第十二講等比數列及其前n項和

1、 第十二講等比數列及其前n項和基礎梳理1等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示2等比數列的通項公式設等比數列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.3等比中項若G2a·b(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam·qnm，(n，mN)(2)若an為等比數列，且klmn(k，l，m，nN)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數相同)是等比數列，則an(0)，a，an&

2、#183;bn，仍是等比數列(4)公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，其公比為qn.5等比數列的前n項和公式等比數列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當q1時，Snna1；當q1時，Sn. 一個推導利用錯位相減法推導等比數列的前n項和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 兩個防范(1)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數列，還要驗證a10.(2)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情

3、形導致解題失誤三種方法等比數列的判斷方法有：(1)定義法：若q(q為非零常數)或q(q為非零常數且n2且nN*)，則an是等比數列(2)中項公式法：在數列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數列an是等比數列(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數，nN*)，則an是等比數列注：前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列雙基自測1在等比數列an中，如果公比q1，那么等比數列an是 A遞增數列 B遞減數列 C常數列 D無法確定數列的增減性2已知an是等比數列，a22，a5，則公比q等于 3在等比數列an中，a44，則a2·a6

4、等于 4設Sn為等比數列an的前n項和，8a2a50，則 5等差數列an前9項的和等于前4項的和若a11，aka40，則k_.考向一等比數列基本量的計算【例1】設等比數列an的前n項和為Sn，已知a26,6a1a330.求an和Sn. 等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解【訓練1】 等比數列an滿足：a1a611，a3·a4，且公比q(0,1)(1)求數列an的通項公式；(2)若該數列前n項和Sn21，求n的值考向二等比數列的判定或證明【例2】已知數列an滿足a11，a22，an2，nN

5、*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數列；(2)求an的通項公式 證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可考向三等比數列的性質及應用【例3】已知等比數列前n項的和為2，其后2n項的和為12，求再后面3n項的和 本題利用了等比數列的性質中的第4條，其和Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列，若把數列an平均分成若干組，其積也為等比數列【訓練3】在等比數列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_.考向四 等差與等比數列的綜合性問題【例4】成等差數列的三個正數的和等于

6、15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列bn中的b3、b4、b5.(1)求數列bn的通項公式；(2)數列bn的前n項和為Sn，求證：數列是等比數列 關于等差(比)數列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，需要認真計算，靈活處理已知條件容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是不能靈活運用等差(比)數列的基本性質轉化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量【試一試】 (1)已知兩個等比數列an，bn，滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若數列an唯一，求a的值；(2)是否存在兩個等比

7、數列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數列？若存在，求an，bn的通項公式；若不存在，說明理由基礎檢測1已知等比數列an的各項均為正數，若a13，前三項的和為21，則a4a5a6_.2在數列an中，an1can(c為非零常數)，前n項和為Sn3nk，則實數k的值為_3設各項都是正數的等比數列an，Sn為前n項和，且S1010，S3070，那么S40_.4已知三個數xlog27 2，xlog92，xlog32成等比數列，則公比為_5已知數列an的前n項的和為Sn，若Sn3n1(nN*)，則的值為_6設數列an的前n項和為Sn，已知Sn1pSnq(p，q為常數

8、，nN*)，且a12，a21，a3q3p.(1)求p，q的值；(2)求數列an的通項公式；(3)是否存在正整數m，n使<成立？若存在，求出所有符合條件的有序數對(m，n)；若不存在，請說明理由第12講等比數列及其前n項和【2014年高考會這樣考】1以等比數列的定義及等比中項為背景，考查等比數列的判定2考查通項公式、前n項和公式以及性質的應用【復習指導】本講復習時，緊扣等比數列的定義，掌握其通項公式和前n項和公式，求和時要注意驗證公比q是否為1；對等比數列的性質應用要靈活，運算中要注意方程思想的應用基礎梳理1等比數列的定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這

