出對面積的曲面積分的概念定義1設(shè)曲面是光滑的，函數(shù)在上有界，把任意分成小塊（同時也代表第小塊曲面的面積），設(shè)是上任意取定的一點，作乘積，并求和，如果當各小塊曲面的直徑的最大值時，上述和式的極限存在，且不依賴于曲面的分法和點的取法，則稱此極限為函數(shù)在曲面上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記作，即，其中稱為被積函數(shù)，稱為積分曲面，稱為曲面面積微元可以證明，當在光滑曲面上連續(xù)時，對面積的曲面積分是存在的今后總假定在光滑曲面上連續(xù)根據(jù)上

30、述定義，當面密度函數(shù)在光滑曲面上連續(xù)時，曲面的質(zhì)量為；曲面的質(zhì)心坐標為，當是封閉曲面時，常將函數(shù)在曲面上的第一類曲面積分記作如果是分片光滑的（即由有限個光滑曲面所組成的曲面），我們規(guī)定函數(shù)在上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和例如，若光滑曲面可分成兩塊光滑曲面與（記作），則有 第一類曲面積分還有與重積分類似的其他性質(zhì)，這里不再詳述二、對面積的曲面積分的計算設(shè)光滑曲面由方程給出，其中是曲面在面上的投影，函數(shù)在上具有連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù)在上連續(xù)將曲面任意分成小塊（它的面積也記作），在面的投影區(qū)域為（它的面積也記作），由于很小，因此可用曲面面積微元來近似代替，即 根據(jù)第一

31、類曲面積分的定義，有 （1）由上式可以看出，計算時，如果積分曲面由方程給出，則只要將中的換成，曲面的面積微元換成其表達式，并確定在坐標面上的投影區(qū)域，這樣就將對面積的曲面積分化為二重積分類似地，如果光滑曲面由方程，則，其中表示曲面在面上的投影如果光滑曲面由方程，則圖10-15其中表示曲面在面上的投影特別地，當時，則表示曲面的面積例1 計算，其中為平面在第一卦象內(nèi)的部分（圖10-15）解的方程為，在面上的投影區(qū)域為及直線所圍成因為，所以例2計算，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面上的部分（圖10-16）圖10-16解 曲面在面上的投影區(qū)域為曲面的面積元素于是例3 已知上半球面的面密度為常數(shù)，（1） 求它的形心坐標

32、；（2） 求它繞軸的轉(zhuǎn)動慣量解 （1）由于球面關(guān)于和面對稱，并且質(zhì)量分布均勻，所以，又，曲面在面上的投影區(qū)域為，所以，從而故形心坐標為（2）（令）習題10-41 計算下列對面積的曲面積分：（1），其中為錐面在的部分；（2），其中為球面上（）的部分；（3），其中為雙曲拋物面被柱面所截得的第一卦限部分；（4），其中為曲面夾在平面及之間的部分；（5），其中為曲面被平面所割下的部分；（6），其中為柱面位于平面，之間的部分2求旋轉(zhuǎn)拋物面被柱面所截得的有限部分的面積3設(shè)在柱面內(nèi)部一塊曲面，其上各點處的密度，求這塊曲面的質(zhì)量4設(shè)曲面的密度（常數(shù)），求這曲面在部分的質(zhì)心5設(shè)有一密度為（常數(shù)）、半徑為的半球面，

33、求它對應于球心處質(zhì)量為的質(zhì)點的引力6證明：若光滑曲面平面對稱，而是中對應于部分，則§5 對坐標的曲面積分一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)我們知道對坐標的曲線積分與積分路徑的方向有關(guān)，下面要討論的對坐標的曲面積分也與方向性有關(guān)為此我們先介紹有向曲面假定曲面是光滑的通常曲面是雙側(cè)的例如方程所表示的曲面有上側(cè)和下側(cè)之分；方程所表示的曲面有左側(cè)和右側(cè)之分；方程所表示的曲面有前側(cè)和后側(cè)之分；對于封閉曲面，有內(nèi)側(cè)和外側(cè)之分在討論對坐標的曲面積分時，需要指定曲面的側(cè)我們可以通過曲面上法向量的指向來定出曲面的側(cè)例如，對于曲面，如果取它的法向量的指向朝上，我們就認為取定曲面的上側(cè)；又如，對于閉曲面，如

