對于數(shù)碼相機(jī)定位問題的分析報告

1、 . . . 高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括、電子、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話

2、）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱?duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：對于數(shù)碼相機(jī)定位問題的分析摘要：本文針對雙目定位的數(shù)碼相機(jī)相對位置的標(biāo)定問題進(jìn)行了深入研究。對于問題一，建立了世界坐標(biāo)系和相機(jī)成像坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣，可以根據(jù)相機(jī)與靶面任意的相對位置關(guān)系求

3、得靶標(biāo)圓心的像坐標(biāo)；對于問題二，針對所給靶標(biāo)的特征提出了質(zhì)心模型、切線模型、解析法模型三種求靶標(biāo)圓心在像坐標(biāo)投影點(diǎn)的模型，并就所給的靶標(biāo)相片求出了圓心投影的像坐標(biāo)。對于問題三，應(yīng)用了問題一中轉(zhuǎn)換矩陣，建立了判定問題二中模型優(yōu)劣的仿真算法，對問題二中提出的三種模型進(jìn)行了優(yōu)劣分析。對于問題四，應(yīng)用Roger Y. Tsai的單部相機(jī)部和外部參數(shù)的標(biāo)定算法，不用求解多元非線性方程組，直接用最小二乘法求解超定線性方程組，即可求得相機(jī)坐標(biāo)系的變換矩陣和像距，從而能夠確定兩相機(jī)的相對方位和位置關(guān)系。本文得到的主要結(jié)論如下：問題一：求解靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)的算法為世界坐標(biāo)系和相機(jī)成像坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換；問題二：

4、利用三種模型得出問題所給靶標(biāo)相片中靶標(biāo)圓心投影位置的像坐標(biāo)，如下表所示；質(zhì)心模型切線模型解析法模型XYXYXYA322.8948189.4935323.2771189.9167323.0474189.6938B422.9960196.9423423.2943197.3401423.0209197.0611C639.8994213.1522640.1433213.3946640.1127213.2289D582.7329502.9824583.0062503.2098582.8821503.1650E284.6657501.7731284.9940502.0426284.8034502.0957

5、問題三：在像平面和物平面夾角不是很大的情況下，三種模型的精度相差不大；像平面和物平面夾角比較大時，切線模型的精度大于解析法模型，質(zhì)心模型的精度最差。問題四：運(yùn)用相機(jī)外參數(shù)的標(biāo)定算法和問題二得到的靶標(biāo)圓心和切點(diǎn)坐標(biāo)，得題圖三對應(yīng)相機(jī)的相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣與平移向量分別為，。關(guān)鍵詞：機(jī)器視覺、坐標(biāo)變換、透視投影、相機(jī)標(biāo)定對于數(shù)碼相機(jī)定位問題的分析一、 問題重述雙目視覺定位系統(tǒng)是機(jī)器視覺學(xué)科的主要研究容，系統(tǒng)通過處理放在兩個不同位置的攝像機(jī)捕捉到的圖像，對空間中的某點(diǎn)或某物體進(jìn)行定位。這種技術(shù)在交通、醫(yī)療、工業(yè)、軍事等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。要使定位系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的定位，必須知道兩臺相機(jī)精確的相對位置關(guān)系

6、，可以使用如下方法對兩臺相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定以獲得相機(jī)的相對位置：在一塊平板上畫若干個點(diǎn)， 同時用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會變形，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。本課題要求完成下列任務(wù)：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的焦點(diǎn)，x-y平面平行于像平面；（2） 由靶標(biāo)與其像，

7、計算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)（3） 設(shè)計一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并對方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二、 問題分析該問題實(shí)際上是求解不同坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的問題。對于第一個問題，首先需要解決的是空間圓成像的映射問題。由于實(shí)際情況中維度的差距，可以考慮將成像的模型設(shè)置為小孔成像的模型，從而省略了成像的畸變對定位造成的影響對問題進(jìn)行簡化，對于由此造成的誤差在后面的模型分析中進(jìn)行討論?？臻g圓小孔成像中有一些基本的原則和理論需要進(jìn)行分析，然后以此進(jìn)行建模，考慮空間中各個參考系之間的坐標(biāo)變換關(guān)系，通過旋轉(zhuǎn)、平移等方式達(dá)到點(diǎn)的映射的目的