9、個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示2等比數列的通項公式設等比數列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.3等比中項若G2a·b(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣：anam·qnm，(n，mN)(2)若an為等比數列，且klmn(k，l，m，nN)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數相同)是等比數列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數列(4)公比不為1的等比數列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數列，

10、其公比為qn.5等比數列的前n項和公式等比數列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當q1時，Snna1；當q1時，Sn. 一個推導利用錯位相減法推導等比數列的前n項和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 兩個防范(1)由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數列，還要驗證a10.(2)在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導致解題失誤三種方法等比數列的判斷方法有：(1)定義法：若q(q為非零常數)或q(q為非零常數且n2且nN*)，則an是

11、等比數列(2)中項公式法：在數列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數列an是等比數列(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數，nN*)，則an是等比數列注：前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列雙基自測1(人教A版教材習題改編)在等比數列an中，如果公比q1，那么等比數列an是()A遞增數列 B遞減數列C常數列 D無法確定數列的增減性解析當a10,0q1，數列an為遞減數列，當q0，數列an為擺動數列答案D2已知an是等比數列，a22，a5，則公比q等于()解析由題意知：q3，q.3在等比數列an中，a44，則a2·a

12、6等于()解析由等比數列的性質得：a2a6a16.4設Sn為等比數列an的前n項和，8a2a50，則()解析設等比數列的首項為a1，公比為q.因為8a2a50，所以8a1qa1q40.q380，q2，·11.5(2011·廣東)等差數列an前9項的和等于前4項的和若a11，aka40，則k_.解析設an的公差為d，由S9S4及a11，得9×1d4×1d，所以d.又aka40，所以0，即k10.考向一等比數列基本量的計算【例1】(2011·全國)設等比數列an的前n項和為Sn，已知a26,6a1a330.求an和Sn.審題視點 列方程組求首項a1

13、和公差d.解設an的公比為q，由題設得解得或當a13，q2時，an3·2n1，Sn3·(2n1)；當a12，q3時，an2·3n1，Sn3n1. 等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解【訓練1】 等比數列an滿足：a1a611，a3·a4，且公比q(0,1)(1)求數列an的通項公式；(2)若該數列前n項和Sn21，求n的值解(1)a3·a4a1·a6，又a1a611，故a1，a6看作方程x211x0的兩根，又q(0,1)a1，a6，q5，

14、q，an·n1·n6.(2)由(1)知Sn21，解得n6.考向二等比數列的判定或證明【例2】(2012·長沙模擬)已知數列an滿足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數列；(2)求an的通項公式審題視點 第(1)問把bnan1an中an1換為整理可證；第(2)問可用疊加法求an.(1)證明b1a2a11.當n2時，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1為首項，為公比的等比數列(2)解由(1)知bnan1ann1，當n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11n211n1.當n1時，111a1，ann1(

15、nN*) 證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可【訓練2】 (2011·四川)設d為非零實數，anCd2Cd2(n1)Cdn1nCdn(nN*)(1)寫出a1，a2，a3并判斷an是否為等比數列若是，給出證明；若不是，說明理由；(2)設bnndan(nN*)，求數列bn的前n項和Sn.解(1)由已知可得a1d，a2d(1d)，a3d(1d)2.當n2，k1時，CC，因此anCdkCdkdCdkd(d1)n1.由此可見，當d1時，an是以d為首項，d1為公比的等比數列；當d1時，

16、a11，an0(n2)，此時an不是等比數列(2)由(1)可知，and(d1)n1，從而bnnd2(d1)n1Snd212(d1)3(d1)2(n1)(d1)n2n(d1)n1當d1時，Snd21.當d1時，式兩邊同乘d1得(d1)Snd2(d1)2(d1)2(n1)(d1)n1n(d1)n，式相減可得dSnd21(d1)(d1)2(d1)n1n(d1)nd2.化簡即得Sn(d1)n(nd1)1.綜上，Sn(d1)n(nd1)1.考向三等比數列的性質及應用【例3】已知等比數列前n項的和為2，其后2n項的和為12，求再后面3n項的和審題視點 利用等比數列的性質：依次n項的和成等比數列解Sn2，其

