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1、 2.無(wú)界函數(shù)的反常積分 一 無(wú)界函數(shù)反常積分的概念，柯西判別法 定義 設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的任一左領(lǐng)域無(wú)界，但對(duì)于任意充分小的正數(shù) ， 在 上可積，即存在。假如 存在，那么稱(chēng)此極限值是無(wú)界函數(shù) 從 到 的反常積分，記為 ；如果上述極限不存在，就說(shuō)積分 發(fā)散。 假如 是 的奇點(diǎn)，可以相仿地給出定義。另外，假如 在 內(nèi)部有一個(gè)奇點(diǎn)我們就分別考察 和 ，如果兩者都收斂，就稱(chēng) 收斂，并且 即 xfbx xfba, badxxf 0lim xfab babadxxfdxxf0lim dxxfbaax xf xfba,bcac, dxxfca dxxfbc dxxfba dxxfdxxfdxxfbccaba

2、dxxfdxxfdxxfbccaba00limlim其中 和 是互相獨(dú)立的趨于 0 。 二 阿貝爾判別法和狄利克雷判別法 1. 阿貝爾判別法 設(shè) 在 有奇點(diǎn)， 收斂， 單調(diào)有界，那么積分 收斂。 狄利克雷判別法 設(shè) 在 有奇點(diǎn)， 是 的有界函數(shù)， 單調(diào)且當(dāng) 時(shí)趨于零，那么積分 收斂。 xfax dxxfba xg dxxgxfba xfax dxxfba xgax dxxgxfba對(duì) 應(yīng)用第二中值定理可以證明上面的兩個(gè)結(jié)論。 三 反常積分的主值 設(shè) 在 內(nèi)無(wú)界， 是唯一奇點(diǎn) 假如存在，我們就稱(chēng)此極限是反常積分 的柯西主值，記為 dxxgxfaa xfba,c dxxfdxxfbcca0lim dxxfba cabcbadxxfdxxfdxxfVP0lim.bca 同樣的，對(duì)于無(wú)窮限的反常積分，柯西主值為 例1 討論積分 的收斂性。 例2 討論積分 的收斂性。 例3 討論 的收斂性。 例4 討論積分 的斂散性。 例5 討論積分 的收斂情形。 例6 設(shè) ，求 的主值。 dxxfdxxfVPAA0lim.bca bacxdx0paxdxbap1021

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