34、果取它的法向量的指向朝外，我們就認為取定曲面的外側(cè)這種取定了法向量亦即選定了側(cè)的曲面，就稱為有向曲面設(shè)是有向曲面在上取一小塊曲面，把投影到面上得一投影區(qū)域，這投影區(qū)域的面積記為假定上各點處的法向量與軸的夾角的余弦有相同的符號（即都是正的或都是負的）我們規(guī)定在面上的投影為其中也就是的情形在面上的投影實際就是在面上的投影區(qū)域的面積賦以一定的正負號類似可以定義在面及面上的投影及實例流向曲面一側(cè)的流量設(shè)穩(wěn)定流動（流速與時間無關(guān)）的不可壓縮流體（假定密度為1）的速度場為，是速度場中一片有向曲面，函數(shù)在上連續(xù)，求在單位時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的流量如果流體的流速是常向量，則流體在單位時間內(nèi)流過平面上面積為的

35、閉區(qū)域，流向向量所指一側(cè)的流量為，其中為該平面的單位法向量，為和之間的夾角，且當時，顯然流體的流量為零，而，所以；當時，這時表示流體通過閉區(qū)域流向所指一側(cè)的流量因此無論為何值，流體通過閉區(qū)域流向所指一側(cè)的流量均為現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是流速不是常向量，流過的區(qū)域也不是平面區(qū)域，而是一片曲面為此，把曲面任意分成個小塊（同時也代表第小塊曲面的面積）當?shù)闹睆胶苄r，可以用上任意一點處的流速近似代替上各點處的流速，以點處曲面的單位法向量近似代替上各點處的單位法向量這樣，通過流向指定側(cè)的流量近似于，即于是，通過流向指定側(cè)的流量為因為，所以上式可以寫為，用表示個小塊曲面直徑的最大長度，則在解決很多其他實際問題時，

36、也會遇到這種和式的極限現(xiàn)抽去它們的具體意義，從而引出對坐標的曲面積分的概念定義1 設(shè)為光滑的有向曲面，函數(shù)在上有界把任意分成塊小曲面（同時表示第塊小曲面的面積），在面上的投影為，是上任意取定的一點如果當各小塊曲面的直徑的最大值時，總存在，且不依賴于曲面的分法和點的取法，則稱此極限為函數(shù)在有向曲面上對坐標的曲面積分，記作，即，其中稱為被積函數(shù)，稱為積分曲面類似地可以定義函數(shù)在有向曲面上對坐標的曲面積分，及函數(shù)在有向曲面上對坐標的曲面積分分別為，以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分說明（1）當，在有向分片光滑曲面上連續(xù)時，上述三個積分都存在今后無特別說明，都假定在上連續(xù)（2）與第二類曲線積分相似，

37、在計算三種對坐標的曲面積分時，常合并起來，即寫成特別，若為有向閉曲面時，用表示（3）物理意義：表示在速度場中流體流過置于該場中曲面且流向指定側(cè)的流量對坐標的曲面積分的性質(zhì)與對坐標的曲線積分的性質(zhì)相似，現(xiàn)敘述如下：性質(zhì)1（對曲面積分的可加性） 若由和組成，則性質(zhì)2(對曲面積分的有向性)設(shè)為有向曲面的相反側(cè)的有向曲面，則，圖10-17二、對坐標的曲面積分的計算當在有向光滑曲面上連續(xù)時，對坐標的曲面積分可化為二重積分來計算下面我們只介紹如何將曲面積分化為二重積分的方法設(shè)曲面的方程為，取上側(cè)，在面上的投影區(qū)域為，被積函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)由對坐標的曲面積分的定義，有，因為取的上側(cè)，與

38、軸正向夾角為銳角，所以又因為在上，故（見圖10-17），代入上式得這正好是在閉區(qū)域上二重積分的定義，于是，從上式看出，求曲面積分（取上側(cè)）時，只需把其中變量換成的函數(shù)，換成計算二重積分即可 當然，如果這些曲面取的下側(cè)，由于與軸正向夾角為鈍角，這時于是有因此若由給出，它在面投影區(qū)域為，則， （1）上側(cè)取正號，下側(cè)取負號類似地，若的方程由給出，它在面投影區(qū)域為，則， （2）前側(cè)取正號，后側(cè)取負號若的方程由給出，它在面投影區(qū)域為，則， (3)右側(cè)取正號，左側(cè)取負號圖10-18例1 計算，其中是四面體的整個表面的外側(cè)（圖10-18）解 顯然有，而，故例2 計算，其中是球面在的部分，取外側(cè)圖10-19解

