第三章,測量誤差與檢測分析ppt課件

1、第三章 測量誤差與數(shù)據(jù)分析3.1 測量誤差的基本概念一.真值 真值即真實(shí)值，是指在一定條件下，被測量客觀存在的實(shí)際值。二.誤差 根據(jù)誤差表示的方法不同，有絕對誤差和相對誤差及誘導(dǎo)相對誤差。1. 絕對誤差是指測量值與真實(shí)值之差。 絕對誤差測量值真值即Ax %100A%100minmaxmaxmax0AAxm2. 相對誤差 是指絕對誤差與真值之比，用百分?jǐn)?shù)表示，即3. 誘導(dǎo)相對誤差 測量中最大絕對誤差與儀器量程范圍之比。也稱引用誤差。即通常用引用誤差表示儀器的精度等級。 國家標(biāo)準(zhǔn)GB776-76規(guī)定，電測儀器精度分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0等7級。它們的基本誤差以最大

2、引用誤差計(jì)，分別不超過： 。%0 . 5%,5 . 2%,5 . 1%,0 . 1%,5 . 0%,2 . 0%,1 . 0%K%KKKmx1x%1Kxmx%100%11xKxmx需要強(qiáng)調(diào)指出，儀器，儀表的等級，所表明的是其最大引用誤差在范圍內(nèi)，不能誤認(rèn)為在量程內(nèi)各示值的相對誤差均在以內(nèi)。例如：量程為的級儀器，當(dāng)示值為時，其絕對誤差為：相對誤差為：例：測量一個約80V的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表，一塊量程300V，0.5級，另一塊量程100V，1.0級，問選哪一塊為好？解：如使用300V，0.5級電表，示值相對誤差為：%88. 1%10080%5 . 0300 x%25. 1%10080%0 . 1

3、100 x如使用100V，1.0級電表，示值相對誤差為：故選用100V，1.0級電表為好。三.誤差的來源 工具誤差： 它包括試驗(yàn)裝置，測量儀器儀表帶來的誤差。如試驗(yàn)裝置加工粗糙，安裝調(diào)整不準(zhǔn)確和摩擦間隙過大等，儀器儀表的非線性，滯后，刻度不準(zhǔn)，以及運(yùn)動元件之間的摩擦和間隙等帶來的誤差。 環(huán)境誤差: 在測量過程中，因環(huán)境條件的變化而產(chǎn)生的誤差稱為環(huán)境誤差。環(huán)境誤差主要指環(huán)境的溫度，濕度，氣壓，電場，磁場以及振動，氣流，輻射等。如溫度的變化會引起傳感器的零點(diǎn)漂移和靈敏度漂移，微小的振動或電信號干擾會對高靈敏磁電式儀表和光線示波器的振子產(chǎn)生擾動。 方法誤差 測量方法不正確而引起的誤差稱為方法誤差。測

4、量儀器安裝和使用方法不正確，測量時所依據(jù)的原理不正確而產(chǎn)生的誤差。 人員誤差 測量者生理特性和操作熟練程度的優(yōu)劣而引起的誤差稱為人員誤差。測量者的習(xí)慣和精神狀態(tài)的變化也都會帶來誤差。四. 誤差的分類1. 隨機(jī)誤差 在實(shí)際測量條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號以不可預(yù)定的方式變化著。也就是說，產(chǎn)生誤差的原因及誤差數(shù)值的大小、正負(fù)都是不固定的，也沒有確定的規(guī)律性，它的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，或者說帶有偶然性，這樣的誤差稱為隨機(jī)誤差。特點(diǎn)：個別出現(xiàn)的偶然性?？傮w呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 2. 系統(tǒng)誤差 誤差的數(shù)值大小和正負(fù)在測量過程中恒定不變，或按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可分為： .恒

5、值系統(tǒng)誤差： 誤差的數(shù)值和符號已經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差。 .變值系統(tǒng)誤差： 誤差的數(shù)值或符號變化不定或按一定規(guī)律變化的誤差。按不同的變化規(guī)律，又分為：線性系統(tǒng)誤差，周期性系統(tǒng)誤差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差由于它的數(shù)值恒定或具有一定的規(guī)律性，因此可通過實(shí)驗(yàn)的方法找出，并予以消除，或加修正值對測量結(jié)果予以修正。 3. 粗大誤差(疏失誤差) 測量過程中出現(xiàn)的明顯與事實(shí)不符的誤差。主要是由于測量人員的疏失或環(huán)境條件的突變影響所致。 粗大誤差由于誤差數(shù)值特別大，容易從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)有粗大誤差，可以認(rèn)為該次測量無效，測量數(shù)據(jù)作廢，即可消除它對測量結(jié)果的影響。五.精度 正確度 表示測量結(jié)果偏