8、。對于問題二，即考慮上述過程的反向過程：已知像的信息和原象的信息，要求得出原象的圓心在像上的位置。一個樸素的想法就是考慮質(zhì)心的對應(yīng)關(guān)系，如果能找到像和原象的質(zhì)心的對應(yīng)關(guān)系，就求出了圓心在像平面上的坐標(biāo)。但是此種做法缺乏理論依據(jù)，只是根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)得出，但不失為一種參考的方法，可以將其與其他方法進(jìn)行對比，選出更優(yōu)的方法。再者，還可以通過切線的垂線的交點(diǎn)來確定圓心。首先對給出的像的信息進(jìn)行處理，擬合出像中的曲線方程，接著在物的由物平面中的切點(diǎn)求出它們在相平面中的坐標(biāo)（用問題一的方法），之后就可以由切點(diǎn)求出切線的方程從而得出圓心的坐標(biāo)。另一個想法是解析的方法。通過空間解析幾何和平面上線、角的關(guān)系計算出

9、圓心相對于空間坐標(biāo)系的坐標(biāo)，并由第一問中各坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換關(guān)系就可以得出圓心在像平面上的坐標(biāo)。以上方法都在理論推導(dǎo)的過程中進(jìn)行了一些近似從而會導(dǎo)致系統(tǒng)誤差，所以在由上述一些方法對問題進(jìn)行分析過后還需要對它們的精確程度和穩(wěn)定性進(jìn)行分析。此即問題三的要求。而對于不同的方法，應(yīng)采用不同的誤差分析方法以得出他們的精度和穩(wěn)定性。對于質(zhì)心的方法，由于其缺乏理論根據(jù)，所以只能將其結(jié)果與其他的方法的結(jié)果進(jìn)行比較以考慮其精度；對于切線的方法，由于計算機(jī)擬合的過程很精確（點(diǎn)足夠多的情況下），且在之后的處理過程中沒有進(jìn)行近似處理，其精度的討論應(yīng)該也著重與其他方法的比較；對于解析的方法，由于其通過公式的推導(dǎo)，經(jīng)過適當(dāng)

10、的近似得到結(jié)果，因此應(yīng)著重討論其近似時產(chǎn)生的誤差。而對于穩(wěn)定性的討論，應(yīng)朝著考慮靶標(biāo)的移動、標(biāo)定形狀、噪聲對方法精度的影響。最后一問要求通過靶標(biāo)的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)和靶標(biāo)在兩部相機(jī)的成像坐標(biāo)系中的像點(diǎn)坐標(biāo)來確定兩部相機(jī)的相對位置。具體來說，即已知靶標(biāo)上若干物點(diǎn)的世界坐標(biāo)和成像坐標(biāo)，尋找標(biāo)定兩個相機(jī)坐標(biāo)系相對世界坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣 和平移向量 以與相機(jī)的部參數(shù)的算法。由這四個矩陣能夠自然地求得兩相機(jī)的相對位置。三、 模型假設(shè)1本題中不考慮鏡頭畸變；2本題中相機(jī)模型為小孔模型；3各空間坐標(biāo)軸均為右手系。四、 符號與術(shù)語說明透射投影：坐標(biāo)變換中的旋轉(zhuǎn)矩陣。：坐標(biāo)變換中的平移向量。：像距，光心到像平面的距離

11、。世界坐標(biāo)系：，被拍攝物體所在坐標(biāo)系。相機(jī)坐標(biāo)系：，以相機(jī)光軸為，光軸平行于相機(jī)像平面。成像坐標(biāo)系：，像平面坐標(biāo)系。五、 模型的建立與求解問題一該問要求靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面上的坐標(biāo)，即世界坐標(biāo)系（）、相機(jī)坐標(biāo)系（）和成像坐標(biāo)系（）三個坐標(biāo)系之間的點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。1 世界坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換該轉(zhuǎn)換用旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量來描述，世界坐標(biāo)和相機(jī)坐標(biāo)間滿足下式：其中（具體確定見下文），即世界坐標(biāo)先旋轉(zhuǎn)矩陣，再將坐標(biāo)原點(diǎn)平移向量成為相機(jī)坐標(biāo)。為方便表達(dá)，上式亦可表示為，其中，而旋轉(zhuǎn)矩陣的確定有多種方法，如繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，歐拉角旋轉(zhuǎn)變換等，考慮到直觀易用性，本文選取繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換來確定矩

12、陣，分別為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換時繞固定的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)夾角，此時為，圖1 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)又應(yīng)用z-x-y旋轉(zhuǎn)順序，即先繞世界坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)，再繞其x軸旋轉(zhuǎn)，最后繞其y軸旋轉(zhuǎn)，但每次旋轉(zhuǎn)都是以固定的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)軸為轉(zhuǎn)軸的。圖2 相機(jī)坐標(biāo)系和成像坐標(biāo)系2 相機(jī)坐標(biāo)系和成像坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換對于該問題，用小孔模型代表相機(jī)工作原理，相機(jī)坐標(biāo)系以小孔（光心）為坐標(biāo)原點(diǎn)，以光軸為軸正方向，而成像平面坐標(biāo)系則平行于相機(jī)坐標(biāo)系的平面，如圖2所示。原理上說，成像平面應(yīng)當(dāng)在物點(diǎn)P 和光心O連線的延長線上，完成小孔成像，但由于成倒像，為處理和討論方便，將成像平面放置在光心和物點(diǎn)之間，距光心的位置上，此處為像距。由