17、后2n項為S3nSnS3n212，S3n14.由等比數列的性質知Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列，即(S2n2)22·(14S2n)解得S2n4，或S2n6.當S2n4時，Sn，S2nSn，S3nS2n，是首項為2，公比為3的等比數列，則S6nSn(S2nSn)(S6nS5n)364，再后3n項的和為S6nS3n36414378.當S2n6時，同理可得再后3n項的和為S6nS3n12614112.故所求的和為378或112. 本題利用了等比數列的性質中的第4條，其和Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數列，若把數列an平均分成若干組，其積也為等比數列【訓練3】 (2011&#

18、183;北京)在等比數列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_.解析設等比數列an的公比為q，則a4a1q3，代入數據解得q38，所以q2；等比數列|an|的公比為|q|2，則|an|×2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n1規(guī)范解答11怎樣求解等差與等比數列的綜合性問題【問題研究】 等差數列和等比數列既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，高考作為考查學生綜合能力的選拔性考試，將兩類數列綜合起來考查是高考的重點.這類問題多屬于兩者基本運算的綜合題以及相互之間的轉化.【解決方案】 首先求解出兩個數列的基本量：首項和公差及公比，再靈活利

19、用性質轉化條件，以及利用等差、等比數列的相關知識解決.【示例】(本題滿分12分)(2011·湖北)成等差數列的三個正數的和等于15，并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列bn中的b3、b4、b5.(1)求數列bn的通項公式；(2)數列bn的前n項和為Sn，求證：數列是等比數列 正確設等差數列的三個正數，利用等比數列的性質解出公差d，從而求出數列bn的首項、公比；利用等比數列的定義可解決第(2)問解答示范 (1)解設成等差數列的三個正數分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.(2分)所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，由(7d)(18

20、d)100，解得d2或d13(舍去)(4分)故bn的第3項為5，公比為2，由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bn是以為首項，2為公比的等比數列，其通項公式為bn·2n15·2n3.(6分)(2)證明數列bn的前n項和Sn5·2n2，即Sn5·2n2.(8分)所以S1，2.(10分)因此是以為首項，公比為2的等比數列(12分) 關于等差(比)數列的基本運算，其實質就是解方程或方程組，需要認真計算，靈活處理已知條件容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對根的符號進行判斷；二是

21、不能靈活運用等差(比)數列的基本性質轉化已知條件，導致列出的方程或方程組較為復雜，增大運算量【試一試】 (1)已知兩個等比數列an，bn，滿足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33，若數列an唯一，求a的值；(2)是否存在兩個等比數列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數列？若存在，求an，bn的通項公式；若不存在，說明理由嘗試解答(1)設an的公比為q，則b11a，b22aq，b33aq2，由b1，b2，b3成等比數列得(2aq)2(1a)(3aq2)，即aq24aq3a10.由a0得，4a24a0，故方程有兩個不同的實根再由an唯一，知方程必

22、有一根為0，將q0代入方程得a.(2)假設存在兩個等比數列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數列設an的公比為q1，bn的公比為q2，則b2a2b1q2a1q1，b3a3b1qa1q，b4a4b1qa1q.由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差數列得即×q2得a1(q1q2)(q11)20，由a10得q1q2或q11.)當q1q2時，由得b1a1或q1q21，這時(b2a2)(b1a1)0，與公差不為0矛盾)當q11時，由得b10或q21，這時(b2a2)(b1a1)0，與公差不為0矛盾綜上所述，不存在兩個等比數列an，bn使b1a1，b2a

23、2，b3a3，b4a4成公差不為0的等差數列基礎檢測2已知等比數列an的各項均為正數，若a13，前三項的和為21，則a4a5a6_.解析：由題意ana1qn1(q>0)，a1a2a321，即即1qq27，解得q2.所以a4a5a6(a1a2a3)q321×8168.3在數列an中，an1can(c為非零常數)，前n項和為Sn3nk，則實數k的值為_解析：依題意得，數列an是等比數列，a13k，a2S2S16，a3S3S218，則6218(3k)，由此解得k1.4(2014·江西省七校聯(lián)考)設各項都是正數的等比數列an，Sn為前n項和，且S1010，S3070，那么S4