6、離真值的程度。它標(biāo)志著系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差愈小，正確度愈高，測量結(jié)果就愈接近真值。 精密度 測量結(jié)果的離散程度，它標(biāo)志著隨機(jī)誤差的大小。隨機(jī)誤差愈小，離散程度小，重復(fù)性好，精密度就愈高。 精確度它反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差合成的大小程度，或者說是測量的精密度和正確度的綜合。對于一個實(shí)驗(yàn)而言，精密度高，正確度不一定高，反之，正確度高，不一定精密度高。但準(zhǔn)確度高，則精密度和正確度都高。六. 不確定度 不確定度是指由于測量誤差的存在而對被測量不能確定的程度。不確定度按估計(jì)其數(shù)值所用的方法不同歸并成兩類：A類分量：對一系列多次重復(fù)測量后，用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)偏差。B類分量：用其它方法估算出的近似的標(biāo)

7、準(zhǔn)偏差。 然后用通常合成標(biāo)準(zhǔn)偏差的方法來合成A類分量和B類分量，合成后仍以標(biāo)準(zhǔn)偏差的形式表征，稱為合成不確定度。該不確定度仍具有概率的概念?？偛淮_定度用公式表示為： Ku3.2.隨機(jī)誤差一.隨機(jī)誤差的特性 設(shè)在相同的條件下，對某一物理量進(jìn)行多次重復(fù)觀測，測得變化量 ， 是隨機(jī)變量。其概率密度可由正態(tài)分布概率密度函數(shù)表示為 , 21,xxnxix222)(21)(ixiexPniixn12)(1uniixnu11uxi其中標(biāo)準(zhǔn)誤差理論均值剩余誤差隨機(jī)誤差正態(tài)分布特點(diǎn)： 單峰性：小誤差比大誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。 對稱性：絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相同。 3%27. 0p301limnniin

8、有界性： 隨機(jī)誤差時的概率，因此把作為單次測量隨機(jī)誤差的界限。相互補(bǔ)償性：當(dāng)測量次數(shù)增加到無限多次時，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。二. 隨機(jī)誤差的評定1. 測量結(jié)果的最佳估計(jì)u uuuxxnunii11理論均值是無限多次重復(fù)測量的結(jié)果；實(shí)際上，也是難于求得的。因而，如果能求得的最佳估計(jì)值，就可以把它作為最信賴的實(shí)際測量結(jié)果。由最小二乘法可證明：的無偏估計(jì)為算數(shù)平均值。即：2. 測量值的離散性參數(shù)估計(jì) 求得測量結(jié)果的最佳估計(jì)，尚不能衡量測量的可靠性。因?yàn)樵趯?shí)際測量中，總是存在隨機(jī)誤差，各個測量值相對最佳測量結(jié)果，總有一定的離散性。這種離散性就表明了各次測量的不可信賴程度。評定這種不可信賴程度的參

9、數(shù)就是總體的方差 2niixxn12211niixxn1211或標(biāo)準(zhǔn)差?？傮w方差與標(biāo)準(zhǔn)差也是一個理想的概念，也必須求得它的最佳估計(jì)值才有實(shí)際意義。上式稱為貝塞爾公式，適用于測量次數(shù)較多的情況。 愈小，分布曲線的形狀越陡，即高而瘦。小誤差出現(xiàn)的概率大，大概率出現(xiàn)的概率小。隨機(jī)誤差的離散性小，可信賴程度大。反之， 愈大，分布曲線的形狀就愈“矮且“胖”，隨機(jī)誤差的離散性就愈大，可信賴程度就小。3. 測量值的精確度評定 測量值的精確度評定就是用一定置信條件下的極限誤差來規(guī)定測量值得可靠性。 x21,xx212222121xxuxdxexxxuxtuxt11uxt22服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率

