二項(xiàng)式定理10種考題的解法

1、二項(xiàng)式定理十種題型及解法1 .二項(xiàng)式定理：（a +b）n =C；an +C：an,b 十用 +C；anbr 十川十C：bn（nw N）,2 .基本概念：二項(xiàng)式展開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的二項(xiàng)展開(kāi)式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C： （r =0,1,2,1n）.項(xiàng)數(shù)：共（r+1）項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開(kāi)式中的第r+1項(xiàng)C：anb叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)。用TT=C；anb表示。3 .注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開(kāi)式中總共有（n +1）項(xiàng)。順序：注意正確選擇a, b,其順序不能更改。依+9。與9 + 2）。是不同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0,是降哥排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n,

2、是升 哥排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是C0,Cn,C2C,Cnn.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4 .常用的結(jié)論：令 a =1,b =x, (1 +x)n =C0 +C：x +C：x2 +IH +C：x,+HI +C；xn(n w N*) 令 a=1,b =-x,(1 -x)n =C0 -C：x C2x2 -HI , C；x川(-1)nC；xn(n N )5 .性質(zhì)： 二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即0 nk k -1Cn =Cn ,Cn =Cn二項(xiàng)式系數(shù)和：令a =b = 1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為

3、C： +C： +C； +IH + C； +1 +C： = 2n ,變形式 Cn+C0+IH+C； +IH+C： =2n -1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和 =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和:在二項(xiàng)式定理中，令 a=1,b = -1,則 C：C：+C：C3+|+(-1)nCn=(1-1)n=0 ,AA 彳導(dǎo)至。+2 +4+2r +- +3+|H+2r*+工乂于一n, C，11IC C nC n C n 1,1 C n111 C nC n III C n 111 2 2 2奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:n c。 n 01 n J.2n_2 2n 0 n12n(a x) = Cna x Cna x Cna x |

4、Cna x = a0 a1xa2x| anx(x +a)n =C；a0xn +Cnaxn，+Cl2a2xn2 +| +Cnanx = anxn + 川 + a2x2 + a1x1 +a0 令x=1, 則a0+a +a2 +a3|+an = (a+1)n令x = -1,貝1Ja0 -a1 +a2 -a3 +| +an =(a -1)n十得，a0 +a,+a4”| +an =、a 1 卡(a -(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2得，a1 +a3 +a5| +an = (a +1)n Ta )偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和) 2n片取得最大值。n J n ： 1C；7 , C7同時(shí)取得二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng):如果二項(xiàng)式的事指數(shù)n是奇

5、數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)如果二項(xiàng)式的事指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大值。系數(shù)的最大項(xiàng): 求(a+bx)n展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為 aA2,An書(shū)，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有(A+A Ar 1 - Ar 2從而解由r來(lái)。6 .二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法：題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例：Cn- C：6 -c362IIICn6nd=.角率(1 +6)n =C +C1 6+ C262 + C3,63 +IH +Cn16n 與尸知的有止匕美距川十(l 6) C n C n 6 Cn6 C n6 I” Cn6 J I八H 口 J，閂 /日用二)C1.c

6、2q.c32n n4 _.1/1 q.c22n nC n C n 6 C n 6 C n 6- (C n 6 Cn 6 C n 6 )6= 7(C+Cn 6+C2 62 +lll+C： 6n-1)=(1+6)n-1 = 1(7n-1)666練：Cn -3C2 9Cn -III - 3n4C； -.解：設(shè) Sn =C：+3C：+9C；+|+3n，C；,貝UQG 01& . C2Q23 Q3nQn 001& 2&23&3n &nn3Sn=Cn3Cn 3Cn 3Cn 3= CnCn 3Cn 3 Cn 3Cn3 -I =(l 3) 7(1 3)n -14n -13 一 3題型二：利用通項(xiàng)公式求 xn的

