第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對(duì)2016向量第一輪

1、平面向量題型總結(jié)(2015版)題型一:定義判斷1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量

2、平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；6 相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。例1.平面向量共線的充要條件是（ ）A.方向相 同 B. 兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C.存在 D存

3、在不全為零的實(shí)數(shù)例2.下列命題正確的是（ ）A、若，且，則。B、兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同。C、向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等 。 D、若非零向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)共線。例3.給出下面四個(gè)命題：對(duì)于任意向量a、b，都有|a·b|a·b成立；對(duì)于任意向量a、b，若a2=b2，則a=b或a= -b；對(duì)于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·c)·a成立；對(duì)于任意向量a、b、c，都有a·(b·c)=(b·a)·c成立.其中錯(cuò)誤的命題共有 .例4.給出下列命題:若a2

4、+b2=0,則a=b=0;已知AB,則已知a,b,c是三個(gè)非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|已知,e1,e2是一組基底,a=1e1+2e2則a與e1不共線,a與e2也不共線;其中正確命題的序號(hào)是 .例5如果e1、 e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么在下列各說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（ ）e1e2(, R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對(duì)于平面中的任一向量a,使a=e1e2的, 有無(wú)數(shù)多對(duì)；若向量1e1+1e2與2e1+2e2共線,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)k,使2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若實(shí)數(shù), 使e1e2=0，則=0.A. B C D僅真題：（2014北京東城區(qū)統(tǒng)一檢測(cè)

5、）若a，b是兩個(gè)非零向量，則|a+b|a-b|是的 條件（2013年高考廣東卷（文）設(shè)是已知的平面向量且,關(guān)于向量的分解,有如下四個(gè)命題:給定向量,總存在向量,使;給定向量和,總存在實(shí)數(shù)和,使;給定單位向量和正數(shù),總存在單位向量和實(shí)數(shù),使;給定正數(shù)和,總存在單位向量和單位向量,使;上述命題中的向量,和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4（15北京文科）設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件（15年安徽文科）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量滿足，則下列結(jié)論中正確的是 。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論得序號(hào)）為單

6、位向量；為單位向量；（15年陜西理科）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ）A B C D題型二：平面向量基本定理及基底的相關(guān)應(yīng)用平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1e2向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似).（3）向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且ABNMDC例6.如圖,ABCD是一個(gè)梯形, M、N分別是的中點(diǎn),已知a,b,試用a、b表示和例7.在OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使ACBA，在OB上取點(diǎn)

7、D，使DBOB.DC與OA交于E，設(shè)a，b，用a，b表示向量，.例8.已知在ABC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F，試用與表示.例9.在平行四邊形中，M, N分別為，的中點(diǎn)，已知，試用表示。例10.在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分角ACB,，,則( )A. B. C. D. 三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用：例11.在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H,設(shè)則A. B. C. D. 例12.在ABC中， AB.CD1例13.若A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，若O不在l上，存在實(shí)數(shù)x使得x2x0，實(shí)數(shù)x為( )A1 B0 C. D.例14.在平行四邊形AB

8、CD中，AC與BD交于O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若a，b，則等于( )A.ab B.ab C.ab D.ab例15.在中，N是AC邊上的一點(diǎn)，且,P是BN上的一點(diǎn)，若,則實(shí)數(shù)m的值為 .例16.已知是的外心，若，則的值為（ ）A2 B C D例17.若向量,現(xiàn)用a、b表示c,則c= .真題：（湖南六校聯(lián)考2014）設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且2ij，4i3j，則OAB的面積等于_（2015洛陽(yáng)市統(tǒng)考）已知直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量使平面內(nèi)的任意一個(gè)c都可以唯一的表示成，則m的取值范圍是 .題型三：向量的幾何運(yùn)算及三

9、角形的四心向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。在中：若，則其重心的坐標(biāo)為為的重心，特別地為的重心；為的垂心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；的內(nèi)心；例18.若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_例19.若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_(kāi)內(nèi)心例20.O是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ） A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 例21.