13、小孔成像原理和相似三角形知識，得到相機(jī)坐標(biāo)系和成像坐標(biāo)系之間的關(guān)系為：，其中，為P點(diǎn)的成像坐標(biāo)，為P點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)。矩陣形式表示為：。綜上所述，可得世界坐標(biāo)系和成像坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系為： (1)在相機(jī)部參數(shù)都確定的情況下，M為一常矩陣，為隨著世界坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)變化的量，為列向量的第三項(xiàng)元素。因而得到了世界坐標(biāo)系和成像坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。對于本小問，輸入為世界坐標(biāo)系中靶標(biāo)的5個圓心位置以與數(shù)碼相機(jī)的6個位置參數(shù)（旋轉(zhuǎn)矩陣中的3個旋轉(zhuǎn)角度和平移向量的3個變量），要求輸出靶標(biāo)圓心在像平面上的坐標(biāo)。對于靶標(biāo)，定義如圖3的世界坐標(biāo)系，5個圓心放置在xoy平面上，其坐標(biāo)如表1所示；相機(jī)的位

14、置參數(shù)則由外部設(shè)定6個參數(shù)。用Matlab編寫程序（代碼見附錄），可得到應(yīng)用上述坐標(biāo)變換式所得圓心對應(yīng)的像坐標(biāo)的和。由于題中要求坐標(biāo)系的原點(diǎn)定在光心，因而最終像坐標(biāo)為。圖3 世界坐標(biāo)系表1世界坐標(biāo)系中靶標(biāo)圓心的坐標(biāo)圓編號圓心x坐標(biāo)圓心y坐標(biāo)圓心z坐標(biāo)A-50500B-20500C50500D50-500E-50-500問題二問題二要求根據(jù)靶標(biāo)圖像和靶標(biāo)的像，靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。1 圖像的預(yù)處理由于題中靶標(biāo)圖像的照片給出的是灰度圖像，并且實(shí)際攝像頭拍攝的照片也是灰度圖像，所以提取圓心工作以前，必須對圖像進(jìn)行預(yù)處理工作。圖像預(yù)處理流程如圖4所示，讀入圖像利用軟件提取圖形文件中像素的顏

15、色信息，由于圓心投影只與邊緣有關(guān)，所以用軟件算法實(shí)現(xiàn)邊緣的提取，本文利用了Sobel邊界探測器，由于原圖像灰度與閾值設(shè)定的原因，完成邊界探測后會有許多與邊界不連續(xù)的點(diǎn)，我們稱之為噪聲，這里我們手工去除這些噪聲點(diǎn)，然后將邊界點(diǎn)坐標(biāo)存入數(shù)組。同時我們將圖像做二值化處理，作為求質(zhì)心的原始數(shù)據(jù)。圖5顯示了圖像預(yù)處理的效果，A為初始讀入圖像數(shù)據(jù)，是灰度圖像，B為經(jīng)過Sobel邊界探測后的結(jié)果，有噪點(diǎn)存在，C為手工去除噪聲點(diǎn)后的圖像，D為原始圖像做二值化處理后的圖像。圖4 圖像預(yù)處理流程 A B C D圖5 圖像預(yù)處理階段示意2 圓空間透視投影的分析本小節(jié)介紹推導(dǎo)模型必須證實(shí)的幾個定理定理1：空間圓的投射

16、投影為橢圓證明：如圖6所示以為圓心的圓經(jīng)過小孔投影到像平面上，以透鏡的光心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間三位坐標(biāo)系，Z軸垂直于像平面向下，O到像平面的距離為，O到圓所在的平面的距離為。圖6 空間圓的透視投影設(shè)圓以為軸旋轉(zhuǎn)角度，再像平面形成一個封閉曲線，下面證明該封閉曲線為橢圓。圓的參數(shù)方程為：根據(jù)相似三角形比例原則，圓上一點(diǎn)與象平面中該點(diǎn)的坐標(biāo)有如下關(guān)系整理得：此方程為一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可知圓通過照相機(jī)在像平面上成的像為橢圓（在時為圓）。定理2：透射投影中，物圓的圓心的像不是所成橢圓像的中心。證明：圖7 XOZ平面AB剖面圖過圖6的的面作圓錐的剖面如圖7所示： 其中，為圓在像平面上所成的像，過作的平行