10、為：設(shè)：即： 120202221211222212212121ttdtedtedtetuxtuxxxttttttt ttdtet02221 tt那么：把稱為標(biāo)準(zhǔn)型正態(tài)分布，也稱為拉普拉斯函數(shù)，具體數(shù)值可查表，其中 ttt12 12ttttuxtututu,t101實(shí)際測試中，服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差區(qū)間相對對稱，即，上式可表示為：式中：置信區(qū)間 置信系數(shù)危險率(或稱顯著水平，不可信度)取置信概率 33m3由圖可見，隨機(jī)誤差超出的概率只有0.27%，已近乎不可能出現(xiàn)。因此在測試中通常把稱為最大極限隨機(jī)誤差，并用它來評定測量的精密度。(稱為“原則”)4. 測量結(jié)果的重復(fù)性精度評定 上述所謂的測量結(jié)果

11、最佳估計(jì)，是指一列有限n次測量值構(gòu)成的樣本。很顯然，同一總體中再取不同列測量值構(gòu)成各個不同的樣本，其各個樣本均值 也不一樣，亦即各個單列測量結(jié)果的最佳估計(jì) 仍然是隨機(jī)變量，而且其分布規(guī)律也同于測量值的分布規(guī)律。因而，其相對真值 仍然有一定的離散性或不重復(fù)性。這種不重復(fù)性可用樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差 或樣本均值的極限誤差 來表征。即jxjxuxxniixxxnnnn1211xxt三. 不等精度測量時的加權(quán)處理方法 當(dāng)對某一被測量進(jìn)行多次測量時，由于測量條件(方法、儀器及人員素質(zhì)等)不同，使各次測量數(shù)值具有不同的精密度，這就是不等精度測量。不等精度測得各測量數(shù)據(jù)的可信賴度不同，在最后計(jì)算測量結(jié)果時所占比重

12、應(yīng)有差別。為權(quán)衡輕重，區(qū)別對待，引入權(quán)的概念，用作測量結(jié)果精密度的數(shù)字表征。在無系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)處理中，通常定義權(quán)與方差成反比。一般用20 表示權(quán)p0=1 之測量數(shù)據(jù)的方差。如某次測量數(shù)據(jù) 的方差為 ，那么 的權(quán) 為：ix2iixip220iip x niiniiinnnpxppppxpxpxpx112122112niip1202加權(quán)后算術(shù)平均值為：加權(quán)后平均值的方差估計(jì)值為：3.3系統(tǒng)誤差一.系統(tǒng)誤差的分類系統(tǒng)誤差按其表現(xiàn)特點(diǎn)，可分為恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。1. 恒值系統(tǒng)誤差在測量過程中誤差出現(xiàn)的數(shù)值大小和符號都不變的系統(tǒng)誤差。2. 變值系統(tǒng)誤差 在測量過程中誤差的大小或符號是變化不定

13、的或按一定規(guī)律變化的誤差。按變化規(guī)律的不同又可分為： 線性變化系統(tǒng)誤差：線性變化系統(tǒng)誤差是指在測量過程中，隨著時間或測量次數(shù)的增加，按一定比例不斷增大或不斷減小的誤差。 周期變化的系統(tǒng)誤差：周期變化的系統(tǒng)誤差是指系統(tǒng)誤差的數(shù)值和符號按周期性規(guī)律變化。 復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差：復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差是指系統(tǒng)誤差按復(fù)雜規(guī)律變化的，但其規(guī)律經(jīng)多次測量具有重復(fù)性，可用曲線、表 格或經(jīng)驗(yàn)公式表示。 二.系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響1. 恒值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響如果在多次重復(fù)測量時有恒值系統(tǒng)誤差存在，則一組測量值 nxxx,21 iixxxnxnxnxnxniiniinii111111xx中每一個都含有該

14、恒值系統(tǒng)誤差，因而，不含系統(tǒng)誤差的測量值為其平均值為xxii xxxxxxiiiiixix定義：為殘余誤差(剩余誤差)上式表明，用包含恒值系統(tǒng)誤差的測量值計(jì)算殘差，與用不包含恒值系統(tǒng)誤差的測定值計(jì)算殘余誤差相同，因而，標(biāo)準(zhǔn)偏差也相同。因而，恒值系統(tǒng)誤差對標(biāo)準(zhǔn)偏差無影響，即不影響測量結(jié)果的精密度。2變值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響 nxxx,21 n ,21iiixxxxnxnxniiinii1111x設(shè)有一系列測量值，并含有變量系統(tǒng)誤差，則不含系統(tǒng)誤差的測定值為：其平均值為：由上式可知，如果測量中含有變化的系統(tǒng)誤差，它將以算術(shù)平均值的形式影響測量結(jié)果，應(yīng)消除，以作為測量結(jié)果。殘余誤差：iiiiii