10、已知非零向量與滿足，且，則ABC為（ ）A. 等邊三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形重心例22.O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，則為ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 垂心例23.是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 外心例24.已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且，則O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、內(nèi)心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 內(nèi)心題型四：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及共線問(wèn)題設(shè)，則：向量的加減法

11、運(yùn)算：，。實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。平面向量數(shù)量積：。如：向量的模：。如兩點(diǎn)間的距離：若，則向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。例25.設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_例26.與向量 =(12,5)平行的單位向量為 例27.已知，求證：三點(diǎn)共線。例28.設(shè)，求證：三點(diǎn)共線真題：（2013年高考遼寧卷（文）已知點(diǎn) （2014滁州市統(tǒng)考）已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值。題型五：求參量的值向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非

12、零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。提醒：（1） 向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？向量平行(共線)的充要條件：0。向量垂直的充要條件： .例29.已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b與c共線，則k_.例

13、30.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則_.例31.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.例32.已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2, 若a·b0，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)真題：（15年福建文科）設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的值等于（ ）A B C D（15年新課標(biāo)2理科）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_題型六：模的相關(guān)運(yùn)算例33.設(shè)向量a，b滿足|a|b|1，a·b，則|a2b|_例34.已知單位向量e1，e2的夾角為60°，則|2e1e2|_例35.向量且 ，則_例36

14、.已知向量夾角為 ，且；則例37：已知，則為_(kāi)題型七：求坐標(biāo)、夾角、數(shù)量積及投影在上的投影：為，即它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積例38.設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|b|c|，abc，則a與b的夾角為_(kāi)例39.已知向量a，b滿足(a2b)·(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_(kāi)例40.若向量a(1,2)，b(1，1)，則2ab與ab的夾角等于_例41.已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2_.例42.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為（ ）A.

15、 B. C. D.例43.設(shè)，若在方向上的投影為2，且在方向上的投影為1，則與的夾角等于（ ）A B C D例44.如圖所示，平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=_例45.滿足則 例46.已知是非零向量且滿足則的夾角是例47.若向量不共線，則的夾角是例48.已知，的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍。例49.已知的夾角為 真題：（黃岡市二模）知非零向量滿足，向量的夾角為，且 （東北名校聯(lián)考）已知= （15年新課標(biāo)2文科）已知,則（ ）A B C D（2015鄭州市一模）已知P是邊長(zhǎng)為2的正ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則·()為( )A最大值為8 B最小值為2C

16、是定值6 D與P的位置有關(guān)題型八：向量的最值問(wèn)題例50.已知兩向量，的夾角為銳角，則的范圍 例51.已知平面向量，且滿足，則的取值范圍 例52.已知向量，其中、均為非零向量，則的取值范圍是( )A. B. C. D.例53.在ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，若A120°，·1，則|的最小值是( )A. B. C. D.例54.已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值是 .例55.已知單位向量，且，的最大值為 .例56.已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

17、.例57.已知平面上的向量、滿足,，設(shè)向量，則的最小值是 例58.在中，D為BC邊的中點(diǎn)，AD=1，點(diǎn)P在線段AD上，則的最小值_例59.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，的最大值為_(kāi)真題：（2014·湖南卷）面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是_（15年天津理科）在等腰梯形 中,已知 ,動(dòng)點(diǎn) 和 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為 （2013年高考湖南（文）已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為( )ABCD題型九：圖形類(lèi)問(wèn)題（向量相關(guān)的坐標(biāo)解法）例60：在ABC中，

18、M是BC的中點(diǎn)，AM=3，BC=10，則=_.例61：在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是_.例62.平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·()0，則ABC的形狀是_例63.如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K，其中，則的值為( )A. B. C. D.例64.在ABC中，C90°，且CACB3，點(diǎn)M滿足2，則·等于( )A2B3C4D6例65.在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB3，BD1，則·_.例66.已知點(diǎn)o是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC的中心，則等于_例67.在ABC中，AB

19、=2，AC=4，若點(diǎn)P為ABC的外心，則的值為_(kāi)例68.已知：|1，|，·0，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC30°，設(shè)mn(m，nR)，則_.真題：（2014·四川卷）已知F為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是( )A2 B3 C. D.（15北京理科）在中，點(diǎn)，滿足，若，則；（15年福建理科）已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21（15年天津文科）在等腰梯形ABCD中,已知, 點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段BC和CD上,且 則的值為 （15年山東理科）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，則（ ）(A) (B) (C) (D) 題型十：平面向量在函數(shù)及三角函數(shù)中的應(yīng)用例69.在中，已知（1）求證：；（2）若求A的值例70.已知A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值例71.