17、線分別交的反向延長線為，交于。假設(shè)圓心的像為橢圓的中心，則有由相似三角形邊的關(guān)系有：將上式代入下式有。分別從、向作垂線垂足分別為、，由于為的中點(diǎn)，所以有，由圖易知：。與上述矛盾，故假設(shè)不成立，即：物圓的圓心的像不是所成橢圓像的中心定理3：空間圓圓心的投影在投影橢圓的短軸上證明：首先說明圓的圓心的像、橢圓中心都在。由于是直徑，易知圓的圓心的像上。圖8平行于轉(zhuǎn)軸的剖面圖如圖8所示，由于圓以為軸旋轉(zhuǎn)角度，而軸過圓心，所以橢圓的中心在圓上的原象一定在垂直于軸的直徑上，在圖8中的表述即為橢圓的中心在的中點(diǎn)，其原象在上，所以為過橢圓中心的一條軸。下面證明該軸是橢圓的最短軸：設(shè)、的坐標(biāo)分別為、由相似三角形邊

18、的關(guān)系與1中坐標(biāo)的關(guān)系有：由上兩式可得，在上為單調(diào)遞減，又由于過橢圓中心，所以轉(zhuǎn)角最大的直徑所對應(yīng)的像即為橢圓的最短軸。即物圓的圓心的像在其像橢圓的最短軸上。3 模型一像素質(zhì)心模型31模型建立一般情況下，平面上一薄片的質(zhì)心計算公式如下，為薄片的圍，為薄片在(x,y)的面密度，為質(zhì)心坐標(biāo)。本模型因?yàn)槭腔谙袼氐哪Ｐ停袼厥且粋€個離散的點(diǎn)，又由于圖形做了二值化處理，這里為二值量。定義：則在像素意義下的中心坐標(biāo)定義式如下所示：其中(x1,y1)，(x2,y2)為包含此橢圓而不包含其他橢圓的一個矩形的兩個對角頂點(diǎn)的坐標(biāo)。經(jīng)過2的分析，雖然空間圓圓心的投射投影一般不在投影圖形的幾何中心，而且利用像素所作

19、的離散計算存在著一定的誤差，但是作為一種近似的方法，也是可行的，后文將對這種模型造成的誤差做定量的分析。32模型求解按上述模型求得的圓心坐標(biāo)如表2所示，表2 切線模型求點(diǎn)坐標(biāo)圓XYA322.8948189.4935B422.9960196.9423C639.8994213.1522D582.7329502.9824E284.6657501.77314 模型二切線模型在上述的質(zhì)心模型中，僅利用了一個橢圓自己的性質(zhì)就給出了該橢圓圓心的投影，而本問題給出了五個相等大小并且相對位置已知的圓，所以如果利用圓之間相互關(guān)系求解各圓圓心的投影坐標(biāo)將更為精確。41 切點(diǎn)位置不變的性質(zhì)空間的投射投影有如下的性質(zhì)，

20、如圖9所示，如果空間存在圓A，B，這兩個圓有公切線，切點(diǎn)a,b,c,d。如果將這兩個圓做某透視投影如圖所示，此時在做投影橢圓A，B的公切線，則得到的四個切點(diǎn)a,b,c,d分別是原來a,b,c,d的投影。圖9切點(diǎn)位置不變的性質(zhì)示意圖投射投影變換屬于仿射變換，點(diǎn)在線上的位置關(guān)系不會改變，在本問題的靶標(biāo)圖形中，有四個相等大小的圓(A,C,D,E)正好在正方形的四個定點(diǎn)上，兩兩做這四個圓的外公切錢，如圖，可得相對的切點(diǎn)的連線經(jīng)過圓心，兩條連線的交點(diǎn)就是圓的圓心。所以在投射的象的圖形中，只需找到這些切線與切點(diǎn)，連接各個切點(diǎn)形成交線就可以求得圓心。對于問題中的圓B，由于不存在相互垂直的切線，所以只能夠確定

21、一條直徑的位置，另外根據(jù)2的敘述，圓心的投影肯定在投影橢圓的短軸上，這樣用已知直徑的投影和橢圓的短軸相交，就可以求得B圓圓心投影的坐標(biāo)。42 橢圓方程的擬合本模型要求作橢圓的曲線，由于所給圖像分辨率不高，僅為1024*768像素，所以如果直接用圖像中圖形邊界做切線，精度將會變得非常低，會造成很大的誤差，所以在本模型中，先要利用所給圖像中圖形的邊界(在1中提取)擬合出橢圓的方程。平面中，二次曲線的一般方程是：其中將空間中任意一點(diǎn)帶入F，被稱為空間點(diǎn)到圓錐曲線的“代數(shù)距離”。擬合一條圓錐曲線可以看作是求所有被擬合點(diǎn)代數(shù)距離平方和的最小值。如下式所示：設(shè)用N個點(diǎn)擬合一個橢圓，又根據(jù)文獻(xiàn)2中描述如果限