24、0_.解析：依題意，數列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比數列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030；又S20>0，因此S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，S40150.6(2013·南通三模)已知三個數xlog27 2，xlog92，xlog32成等比數列，則公比為_解析：由條件得(xlog92)2(xlog272)(xlog32)，展開得x2log32·x(log32)2x2log32·x(log32)2，解得xlog32，從而公

25、比q3.8(2014·常州調研)已知數列an的前n項的和為Sn，若Sn3n1(nN*)，則的值為_解析：依題意可知數列an為等比數列，且公比q3，從而3.9(2014·蘇北四市質檢)設數列an的前n項和為Sn，已知Sn1pSnq(p，q為常數，nN*)，且a12，a21，a3q3p.(1)求p，q的值；(2)求數列an的通項公式；(3)是否存在正整數m，n使<成立？若存在，求出所有符合條件的有序數對(m，n)；若不存在，請說明理由解：(1)由題意知即解得(2)由(1)知，Sn1Sn2.當n2時，SnSn12，得an1an(n2)又a2a1，所以an1an(nN*)，所

26、以數列an是首項為2，公比為的等比數列，所以an.(3)由(2)得Sn4(1)假設存在符合條件的m，n.則由<，得<，即<，即>.因為2m1>0，所以2n(4m)2>0，所以m<4，且2<2n(4m)<2m14.(*)因為mN*，所以m1或2或3.當m1時，由(*)得2<2n×3<8，所以n1；當m2時，由(*)得2<2n×2<12，所以n1或2；當m3時，由(*)得2<2n<20，所以n2或3或4.綜上可知，存在符合條件的所有有序數對(m，n)為(1,1)，(2,1)，(2,2)，(

27、3,2)，(3,3)，(3,4)第卷：提能增分卷1(2013·南京、鹽城一模)記等比數列an的前n項積為Tn(nN*)，若am1·am12am0，且T2m1128，則m_.2(2014·蘇中三市、連云港、淮安調研)各項均為正數的等比數列an中，a2a11.當a3取最小值時，數列an的通項公式an_.3(2014·南京、鹽城一模)若數列an是首項為612t，公差為6的等差數列，數列bn的前n項和為Sn3nt，其中t為實常數(1)求數列an和bn的通項公式；(2)若數列bn是等比數列，求證：對于任意的n(nN*)，均存在正整數cn，使得bn1acn，并求數列

28、cn的前n項和Tn；(3)設數列dn滿足dnan·bn.若dn中不存在這樣的項dk，使得“dk<dk1”與“dk<dk1”同時成立(k2，kN*)，求實數t的取值范圍4(2014·蘇北三市統(tǒng)考)已知a>0，b<0，且ab0，令a1a，b1b，且對任意的正整數k，當akbk0時，ak1akbk，bk1bk；當akbk<0時，bk1akbk，ak1ak.(1)求數列anbn的通項公式；(2)若對任意的正整數n，anbn<0恒成立，問：是否存在a，b，使得bn為等比數列？若存在，求出a，b滿足的條件；若不存在，請說明理由；(3)若對任意的正整數

29、n，anbn<0，且b2nb2n1，求數列bn的通項公式第卷：提能增分卷1解析：因為an是等比數列，所以am1am1a.又因為am1am12am0，即a2am0，所以am2(am0舍去)又T2m1a1a2a2m2a2m1a12827，所以2m17，解得m4.2解析：法一：由aa1a3，a2a11及an>0得a3a124，當且僅當a11時取等號，此時a22，則an2n1.法二：設公比為q(q>0)，則由條件得a1qa11，即q，從而a3a1q2，以下同解法一3解：(1)因為an是等差數列，所以an(612t)6(n1)6n12t(nN*)因為數列bn的前n項和為Sn3nt，所以當n2