概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章

1、二、單個(gè)正態(tài)總體均值和方差二、單個(gè)正態(tài)總體均值和方差一一 、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 第八章假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)三、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)三、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際工作中，這些結(jié)論可能正確、可能錯(cuò)誤。 若視這些結(jié)論為假設(shè)，問題在于我們是否應(yīng)該接受這些假設(shè)呢？例如例如，我們對(duì)某產(chǎn)品進(jìn)行了一些工藝改造， 或研制了新的產(chǎn)品。 要比較原產(chǎn)品和新產(chǎn)品在某一項(xiàng)指標(biāo)上的差異，這樣我們面臨選擇是否接受假設(shè)“新產(chǎn)品的某一項(xiàng)指標(biāo)優(yōu)于老產(chǎn)品”。我們必須作一些試驗(yàn)，也就是抽樣。根據(jù)得到的樣本觀察值nxxx,21前人對(duì)某些問題得到了初步的結(jié)論。來作出決定。 假設(shè)檢驗(yàn)問題就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)

2、關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.8.1 參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的思想?yún)?shù)假設(shè)檢驗(yàn)的思想一、假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法一、假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法實(shí)際推斷原理實(shí)際推斷原理（小概率原理小概率原理）。通過大量實(shí)踐， 對(duì)于小概率事件（即在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小的事情）總結(jié)出一條原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生并稱此為實(shí)際推斷原理，其為判斷假設(shè)的根據(jù)。例例1 某車間生產(chǎn)銅絲，X的大小。銅絲的主要質(zhì)量指標(biāo)是折斷力由資料可認(rèn)為)8 ,570(2NX今換了一批原料，從性能上看， 估計(jì)折斷力的方差不會(huì)有變換， 但不知折斷力的大小有無差別。解解 此問題就是已知方差228假設(shè)：570:00H抽出10

3、個(gè)樣品，測得其折斷力為584596572570570572568570578572問折斷力的大小變沒變。01:H和原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 X是的無偏估計(jì)，的無偏估計(jì)，如果我們假設(shè)如果我們假設(shè)H0 為真，則為真，則0 x與偏差偏差0|x-應(yīng)該很小應(yīng)該很小, 0|x-的大??？的大?。繂栴}轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為怎樣衡量怎樣衡量0|/xn-的大?。康拇笮。窟x定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)0k ，如果，如果0|,/xkn-就認(rèn)為就認(rèn)為H0 不真，拒絕原假設(shè)不真，拒絕原假設(shè)H0 ；反之；反之0|,/xkn-問題問題：如何衡量：如何衡量則接受原假設(shè)則接受原假設(shè)H0 。機(jī)

4、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 問題轉(zhuǎn)化為問題轉(zhuǎn)化為如何選擇如何選擇 k , 用什么標(biāo)準(zhǔn)選擇用什么標(biāo)準(zhǔn)選擇k ？無論怎樣選擇無論怎樣選擇k 都可能犯兩類錯(cuò)誤：都可能犯兩類錯(cuò)誤：H0為真時(shí)拒絕為真時(shí)拒絕H0第一類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤（棄真）（棄真）第二類錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤（取偽）（取偽）顯著性檢驗(yàn)：顯著性檢驗(yàn)：只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率。而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率。其中其中稱為顯稱為顯著性水平著性水平H0不真時(shí)接受不真時(shí)接受H0|00為真拒絕HHPknxP0N(0,1)H0為真2zk ,20znx即，若觀察值滿足則拒絕H0。較大，如果|0

5、x。就懷疑0|00為真拒絕HHP05. 0,96. 1055. 28102 . 51085702Zx例1中，故拒絕H0.用實(shí)際推斷原理解釋：用實(shí)際推斷原理解釋：,05. 001. 0，一般較小，取20znxP當(dāng)H0為真時(shí)，是一個(gè)小概率事件，05. 0,96. 1055. 28102 . 51085702Zx現(xiàn)在這個(gè)小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了， 所以有理由懷疑H0的正確性，即否定H0。下，檢驗(yàn)假設(shè)在顯著性水平敘述成：0100:,:HH備擇假設(shè)。1H原假設(shè)或零假設(shè)，0H雙邊假設(shè)檢驗(yàn)0100:,:HH右邊檢驗(yàn)0100:,:HH左邊檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)四步：1、建立假設(shè)；2、構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量；3、寫出拒絕域；4、