7、系數(shù);例：在二項(xiàng)式（+W2）n的展開(kāi)式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有X3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知 C：2=45,即 C：=45,.n2-n_90=0,解得 n = -9（舍去）或n =10 ,由12102Tr+=Cir0（x7）10（x3）r =C；oX=號(hào)，由題意l0r + 2r=3,解彳#r=6, 43則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6.=C；0X3 =210x3,系數(shù)為210。練：求（x2-L）9展開(kāi)式中x9的系數(shù)？2x解：書(shū)=C；（x2）9上（-1）,=C；x18/r（）rx=C；（-l）rx,令 183r =9,則 r =3 2x22故x9的系數(shù)為C；（）3=W。22題型三：利用通項(xiàng)公式求

8、常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式（x2+人）10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)?5解：書(shū)=C1r0(x2)10(一=),=C；0(,)r x 2 ,令 20r=0,得 r=8,所以 =0()8=2,x 2,22256練：求二項(xiàng)式(2x-工)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？2xr6 _pr 1 rrr6 -r 1 r6-2r/、3 3斛：Tr + =C6(2x)6 (-1)(工)=(-1)rC；26 (1)rx，令 6-2r =0 ,得 r =3 ,所以 T4 = (-1) C6 = -202x2練：若(x2+1)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n =. x4. 2 .n 1 .44 2n 42 人n 彳日 n _ 公用牛.T

9、5 =Cn(x ) (-) =Cnx , 2n 12 = 0 ,付 n 6 .x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式（6-次）9展開(kāi)式中的有理項(xiàng)?解：Tr*=C；（x2）9（-x3）r =（-1）C；x丁，令竺Z,（ 049）得=3或=9,6所以當(dāng) r=3 時(shí)，絲=4, T4 =(-1)3C；x4 = -84x4 ,627 r3c9 33r =9 口,=3 , T10 = ( -1) C9x = x 。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若(口一二廠展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為一256,求n.、x解：設(shè)(口 一工)n展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a。-3 x2令x

10、 = 1，貝u有 a。+a + an =0,， 令x=1，則有 a。a1+a2-a3 + + (-1)nan = 2n,將-得：2(a +a3 +a5 + ) = -2n,aI +a3 +a + =2n，有題意得， -2n=256 =-28 ,，n=9。練：若(. +，/y的展開(kāi)式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024,求它的中間項(xiàng)。解c0 +C2+C4 +C2 r + .yC1+C3 + C2r書(shū) + =2n)- 2n=1024解得 n =11n nn nnnnn所以中間兩個(gè)項(xiàng)分另I為n=6,n=7, 丁5書(shū)=可(4)6,J)5 = 462，x，丁6用=462 )飛題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：

11、已知(；+2x)n,若展開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列， 求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：C：+C6 =2C1. n2 -21n+98=0，解由n=7或n=14,當(dāng)n=7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系 數(shù)最大的項(xiàng)是T4和丁5二丁4的系數(shù)=C；(1)423 =35, , T5的系數(shù)=C；(：)324 = 70，當(dāng)n = 14時(shí), 展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是丁8, .的系數(shù)=C74(1)727 =3432。2練：在(a+b)2n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的事指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n =書(shū)，也就是第n+1項(xiàng)。練：在弓一尸的展開(kāi)

12、式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是2 x多少?解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大,則n+，5,即n=8,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C6（1）2 =72例：寫(xiě)由在（a.b）7的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)?解：因?yàn)槎?xiàng)式的事指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等,且同時(shí)取得最大值，從而有 T4 = -C3a4b3的系數(shù)最小，T5 = C；a3b4系數(shù)最大。例：若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求（；+紳的展開(kāi)式中系數(shù)最大的夕2(1 4x)12項(xiàng)？解：由 C； +C：+C； =79，解由 n=12，假設(shè) Tr4項(xiàng)最大,，:g + 2x）12rA-Ar=卜1

13、r24r 爪二4 二 化簡(jiǎn)得到 9.4r10.4,又 ：0 E r M12 ,r = 10 ,展開(kāi)A. AC；2 4r . C；214r 1式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)n，有T11 -（1）12C10410x10 -16896x102練：在（1+2x）10的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)Tr十項(xiàng)最大，,: Tr + =C；0 2rxrAr1 -Ar_ C；02r -C；02rAr1 -A.2 C；02r _C，2解得TH），化簡(jiǎn)得到又10,，r=7,展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)8=C：o27x7 =1536Ox7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng);例：求當(dāng)（x2+3x+2）5的展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?解法：

