二項式定理第2課時優(yōu)秀教學設(shè)計

1、1.3二項式定理【課 題】：1.3.2楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)【教學目標】：(1)知識與技能：1.理解和掌握二項式系數(shù)的性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用；2.初步了解用賦值法是解決二項式系數(shù)問題；(2)過程與方法：能用函數(shù)的觀點分析處理二項式系數(shù)的性質(zhì)，提高分析問題 和解決問題的能力。(3)情感態(tài)度與價值觀：、培養(yǎng)勇于探索并加以簡單的應(yīng)用的能力【教學重點】：如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題?！窘虒W難點】：用通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)求最大項有關(guān)的問題 【課前準備】：Powerpoint或投影片【教學過程設(shè)計教學環(huán)節(jié)教學活動,、復習：一、復習：1 .二項1.二項式定理，二項展開式的通項及

2、二項式系數(shù).式定理,二項展一、新課講解：一; 1.二項式系數(shù)表(楊輝三角)開式的 (2+3"展開式的二項式系數(shù)，當n依次取1,2,3時，如下表所示:通項及 二項式 系數(shù).(a+b)1 11(a b)2 121(a b)3 13 31(a b)4 14 641(a b)5 15 10 10 51(a b)6 16 1520 15 61新課 講 解：上表叫二項式系數(shù)表，表中每行兩端都是1,除1以外的每一個數(shù)都等于它 肩上兩個數(shù)的和(為什么？)這個表早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的詳解九章算法就已經(jīng)出現(xiàn)，這個表叫楊輝三角。利用這一性質(zhì)，可根據(jù)相應(yīng)于 n的各項二項式系數(shù)寫出相應(yīng)于n+1

3、的各項二項式系數(shù)。設(shè)計意圖復習鞏固 二項 式定理并引入 課題列表 找規(guī) 律2.二項式系數(shù)的性質(zhì):成以r為自變量的函數(shù)f (r)三.歸納總結(jié)性質(zhì)n 11= k :二2學會 歸納 總結(jié) 性質(zhì) 提高 歸納 總結(jié) 的能(2+3"展開式的二項式系數(shù)是c：, c：, c：,，cn. cn可以看定義域是0,1,2, |,n,例當n =6時，其圖象是7個 孤立的點(如圖)(1)對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等Cnm=Cn*.直線r =2是圖象的對稱軸.2(2)增減性與最大值. 二、k n(n -1)(n -2)|(n -k +1)j nk 十1Cn 二= Cn 1>k!k c：

4、相對于ck的增減情況由nk+1決定，nk+1當k<5時，二項式系數(shù)逐漸增大.由對稱性知它的后半部分是逐漸 2減小的，且在中間取得最大值；當n是偶數(shù)時，中間一項C?取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間兩項n 1 n 1C/, C孑取得最大值.(3)各二項式系數(shù)和：(1+x)n =1+C：x + 川+C；xr +| + xn ,令 x=1,則2n =C：+Cn+C2+|+C；+|+C；.新知三、例題：例 1.已知(12x)7 =30 +31X+ 32X2+| +37X7 ,求:(1) a1 +a2 +IH +a7 ；(2) ai +83+35 +37 ; (3) 1a0|十|& |+|十何

5、7|.解：(1)令X = 1可得:30 + 3 + 32 +| H + 37 = (1 2) = 1 令X = 0可得：30=(J0)7=1 由可得闞+32 | - 37 = 30 - ai - 32 - IH - 37 - 30 = -2(2)令 X = -1 可得：30-31+32 -33 +34 -35 +36 -37 = (1 + 2)7 = 3?g-1 -37-行 31 +33+35+37 =2(3)Tr書=C7(-2)rxr所以當 r 為 1,3,5,7,時系數(shù) C7(2)r 為負,當r為0,2,4,6,時系數(shù)C7 (-2)r為正,所以 | 30| |31| - | - |37|

6、=30-31323334 3536 37:(1 2)7 =37例 2 如果 1+2C；+22C2 +2nCn =2187 求 C； +C 2 +C n 的值.分析： 1+2C：+22C2 + -+2nCn- 0 、ncc1dn-1 2 2 2 、n 2n n n=C n , 1 +2C n , 1+2 , Cn 1+ +2 C n=(1+2) n=3n解：1+2Cn+22C2 + -T2nCn=3n-3n=2187=37, l- n=7.c； + Cn+C1+Cn=2n C n+C n + +C n =2 1原式=C 7 +C 7 + +C 7 =2 7 1=127例3.求(x'x -

7、Vx ) 9的展開式中的有理項.分析：因為只需求出展開式中的有理項，所以可運用通項公式求解27 d解:. Tr1 =C9( x)9，-3 x)r =(-1)rC9 X 6其中 r=0,1,2,927 r由題意得£7應(yīng)為整數(shù)6r=0,1,2,9，經(jīng)檢驗，知r=3和r=9.展開式中的有理項為 T4 = -C9 x4 = -84x4,T10 = C；，x3 = -x3.例4: （1）求（1+2x）7展開式中系數(shù)最大項.（2）求（1-2x）7展開式中系數(shù)最大項.解：（1）設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有C； 2r >C7r+ 2r+r!(7 r)!'2 '(r+1)!(6 -