6、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)行判斷。0/xzn-檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量/2| zz為拒絕域，為拒絕域，/2z為臨界點(diǎn)為臨界點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)于給定的顯著水平對(duì)于給定的顯著水平，我們來求右邊檢驗(yàn)問題，我們來求右邊檢驗(yàn)問題0010:HH的拒絕域。的拒絕域。2( ,)XN 總體總體，其中，其中已知，已知，X是的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)拒絕域形式為拒絕域形式為xk0000/xkPxkPnn 00/xkPnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (0,1)/XNn-z0/kzn-0kzn所以所以拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?/xxkzzn同理同理左邊假設(shè)檢驗(yàn)左邊假設(shè)檢驗(yàn)0010:HH拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?/xzzn 8

7、.2 單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體),(2NXnXXX,21為X的樣本。我們對(duì),2作顯著性檢驗(yàn)一、總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1、已知、已知2，檢驗(yàn)，檢驗(yàn)00:H01:H統(tǒng)計(jì)量：nxZ0U 檢驗(yàn)拒絕域：.|20znxZ,:00H01:H統(tǒng)計(jì)量：nxZ0拒絕域：zZ 右邊檢驗(yàn),:00H01:H統(tǒng)計(jì)量：nxZ0拒絕域：zZ左邊檢驗(yàn)?zāi)耻囬g用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖.包得的袋裝糖當(dāng)機(jī)器正常時(shí),某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常,包裝的糖9袋,稱得凈重為(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512問機(jī)器是否正常

8、?例例2 2重是一個(gè)隨機(jī)變量X, 且),(2NX其均值為=0.5公斤, 標(biāo)準(zhǔn)差=0.015公斤.隨機(jī)地抽取它所5 . 0:0H5 . 0:1H解解：先提出假設(shè)（=0.05）nxZ0統(tǒng)計(jì)量：拒絕域：.|20znxZ代入計(jì)算，96. 12 . 220Znx511. 0)512. 0497. 0(91x,96. 1025. 02 ZZ常，認(rèn)為包裝機(jī)工作不正于是拒絕0H機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 30:40H1:40H解解 先提出假設(shè)先提出假設(shè)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)閦z某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率X 服從服從，正常時(shí)均值為，正常時(shí)均值為=40=40生產(chǎn)

9、一批推進(jìn)器，從中隨機(jī)取生產(chǎn)一批推進(jìn)器，從中隨機(jī)取n n = 25= 25只，測得燃燒率只，測得燃燒率得樣本均值得樣本均值，問工藝革新后燃燒率，問工藝革新后燃燒率正態(tài)分布，即正態(tài)分布，即),(2NXcm/scm/s，標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差=2cm/s=2cm/s（不變）（不變）, ,現(xiàn)用新的生產(chǎn)方法現(xiàn)用新的生產(chǎn)方法( (方差不變方差不變) )（ =0.05=0.05）41.25/xcm s是否有顯著的提高是否有顯著的提高? ?計(jì)算計(jì)算0|3.125/xzn-機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0.051.645zz查表查表zz所以落在了拒絕域之內(nèi)，拒絕所以落在了拒絕域之內(nèi)，拒絕H0 ，接受，接受H1 認(rèn)為

10、工藝革新后燃燒率有顯著的提高。認(rèn)為工藝革新后燃燒率有顯著的提高。2、未知、未知2，檢驗(yàn)，檢驗(yàn)00:H01:H未知2，可用樣本方差212)(11nkkXXnS代替20100:HH統(tǒng)計(jì)量：nsxT0T 檢驗(yàn)拒絕域：) 1(|20ntnsxT,:00H01:H統(tǒng)計(jì)量：nsxT0拒絕域：) 1( ntT右邊檢驗(yàn),:00H01:H統(tǒng)計(jì)量：nsxT0拒絕域：) 1( ntT左邊檢驗(yàn)抽取6件, 得尺寸數(shù)據(jù)如下:),(2NX232.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03問這批產(chǎn)品是否合格?某工廠生產(chǎn)的一種螺釘， 標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品其長度 X 假定服從正

11、態(tài)分布 ，未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中解：解：例例4 4（ =0.01）5 .32:5 .32:10HH，nsxT0統(tǒng)計(jì)量：拒絕域：) 1(|20ntnsxT0322. 4)5()5(005. 02 tt997. 2|T將數(shù)據(jù)代入計(jì)算，0322. 4，認(rèn)為產(chǎn)品合格。所以接受0H測量值X服從正態(tài)分布,（取 =0.05 )?解解: :提出假設(shè) H0：=112.6；H1： 112.6nsxT0用熱敏電阻測溫儀間接測量地?zé)峥碧骄诇囟?重復(fù)測量7次，測得溫度():112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6而用某種精確辦法測得溫度為112.6(可看作真值),試問