22、制可行解的向量肯定是橢圓的參數(shù)向量。由此可以把橢圓擬合的問題轉(zhuǎn)換為一個帶二次限制條件的最小二乘問題，如下：其中圖中五個橢圓方程擬合的結(jié)果如表3所示。表3橢圓方程參數(shù)圓abcdefA0.49083680.045627320.5103946-325.6590-208.190271450.98B0.50054520.071117930.5019815-437.4560-227.8848114165.5C0.52528670.13234670.4842668-700.4724-291.0644254440.3D0.47898800.18026210.5388937-648.9240-647.14833

23、51269.2E0.45211530.10417250.5589569-309.6662-590.5596191540.0圖10為實(shí)際過程中橢圓擬合的效果圖，從圖中可以看出，方程對于橢圓做了很好的擬合，圖10 橢圓擬合效果圖表4顯示了擬合過程中代數(shù)距離平方和的最小值，可看出大約在數(shù)量級，由于每個橢圓用大約200個點(diǎn)進(jìn)行擬合，所以應(yīng)該在20左右，x,y坐標(biāo)平均的誤差應(yīng)該在幾個像素以。表4 代數(shù)距離平方和圓ABCDE平方和52242.5745703.2339525.2030956.1140892.5243 公切線的求取圖11靶標(biāo)的公切線圖設(shè)兩橢圓方程分別為A橢圓在處的切線斜率為：B橢圓在處的切線斜

24、率為：如果，連線是切線，那么聯(lián)立上述五式可求得，和的解，其中，關(guān)于，是四次方程，既可以求得四組解，這和切線的物理意義（兩組切，兩組外切）是一致的。實(shí)際求解過程當(dāng)中，由于計算規(guī)模過大，不宜求解，所以這里我們采用了將最后一個條件改為的優(yōu)化條件，然后限定，的圍，用LINGO軟件解優(yōu)化(程序見附錄)問題，經(jīng)試驗(yàn)，效果良好，不僅求解速度很快，而且每次優(yōu)化目標(biāo)都等于0，說明求得了正確解。44 模型求解按上述模型求得的圓心坐標(biāo)如表5所示，表5 切線模型求點(diǎn)坐標(biāo)圓XyA323.2771189.9167B423.2943197.3401C640.1433213.3946D583.0062503.2098E284

25、.9940502.04265 模型三 解析法模型51 模型建立在圖12所示在照相機(jī)坐標(biāo)系中圓的半徑是，設(shè)該圓繞 y軸旋轉(zhuǎn)角，圖中坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)在焦距中心，圓心，距坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為，攝像機(jī)焦距為，圓的參數(shù)方程為根據(jù)相似三角形比例原則，圓上一點(diǎn)與圖像 中該點(diǎn)的坐標(biāo)有如下關(guān)系整理化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（在像平面上）為：圖12空間圓的透視投影圖過圖12中的面作圓錐的剖面如圖7所示：，（設(shè)圓的半徑為），易知AB在像平面上的像為所形成橢圓的短軸。而過圓心且與AB垂直的半徑CD在像平面上的像為一條平行于圓在像平面上的像（橢圓）的長軸的直線，設(shè)其長度為，設(shè)其像橢圓的長軸長為，短軸長為。如圖8所示，設(shè)圓心到原點(diǎn)的距

26、離為，圓心到像平面的距離為。則由相似三角形的關(guān)系有：（2）又由小孔成像的原理，對應(yīng)的直線在成像后大小變化的比例是相等的，反映在上左圖中即： （3）由上面的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓所成的像的中心并不是圓的圓心在像平面上的對應(yīng)點(diǎn)，圓心的坐標(biāo)為與上面（*）（*）式聯(lián)立可以得出如下關(guān)系：（4）為了確定圓心的位置，由于的紙無法直接得出，所以取橢圓的半長軸代替，可以得出圓心的近似位置。52 參數(shù)求解對于式（*），像距f已知，需要解得橢圓的半長軸和半短軸，對于任意橢圓的一般式，總可以將其化成如下形式：根據(jù)系數(shù)相等可得：解得由此可得橢圓的圓心為，橢圓的半長軸為，半短軸為橢圓旋轉(zhuǎn)角度為53 模型求解通過5.2求得擬合

27、的各橢圓的長軸和短軸，轉(zhuǎn)角，中心，然后通過5.1中的(2)-(4)式求得空間圓圓心在象平面投影的坐標(biāo)。表6 空間圓圓心在象平面投影的坐標(biāo)圓XYA323.0474189.6938B423.0209197.0611C640.1127213.2289D582.8821502.0957E284.8034502.0426問題三1模型的檢驗(yàn)方法該方法的核心是基于問題一的結(jié)論，在問題一中，已經(jīng)獲得靶標(biāo)上的點(diǎn)和像平面上像坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，因此可以按以下步驟完成基于仿真的檢驗(yàn)：步驟1 固定靶標(biāo)，確定相機(jī)相對于靶標(biāo)的姿態(tài)，包括旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矢量。步驟2通過問題一結(jié)論中的變換公式，求出靶標(biāo)上所有點(diǎn)映射到相機(jī)像平面的坐