39、分成上、下兩部分和（圖10-19），的方程為，在上取上側(cè)，的方程為，在上取下側(cè)它們在面上的投影區(qū)域為因此,三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)有向曲面在面上的投影區(qū)域為，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且在上連續(xù)，如果取上側(cè)，則由第二類曲面積分計算公式(1)，有，而由于上面的有向曲面的法向量的方向余弦為，于是由第一類曲面積分計算公式有由此可見， （4）如果取下側(cè)，則由公式(1)有，而此時，（4）式仍成立同理， （5） （6）將（4）、（5）、（6）三式合并，得到兩類曲面積分之間的關(guān)系式， （7）其中，是有向曲面在點處的法向量的方向余弦用向量形式表示兩類曲面積分之間的關(guān)系為，其中，為有向曲面在點處的單位法向

40、量，為有向曲面微元上式表明，向量值函數(shù)的第二類曲面積分等于數(shù)量值函數(shù)的第一類曲面積分例3求，其中為上半球面的上側(cè)解在坐標面上的投影區(qū)域為利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系，得在有向曲面上，有，于是所以圖10-20，由于，代入上式得例4計算，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè)解的圖形如圖10-20所示，因為的方程為，在坐標面上的投影區(qū)域為，又取下側(cè)，故注意到關(guān)于軸對稱，因此，于是習題10-51計算下列對坐標的曲面積分：（1），其中為平面位于第一卦限部分的上側(cè)；（2），其中為立方體的整個表面的外側(cè)；（3），其中為上半橢球體，的整個表面的外側(cè)；（4），其中為球面下半球面的下側(cè)；（5），其中為平面所圍

41、成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)2把第二類曲面積分化為第一類曲面積分，其中（1）為平面位于第一卦限的部分，并取上側(cè)；（2）為拋物面在面上方的部分的上側(cè) 3已知流速場，封閉曲面為平面與三個坐標平面所圍成的四面體的表面，試求流速場由曲面的內(nèi)部流向其外部的流量§6 高斯公式與斯托克斯公式一、高斯公式在本章§3中我們介紹了格林公式，它反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系作為格林公式在空間的推廣，我們將介紹高斯公式，它反映了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系定理1（高斯公式）設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)，在上具有一階連續(xù)的偏導數(shù)

42、，則有圖10-21，（1）其中是的整個邊界曲面，取外側(cè)證 （1）首先假設(shè)穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與的邊界曲面只有兩個交點（圖10-21），在平面上的投影區(qū)域為這樣可分為三部分、，其中，取下側(cè)；，取上側(cè)，且有；是以的邊界線為準線且母線平行于軸的柱面的一部分，取外側(cè)根據(jù)三重積分的計算法有， （2）又根據(jù)第二類曲面積分的計算方法有，而在平面上的投影區(qū)域為一條曲線，其面積為零因而將上述三式相加可得 （3）比較（2）和（3）式得到同理可證，將以上三式兩端分別相加，即得到高斯公式（1）（2）若穿過內(nèi)部且平行于坐標軸的直線與的邊界曲線相交多于兩個交點時，我們可用幾片輔助曲面將分為若干個子區(qū)域，使每個子區(qū)

43、域都符合（1）中的條件，于是高斯公式在每個區(qū)域上都成立注意到由曲面?zhèn)鹊囊?guī)定，作為各子區(qū)域的分界面，沿輔助曲面相反兩側(cè)的曲面積分可以相互抵消因此，將各個子區(qū)域上的等式相加即知，高斯公式（1）對一般的空間區(qū)域仍成立證畢高斯公式建立了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系由于曲面積分的計算較為復雜，我們往往利用高斯公式將其轉(zhuǎn)化為三重積分計算但是，在利用高斯公式時，一定要滿足高斯公式對被積函數(shù)和積分區(qū)域的所有條件利用兩類曲面積分之間的關(guān)系，我們可以得到下面形式的高斯公式， （4）其中，是上點處的法向量（指向外側(cè)）的方向余弦注意這里高斯公式（4）的右端是第一類曲面積分特別地，當高斯公式中