12、用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統(tǒng)偏差(設(shè)溫度取統(tǒng)計(jì)量例例5 5拒絕域：) 1(|20ntnsxT由樣本算得466. 0|7135. 16 .1128 .112|0T接受H0，即用熱敏電阻測溫儀間接測溫?zé)o系統(tǒng)偏差。22135. 18 .112sx4469. 2)6(025. 0t解解: :nsxT0:統(tǒng)計(jì)量得拒絕域?yàn)門 t0.05(9)=1.8331例例6 6 某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強(qiáng)度X的均值為10620 (kg/mm2)今改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取10根,測得抗拉強(qiáng)度(kg/mm2)為: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557,

13、 10581, 10666, 10670. 認(rèn)為 ,取=0.05 ,問新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否比過去生產(chǎn)的合金線抗拉強(qiáng)度要高?),(2NX0100:HH，8331. 145. 01081106204 .106310T所以接受H0。代入計(jì)算，思考：思考：如果用左邊檢驗(yàn)，出現(xiàn)什么結(jié)果？正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)均值單個(gè)總體一),(.2NX檢驗(yàn)）的檢驗(yàn)（已知，關(guān)于Z2.1nXZ0檢驗(yàn)）的檢驗(yàn)（未知，關(guān)于t2.20100:HHnSXT0二、關(guān)于二、關(guān)于2假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)在顯著性水平條件下檢驗(yàn)假設(shè)20212020:HH其中0是已知常數(shù)，例例1 已知某種延期藥靜止燃燒時(shí)間T,

14、),(2NT今從一批延期藥中任取10副測得靜止燃燒時(shí)間（單位秒）數(shù)據(jù)為3804. 1857. 13836. 14059. 13405. 13424. 14021. 13789. 14053. 13760. 1問：是否可信這批延期藥的靜止燃燒時(shí)間T的方差為)05. 0(.025. 022解：解：提出假設(shè)221220025. 0:025. 0:HH提出假設(shè)20212020:HH由于s 2集中了2的信息，自然想用s 2與2進(jìn)行比較202/S如果H0為真，所以取統(tǒng)計(jì)量2022) 1(sn 是小概率事件。一般應(yīng)該在1附近擺動(dòng)，否則擺動(dòng)很大。|00為真拒絕HHP) 1() 1(22021202ksnPks

15、nP)|(|21202kks或拒絕的標(biāo)準(zhǔn)就是H0為真) 1(2n)(22n2 yfx)(221n2) 1() 1(22021202ksnPksnP) 1(221nk) 1(,2212nk即拒絕域?yàn)椋? 1() 1(2212222nn或本題7 . 2) 9 () 1(2975. 0221n023.19) 9 () 1(2025. 022n根據(jù)樣本值算得6176. 7025. 0023. 09222023.197 . 22則接受H0 。22025. 0可信這批延期藥的靜止燃燒時(shí)間T的方差為顯然機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22220010:HH雙邊假設(shè)檢驗(yàn)雙邊假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?21/

16、220(1)(1)nsn或或22/220(1)(1)nsn由上例可得由上例可得右邊假設(shè)檢驗(yàn)右邊假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)樽筮吋僭O(shè)檢驗(yàn)左邊假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?2220010:HH22220010:HH22120(1)(1)nsn2220(1)(1)nsn（ =0.05）解解: : 提出假設(shè)某次統(tǒng)考后隨機(jī)抽查26份試卷, 測得平均成績:試分析該次考試成績標(biāo)準(zhǔn)差是否為已知該次考試成績?nèi)〗y(tǒng)計(jì)量例例2 2查表分分，樣本方差1625 .752Sx分左右。12),(2NX12:12:100HH2022) 1(sn 12.13)25(2975. 0646.40)25(2025. 0根據(jù)樣本值算得125.2

17、8121622522646.4012.132故接受H0 。顯然表明考試成績標(biāo)準(zhǔn)差與12無顯著差異。，：；：左邊檢驗(yàn)：20212020HH；拒絕域：) 1(212n，：；：右邊檢驗(yàn)：20212020HH。拒絕域：) 1(22n20212020:HH統(tǒng)計(jì)量2022) 1(sn 拒絕域：) 1() 1(2212222nn或(=0.05) , 熔化時(shí)間80802120：，：HH拒絕域?yàn)?0229S統(tǒng)計(jì)量：7 .13808 .12192所以接受 H0919.61)9()9(05.0222例例3 3電工器材廠生產(chǎn)一批保險(xiǎn)絲，取10根測得其熔化時(shí)間（min）為42, 65, 75, 78, 59, 57,