28、標(biāo)，這里必須使用離散化算法。（離散化算法解釋）這一步實(shí)際上就仿真求出了在此相機(jī)姿態(tài)下，靶標(biāo)在相機(jī)像平面所成的像，同時，可以準(zhǔn)確的知道靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面投影的坐標(biāo)。步驟3 用問題二中的多種方法對步驟2中求出的靶標(biāo)的像求圓心步驟4 用所求得圓心和映射在相機(jī)像平面的準(zhǔn)確的圓心的像做比較，兩者相差越小說明方法越準(zhǔn)確。2檢驗(yàn)結(jié)論(a) (b)圖13 成像檢驗(yàn)圖表7 圖13(a)檢驗(yàn)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)圓心質(zhì)心模型切線模型解析法模型XyXYxyxy519.9263309.5831519.9351310.3686519.9333310.4732520.1446309.9762589.1007311.027158

29、9.0412311.8446589.1136312.0014588.9056311.4932747.6679314.3308747.5765315.1844747.5763315.4256747.7089315.1042722.0924518.4924505.9950518.2396723.0138518.3788721.8761518.3584506.1380517.4491722.1016519.3891504.1380517.7691503.8780517.4360誤差平方和3.4754167.9130146.229838表8 圖13(b)檢驗(yàn)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)圓心質(zhì)心模型切線模型解析法模型Xyx

30、yxyxy484.6105361.5820486.8028361.5050485.7325361.5549485.6051361.5320616.7665348.9821616.7102349.1967616.7449349.0115616.7233349.1549914.1542320.6321914.3273320.8787914.2246320.6122914.2781320.6257813.8254506.6421813.8603507.2887813.8434506.6281813.8398506.6377466.4812544.9864466.3966545.6107466.457

31、2545.1974466.4355545.4902誤差平方和5.7683241.3119191.294977表7-8顯示了用上述方法檢驗(yàn)問題二中方法的結(jié)果，生成的虛擬照片如圖13所示。其中圖13(a)為像平面與物平面近似平行的情況，從結(jié)果中可以看出，在這種情況下，利用質(zhì)心模型求解投影模型的誤差是十分小的，在某些情況下，質(zhì)心模型求解的誤差小于用理論上更精確的切線模型和解析法模型。經(jīng)過分析，我們認(rèn)為，這是因?yàn)橛捎谟邢薹直媛试斐傻牧炕`差其實(shí)可以等效為均值在質(zhì)心的二維高斯噪聲，而求質(zhì)心相當(dāng)于對噪聲作了平均，一次可以抵消一部分噪聲的影響，而切線模型和解析法模型是基于二次曲線最小二乘擬合的，這不能消除高

32、斯噪聲的影響。但圖13(b)中，像平面與物平面有較大的角度，這時，質(zhì)心模型有較大的誤差，而切線模型和解析法模型的誤差較小。問題四此小問即要求通過靶標(biāo)的世界坐標(biāo)系坐標(biāo)和靶標(biāo)在兩部相機(jī)的成像坐標(biāo)系中的像點(diǎn)坐標(biāo)來確定兩部相機(jī)的相對位置。具體來說，即已知靶標(biāo)上若干物點(diǎn)的世界坐標(biāo)和成像坐標(biāo)，標(biāo)定兩個相機(jī)坐標(biāo)系相對世界坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量以與相機(jī)的部參數(shù)。由這四個矩陣能夠自然地求得兩相機(jī)的相對位置。由問題一可以看到，本小問是問題一的反向求解，即已知兩種坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)，求轉(zhuǎn)移矩陣的過程。但直接通過式(1)來求解是非常困難的。原因有二：第一，是3*4的矩陣，有12個未知數(shù)， 需要解12個方程，即使借助