8、 r)! 廣竹21-。,即，即,c； 2r 2C7r2r,2 _ 7!“7!、2(8r)之 rr!(7 -r)! 一 (r-1)!(8-r)!1316.Er M 且 0 M r E 7, r w Z , r = 5 .33所以系數(shù)最大項為T6 =c5-25 x5 = 672x5（2）展開式共有8項，系數(shù)最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得，故系數(shù)最大項必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項系數(shù)大小即可.又因為T5 =C；(2)4x4 =560x4, T7 =C；(2)6x6 = 448x6 ,所以系數(shù)最大的項是第五項 為 T5 =C；(-2)4x4 =560x4性質(zhì)的簡單應(yīng)用四.

9、課堂練習1.練習：已知(2x-1)5 = a0 + qx+a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5課堂 練習求： a1 a2 a3 a4 a5可, a3 a5(a。 a2 a4)2 -(a- 83 as)2閨+|同|+蜀+蜀+以4|+周135o5o5 2 (2)(3) -3 (4) 3n2 證明：(1) £ 2kC： =3n (n w N);k 1g(2) 2c* +C2n +2C；n +C* +C2：,+2C2： =3 S” N)；解 a）3Ja + 2）JC%+C；2 + Ca + *一+C：2“E2kc+k=o原式左端=（*+氏+ C拈+ （以+*+ C給=2211

10、+22n-1 = 2211-1 （2 + 0 = 3 2*13,已知（1 + 3x）n的展開式中，末三項的二項式系數(shù)的和等于121,求展開式中系數(shù)最大的項.解：末三項的二項式系數(shù)分別為C：'C：由己知，可得C+C：】 + C： = 121A C： + C： + 1 = 121 即J + n-240 = 0n = 15 或 n =-16（舍）工】=:阿=%設(shè)第r +1項與第r項的系數(shù)分別為tr+1, tr令* = C：5（加. tr+1 ）tr 則可得 3（15-r +1）解得12，當r取小于12的自然數(shù)時，都有 trVtr+1當r=12時，tr+1=tr二展開式中系數(shù)最大的項為與二優(yōu)3

11、%，叫廣Cg 3山產(chǎn)-3 n .2 一4.設(shè)(2jx )n展開式中第2項的系數(shù)與第4項的系數(shù)的比為 4: 45,試求x2項的 x系數(shù).n 3r解：第 r+3Tr-Cnr.(2C)n-(三)r=Cn.2n.(-3)廠,x*(-3)3 上，即4 6n，n2 .3n . 28 = 0 ,C； ,2n工33 459 n(n -1)(n -2)45，n = 7或 n = 4 (舍負).人 n 3ro 日口 7 c 3r.令=2,即2= , r=1.2222 x2項的系數(shù) C7 27A(-3) =-1344 .總結(jié)歸納二項式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對稱性.(2)增減性與最大值.nnn中當n是偶數(shù)時，中間一項C：

12、取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間兩項Cn2 ,Cn2 取得最大值.布置作業(yè)同步練習練習與測試:(基礎(chǔ)題)11 .設(shè)二項式(31 x十一)n的展開式的各項系數(shù)的和為P ,所有二項式系數(shù)的和為S ,若xP +S=272,則 n =( A )(A) 4(B)5(C)6(D)82 .若(2x +<3)4 =% +ax + a2x2 +a3x3 +a4x4,貝U (a0 +a? +a4)2 -(a1 +a3)2 的值為(A )(A)1(B)-1a 83已知(x-)展開式中常數(shù)項為x(C)A, 28B. 38(C)0(D)21120,其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是C. 1 或 38D. 1

13、 或 284 .如果 1 +2C： +22C2 + +2nC； =2187 ,則 C° +C： +C： + C； =. 128 (中等題)2、51095 .已知(1 x x ) =a10x- a9x 卜 上a1x - a0求(1) a0 +a +a2 +a1o ；(2) a：卜a3 a5 ：'!1a7 , a§ ；(3) a2 +a4 +a6 +a8 +a10。解：(1) a0 +a +a2 十十a(chǎn)10 = (1 1 +12)5 = 1 a1 +a3 +a5 +a7 +a9 =(11+12)5 1+1+(1)2 A 2= 121(3) a2 a4 a6 a8 a10 =(1-1 12)5 1 1 (1)2 卜2a。=122 1=121 (難題)6 .求(3-2x)9展開式中系數(shù)絕對值最大的項.2r C9 392r C9 39"C91 3c938 -r解：(3-2x)9展開式的通項為1.1 =C9 39"(-2x)r = (-2)r C9 39xr,10-r '設(shè)