44、時，則有于是得到利用對坐標的曲面積分計算空間區(qū)域的體積的公式：例1 計算曲面積分，其中是的邊界曲面，取外側(cè)解，由高斯公式得我們需要特別注意的是，在利用高斯公式計算曲面積分時應滿足的條件：（1）取封閉曲面的外側(cè)；如果取內(nèi)側(cè)，則 （2）函數(shù)，在上具有一階連續(xù)的偏導數(shù)如果曲面不是封閉的或在所圍的空間閉區(qū)域內(nèi)，不滿足（2），那么不能直接用高斯公式，而是要作輔助曲面，使之滿足（1）、（2）之后，再利用高斯公式例2 計算曲面積分，其中是曲面被所截得的外側(cè)（圖10-22）解 由于有向曲面不是封閉的，不能直接用高斯公式，設(shè)為平面圓盤，取上側(cè)，則和圖10-22構(gòu)成一封閉曲面，記它們所圍成的區(qū)域為，由高斯公式知，

45、則二、斯托克斯公式斯托克斯公式揭示了第二類曲面積分與沿該曲面的有向邊界曲線的第二類曲線積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，它也是格林公式的推廣設(shè)是以曲線為邊界的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則：即當右手除拇指外的四指按的正向彎曲時，豎起的拇指所指的方向與上法向量的指向相同，稱如此規(guī)定了正向的邊界曲線為有向曲面的正向邊界曲線例如，若是拋物面的上側(cè)，則的正向邊界曲線為面上逆時針方向的單位圓定理1設(shè)是光滑或分片光滑的有向曲面，的正向邊界為光滑或分段光滑的空間閉曲線如果函數(shù)，在包含曲面在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導數(shù)，則，（5）公式（5）稱為斯托克斯公式證 設(shè)為曲面的上側(cè)，且平行于軸的直線與曲面的交點不多于

46、一個，在面上的投影域為，的正向邊界曲線在面上的投影是區(qū)域的正向邊界曲線先證明下面的式子成立： （6）首先，（6）式右端可以化為沿平面曲線的第二類曲線積分，即由格林公式 （7）因為曲面上法向量的方向余弦為，由兩類曲面積分之間的關(guān)系，有，于是（8）比較（7）式和（8）式可得如果取下側(cè)，由于等式兩邊同時變號，故此式仍然成立同理可證，將以上三式相加即得斯托克斯公式證畢為了便于記憶，斯托克斯公式可以寫成把其中的行列式按第一行展開，并把與的“積”理解為，與的“積”理解為等，這個行列式的值恰好是公式（5）左端的被積表達式利用兩類曲面積分間的關(guān)系，斯托克斯公式也可表示為，其中為有向曲面在點處的單位法向量 顯然

47、，當曲面是平面上的一塊平面閉區(qū)域時，斯托克斯公式便簡化為格林公式例3 計算，其中，從軸正向看為順時針方向（圖10-23）解 方法一 用斯托克斯公式取以為邊界所圍有限部分的下側(cè)，它在面上的投影區(qū)域為，則圖10-23方法二 用格林公式記在面上的投影曲線為，取順時針方向，將空間曲線積分化為平面曲線積分圖10-24例4 計算，其中是平面與圓柱面的交線，從軸的正方向看去，是逆時針方向解 取為平面被圓柱面截得的橢圓盤，法向量向上（圖10-24）易得，的法向量，故由斯托克斯公式得因為曲面可表示為，在面的投影區(qū)域為圓域，故有，從而三、物理應用1通量與散度首先，我們簡單介紹向量場的概念對于空間區(qū)域，如果內(nèi)任意一點都有一個確定的向量與之對應，則稱在空間區(qū)域內(nèi)確定了一個向量場例如力場、速度場等都是常見的向量場一個向量場可以用一個向量函數(shù)來表示，即，其中都是點的數(shù)量函數(shù)有了向量場的定義之后，我們就可以引入通量和散度的概念設(shè)某向量場由給出，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)，是場內(nèi)的一片有向曲面，是上點處的單位法向量，則稱為向量場通過曲面向著指定側(cè)的通量（或流量），而稱為向量場的散度，記作