33、計算機(jī)軟件也很難完成任務(wù)，Matlab的Solve函數(shù)求解能力不足以解決12個方程，Lingo也應(yīng)變量過多無法在有限時間給出結(jié)果；第二，通過消去，每個靶標(biāo)上的物點(diǎn)與其對應(yīng)成像點(diǎn)可提供2個方程，因而共需6個點(diǎn)才能解出未知數(shù)，但本題每個靶標(biāo)上只有5個圓，直接提供5個圓心，提供信息不足。因此，需要更直接的標(biāo)定相機(jī)位置的方法，在參考了文獻(xiàn)14后，我們發(fā)現(xiàn)了不用解多元或非線形方程的標(biāo)定方法。該算法依然基于問題一的式(1)，同時充分利用了靶標(biāo)的自由設(shè)定來減少未知量?，F(xiàn)描述標(biāo)定一部相機(jī)的算法。、1標(biāo)定單部相機(jī)部和外部參數(shù)的算法步驟1：令靶標(biāo)上個物點(diǎn)的世界坐標(biāo)為，物點(diǎn)在成像坐標(biāo)上的坐標(biāo)為，矩陣和的定義同問題一

34、，則當(dāng)時即可用最小二乘法由上式解得；步驟2：令當(dāng)矩陣沒有任何一行或一列為全0時（有一行或一列為全0的情況見文獻(xiàn)1），其中，。由此可得的大小；步驟3：假設(shè)的符號為正，在個物點(diǎn)中選擇一個成像坐標(biāo)遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的物點(diǎn)，計算如果與同號并且與同號，則的符號為正，否則為負(fù)；步驟4：由于旋轉(zhuǎn)矩陣為單位正交陣，因此由四個量即可確定出， 而可由與叉乘得到，的符號的具體確定請請參閱文獻(xiàn)1；步驟5：構(gòu)造矩陣，其行為，再構(gòu)造向量，然后解線性方程，即得相機(jī)像距和轉(zhuǎn)移矩陣中的。至此成功標(biāo)定了相機(jī)的部參數(shù)和全部外部參數(shù)。算法MATLAB代碼見附錄。2標(biāo)定兩臺照相機(jī)相對位置的方法使用此算法可以得到兩部相機(jī)各自的和，即得到如下方

35、程組：消去后得到：即得兩相機(jī)坐標(biāo)系之間的相對位置關(guān)系：3針對本題的算法實(shí)例使用問題二得到的成像坐標(biāo)系中五個圓的圓心坐標(biāo)，再結(jié)合問題一中的世界坐標(biāo)系的假設(shè)，使用上述算法，編制Matlab程序得到了拍攝題目中圖三的相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量：再用問題一的算法，使用世界坐標(biāo)系中的靶標(biāo)圓心坐標(biāo)和矩陣、，運(yùn)用Matlab反推出其在成像坐標(biāo)系中的像（重塑值），與其與問題二中得到的圓心像坐標(biāo)（理論值）對比如圖14。可見兩者基本重合，1中所述算法可認(rèn)為有效。圖14靶標(biāo)圓心點(diǎn)的理論值和重塑值的像坐標(biāo)對比盡管五個圓心可以標(biāo)定出相機(jī)的位置，但上述算法的特點(diǎn)是參與標(biāo)定的物點(diǎn)越多，得到的變換矩陣越精確。因而，我們將第二問

36、中得到的四個圓的十六個切點(diǎn)的兩套坐標(biāo)也代入算法中，此時得到的和為：可以發(fā)現(xiàn)此時的變換矩陣和只用5個圓心得到的矩陣近似相等，但顯然和更為精確，因此將其作為題中拍攝出圖3的相機(jī)的標(biāo)定位置。圖15是圓心和切點(diǎn)的理論值和重塑值對比圖。由圖中兩者的近似重合亦可驗(yàn)證算法的有效性。圖15靶標(biāo)圓心點(diǎn)和切點(diǎn)的理論值和重塑值的像坐標(biāo)對比六、 模型評價和模型改進(jìn)1關(guān)于問題一，完全按照坐標(biāo)變換和幾何關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，若不考慮相機(jī)鏡頭的畸變，則模型是精確的，因而改進(jìn)方法為盡量研究抗量化噪聲的算法。但對于問題一的坐標(biāo)變換模型，世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的變換為先旋轉(zhuǎn)后平移，不如先平移后旋轉(zhuǎn)直觀。因?yàn)樾D(zhuǎn)后的平移相對于新坐標(biāo)軸，這

37、個平移量比基于原始坐標(biāo)軸，即未旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)軸，要來得復(fù)雜和抽象。因此，先平移后旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換方法能使得用戶或研究人員更容易地確定相機(jī)坐標(biāo)系方位。2關(guān)于問題二提出的三種計算圓心投影的方法中，都遇到了相片分辨率有限存在量化誤差的問題，這會造成圓心投影計算的誤差。其中質(zhì)心法和解析法均已做了近似處理，而切線法的精度僅取決于二次曲線擬合的精確與否。一般情況下，精度切線模型 > 解析法模型 > 質(zhì)心模型，運(yùn)算復(fù)雜性也是切線模型 > 解析法模型 > 質(zhì)心模型，所以在精度要求不高，并且物像平面基本平行的情況下，質(zhì)心模型也不失為一種好的選擇。3對于問題四的相機(jī)參數(shù)標(biāo)定算法，參量符號的確定方