14、(x2+3x+2)5 =(x2+2)+3x5 , Tt =c!(x2+2)5(3x)r ,當(dāng)且僅當(dāng) r = 1 時(shí)，Tr書(shū)的展開(kāi)式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr+=T2=c5（x2+2）43x,所以x得一次項(xiàng)為_(kāi) 1 _ 4 _ 4 _C5C42 3x它的系數(shù)為C5C： 243 = 240 。解法：(x2 +3x +2)5 =(x +1)5(x+2)5 =(C；x5 +C5x4 + +C55)(C；x5 +C5x42 + + C；25)故展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C54xC525 +C：x24 =240x ,故展開(kāi)式中x的系數(shù)為240.練：求式子（+ -2）3的常數(shù)項(xiàng)?（岡+岡一2）3 =（煙解:上)6,

15、設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則,xT.4=C；(1)r x6- (l)r =(1)6C； x6口，得 6 2r=0, r=3,T3邛=(1)3C； =20 .岡題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1+2x)3(1-x)4展開(kāi)式中x2的系數(shù).解：(1+2x)3的展開(kāi)式的通項(xiàng)是cm，(2x)m =cm 2m xm,(1x)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)是 C4 (x)n =C4 -1n，xn,其中 m =0,123, n =0,123, 4,令m +n =2/!jm =0JLn =2,m =1且n =1,m =2且門(mén)=0,因此(1 + 2x)3(1 x)42的玄肺箋中 p0 Q0221 91112 Q2 00 _口 J

16、/pcTTXxj 甲 x 口 JC3 2 C4,( I) c C3,2C4(I) c C3,2C4(I) 6.練：求（1+阪）6（1+J）10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).、x.mn4m-3n解：(1+次)6(1+人)10展開(kāi)式的通項(xiàng)為c6Vc1n0x=c6nc1n0，xxm=0m=3m = 6,其中m =0,1,2, 6, n=0,1,2，,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m = 3門(mén),即或 或n=0, n=4, n=8,時(shí)得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C0 C* C6 C40 C6 cl =4246.練：已知（1 +x +x2）（x +）n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，n w N*且2 W n48,則門(mén)=. x解：陵十二日展開(kāi)式的通項(xiàng)

17、為cn/大口 =c；w,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得 xCn xn,Cn/4；/a電*展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng),2n8二 n #4r且 n #4r +1 且n #4r +2,即 n #4,8且n #3,7且n #2,6,，n =5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x -歷2006的二項(xiàng)展開(kāi)式中，含x的奇次曷的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x =651S =解：設(shè)(x 衣)2006 =a0 +3)/ +a2x2+a3x3+| + a2006x2006 (-x-歷2006 =a -a1x1 +a2x2 yx3 +|,2006姆6-一得2(a1x +a3x3 +&x5 + | + a2005x2005)

18、= (x -五)2006 (x +行)2006二(x 物2006展開(kāi)式的奇次曷項(xiàng)之和為S(x) = 1(x-6)2006 (x+五)200623 2006當(dāng)x = J2時(shí),S（ .、2） =1（ . 2 一 . 2） 2006 -（ .2 、2）2006 =- = 一2 300822題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式（3&+1）n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p ,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,x若p +s=272,則n等于多少？解： 右(3次十)n =a0+a1x+ a2x2+ + anxn , 有 P = a。+a + +an , S = C： +-+以=2n , x令 x=1 得 P =4n ,又 p +s =272 ,即 4n +2n =272= (2n +17)(2 n -16) =0解得2n=16或2n =17(舍去)，, n = 4.練：若解：令34一；的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為多少?xx=1,則34-2）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n =64,所以n=6,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C：(3 .x)3 (-L)3 . 一540.例：若(1