18、68, 54, 55, 71.問是否可以認(rèn)為這批保險(xiǎn)絲合格？),(2NX解解以往合格的標(biāo)準(zhǔn)是融化時(shí)間的方差不大于80，16.919某學(xué)生參加體育培訓(xùn)班結(jié)束時(shí)其跳遠(yuǎn)成績某學(xué)生參加體育培訓(xùn)班結(jié)束時(shí)其跳遠(yuǎn)成績X 近似近似例例4 4服從正態(tài)分布，鑒定成績是均值為服從正態(tài)分布，鑒定成績是均值為576cm，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為8cm，若干天后對(duì)該學(xué)生獨(dú)立抽查，若干天后對(duì)該學(xué)生獨(dú)立抽查10次，得跳遠(yuǎn)成績次，得跳遠(yuǎn)成績數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為578，572，580，568，572，570，572，570，596，584，問該學(xué)生跳遠(yuǎn)成績水平是否與鑒定成績有，問該學(xué)生跳遠(yuǎn)成績水平是否與鑒定成績有顯著差異？（顯著差異？（=0.

19、05）解解1110,576.2niinxxn22211()74.17781niisxnxn 提出假設(shè)提出假設(shè)取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量查表查表(1)222(1)22001:8:8HH222(1)8nS20.975(9)2.70020.025(9) 19.023拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?2298s9 74.177810.4364其中其中221/2(1)n或或22/2(1)n22.719.023由于由于即可以認(rèn)為即可以認(rèn)為,未落在拒絕域之內(nèi)未落在拒絕域之內(nèi),故接受故接受H0 。228 提出假設(shè)提出假設(shè)取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量查表查表(2)(2)01:576:576HH5768/XUn/20.0251.96zz拒絕域?yàn)榫芙^域

20、為576|8/xUn576.25760.0798/ 10其中其中/2|Uz0.079綜合綜合與與,該生跳遠(yuǎn)成績水平與鑒定成績無顯著差異該生跳遠(yuǎn)成績水平與鑒定成績無顯著差異.因此未落在拒絕域之內(nèi)因此未落在拒絕域之內(nèi),故接受故接受H0 ,即可以認(rèn)為即可以認(rèn)為5768.3 兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)11,nXX設(shè)為總體211(,)XN 的一個(gè)樣本21,nYY222(,)YN 的一個(gè)樣本, X與Y相互獨(dú)立。為總體一、兩個(gè)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)2212,均為已知，1、21檢驗(yàn),:210H,:211H統(tǒng)計(jì)量：222121nnyxU拒絕域：.|2zU ,:210H,:21

21、1H統(tǒng)計(jì)量：222121nnyxU拒絕域：zU ,:210H,:211H統(tǒng)計(jì)量：222121nnyxU拒絕域：zU1222212未知未知, 關(guān)于關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)雙邊假設(shè)檢驗(yàn)雙邊假設(shè)檢驗(yàn)012112:HH其中為已知常數(shù)。統(tǒng)計(jì)量222112212(1)(1)2nSnSSnn2111nnsyxTw左邊假設(shè)檢驗(yàn)左邊假設(shè)檢驗(yàn)右邊假設(shè)檢驗(yàn)右邊假設(shè)檢驗(yàn)故拒絕域?yàn)楣示芙^域?yàn)?21212| |(2)1/1/xyttnnsnn12(2)ttnn 12(2)ttnn012112:HH012112:HH拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)榫芙^域?yàn)榫芙^域?yàn)樽⒁猓鹤⒁猓涸陉P(guān)于12的假設(shè)檢驗(yàn)中，通常=0，即檢驗(yàn)12是否成立。相互獨(dú)立,

22、從X 中取10個(gè)樣本，問能否218.04,0.0204xS12例例1 1 假設(shè)總體認(rèn)為2212(,),(,),XNYNXY 與從Y 中取10個(gè)樣本，227.94,0.0825yS？（=0.05）解解 提出假設(shè)012112:0:0HH22212未知故拒絕域?yàn)?21212| |(2)1/1/xyttnnsnn計(jì)算2212990.22718sss8.047.94| |0.9850.227 1/101/10t/2120.025(2)(18)2.1009tnnt0.985未落在拒絕域之內(nèi),接受H0 ,可以認(rèn)為12二、兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)二、兩個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)12和均未知的條件下雙邊假設(shè)檢驗(yàn)2222012112:HH22211112222222/(1,1)/SSFF nnSS選取統(tǒng)計(jì)量