38、法不夠嚴(yán)謹(jǐn)而比較隨意，特別是轉(zhuǎn)移矩陣中的和的符號有兩種組合方式，要根據(jù)后面算出的的符號來確定，不具有優(yōu)秀算法所必須的確定性。參考文獻(xiàn)：1Roger Y. Tsai，A Versatile Camera Calibration Technique forHigh-Accuracy 3D MachineVision MetrologyUsing Off-the-shelf TV Cameras and Lenses，IEEE JOURNAL OF ROBOTICS AND AUTOMATION, VOL. RA-3, NO. 4, AUGUST 19872 Andrew Fitzgibbon, M

39、aurizio Pilu, and Robert B. Fisher. Direct Least Square Fitting of Ellipses, PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 21, NO. 5, MAY 19993紅寧，基于雙目立體視覺擬人機(jī)器人定位關(guān)鍵技術(shù)的研究，工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文，p7-28，2006.124方超，雙目CCO成像目標(biāo)器識別算法研究，理工大學(xué)碩士學(xué)位論文，p4-28，2007.65Zhang, Z，A Flexible New Technique for CameraCalibration，Patt

40、ern Analysis and Machine Intelligence，Volume 22, Issue 11，p2-8，Nov. 20006慶瑤 萬書亭，機(jī)器視覺中空間圓透視投影特性研究，華北電力大學(xué)學(xué)報，第25卷第1期，p79-83，1998.1附錄：1.問題一Matlab程序代碼clcclear%ques1 using coordinates trans.f=1577/3.78; %mmtrans1=f 0 0 0;0 f 0 0;0 0 1 0;a=0; %rotate angle inputb=pi/2;c=-pi/2;%rotation matrixR= cos(b)*cos(

41、c)+sin(a)*sin(b)*sin(c), cos(a)*sin(c), -cos(c)*sin(b)+sin(a)*sin(c)*cos(b); -cos(b)*sin(c)+sin(a)*sin(b)*cos(c), cos(a)*cos(c), sin(c)*sin(b)+sin(a)*cos(c)*cos(b); cos(a)*sin(b), -sin(a), cos(a)*cos(b);t=0 0 -400' %displacementtrans2=R t;0 0 0 1;targ1=0 -50 50 1'targ2=0 -20 50 1'targ3=0

42、 50 50 1'targ4=0 -50 -50 1'targ5=0 50 -50 1'targ=targ1 targ2 targ3 targ4 targ5;img=zeros(5,2); %image points's coordi.for i=1:5 mytemp=trans2*targ(:,i); zc=mytemp(3); w=trans1*trans2*targ(:,i)./zc; img(i,1)=w(1); img(i,2)=w(2);endplot(img(:,1)',img(:,2)','.');grid on;

43、axis(-520 520 -520 520);% px=-50 -20 50 -50 50;% py=50 50 50 -50 -50;% plot(px,py,'.');2LINGO擬合橢圓方程的代碼MODEL:SETS:POINT/R1.R184/:X,Y;ENDSETSDATA:X=OLE('a5','X');Y=OLE('a5','Y');ENDDATAMIN=SUM(POINT:(A*X*X+B*X*Y+C*Y*Y+D*X+E*Y+F)2); B2-4*A*C=-1;FREE(A);FREE(B);FR

44、EE(C);FREE(D);FREE(E);FREE(F);END3問題四算法的MATLAB代碼clcclear%ques1 using coordinates trans.f=1577/3.78; %mmtrans1=f 0 0 0;0 f 0 0;0 0 1 0;targ1=-50 50 0 1'targ2=-20 50 0 1'targ3=50 50 0 1'targ4=50 -50 0 1'targ5=-50 -50 0 1'targ=targ1 targ2 targ3 targ4 targ5;img=zeros(10,5,2); %image

45、points's coordi.%for k=1:10 %rotate angle input a=rand*pi; b=rand*pi; c=rand*pi; TT(:,k)=rand(3,1)*300; %displacement %rotation matrix% R= cos(b)*cos(c)+sin(a)*sin(b)*sin(c), cos(a)*sin(c), -cos(c)*sin(b)+sin(a)*sin(c)*cos(b);% -cos(b)*sin(c)+sin(a)*sin(b)*cos(c), cos(a)*cos(c), sin(c)*sin(b)+sin(a)*cos(c)*cos(b);% cos(a)*sin(b), -sin(a), cos(a)*cos(b); R = cos(b)*cos(c) cos(b)*sin(c) -sin(b); sin(a)*sin(b)*cos(c)-cos(a)*sin(c) sin(a)*sin(b)*sin(c)+cos(a)*cos(c)