15、xxxxxx上式表明：用ix計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)偏差，因受變值系統(tǒng)誤差的影響，與用 ix計(jì)算出來的標(biāo)準(zhǔn)偏差不同。也即變值系統(tǒng)誤差也影響標(biāo)準(zhǔn)偏差。 三.發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法1. 實(shí)驗(yàn)對比法 實(shí)驗(yàn)對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)常值系統(tǒng)誤差。2. 剩余誤差觀察法 剩余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個剩余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差，這種方法主要適用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 根據(jù)測量列的剩余誤差列表或作圖進(jìn)行觀察可以判斷有無系統(tǒng)誤差。a. 若剩余誤差大體上是正負(fù)相同，且無明顯得變化規(guī)律，則無根據(jù)懷疑存在具有規(guī)律性

16、變化的系統(tǒng)誤差，但存在常值誤差的可能性尚無法排除。b. 若剩余誤差值有規(guī)律的遞增或遞減，且在測量開始與結(jié)束時誤差符號相反，則存在線性系統(tǒng)誤差。c. 若剩余誤差的符號有規(guī)則的交替變化，則存在周期性誤差。d. 若剩余誤差具有的變化規(guī)律，則存在復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。3.剩余誤差校核法2nk 21 nknkiikii11將測量列中前面k個剩余誤差相加，后面(n-k)個剩余誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)時，取，當(dāng)n為奇數(shù)時，取)。兩者相減得:假設(shè)顯著不為零，則有理由認(rèn)為測量列中存在系統(tǒng)誤差。需要指出，有時按剩余誤差校核法得=0，但仍有可能存在系統(tǒng)誤差。它適用于檢查測量列中是否有線性系統(tǒng)誤差存在。阿貝赫梅特判據(jù) 阿貝赫

17、梅特判據(jù)適用于判斷測量列是否有周期性系統(tǒng)誤差的存在，該判據(jù)公式為：21111nniii只要測量列滿足上式，就認(rèn)為該測量列有周期性系統(tǒng)誤差存在。5. 計(jì)算數(shù)據(jù)比較法 對同一被測量獨(dú)立測得m組結(jié)果，各組的算術(shù)平均值及算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為： mmxxx,;,;,2211 jx2,iiNxjixx 2, 0ijjiNxx222jiijTijjipkxxpTijjipkxxp13k997. 0Tp003. 01Tp，其中任一個平均值是服從正態(tài)分布的，即，因而，任意兩個平均值之差是一個統(tǒng)計(jì)量，且服從正態(tài)分布，即有其中根據(jù)正態(tài)分布，有 或當(dāng)時，3ijjixxk3k3k3ijjixxk即在100次測量中，的

18、可能性有三次。因而，在測量次數(shù)不是很多且測量中無系統(tǒng)誤差時，一般不應(yīng)出現(xiàn)的情況。假如，則說明有系統(tǒng)誤差存在。故常用作為鑒別測量中有無系統(tǒng)誤差的標(biāo)志。四.系統(tǒng)誤差的消除1. 恒值系統(tǒng)誤差的消除方法 代替法 代替法的實(shí)質(zhì)是在測量裝置上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量并放到測量裝置上再次進(jìn)行測量，從而求出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即 差值被測量標(biāo)準(zhǔn)量抵消法 這種方法要求進(jìn)行兩次測量，以使兩次讀數(shù)時出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等而相反。因而，取兩次測量值的平均值作為測量結(jié)果，則可消除系統(tǒng)誤差。交換法 這種方法是根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因，將某些條件交換，以便消除誤差。2. 消除線性系統(tǒng)誤差的方法對

19、稱法 線性系統(tǒng)誤差的數(shù)值隨測量時間或測量次數(shù)呈線性規(guī)律變化，消除這類誤差的方法是對稱測量法。由圖可以看出，以某一時刻為中點(diǎn)，對稱于該點(diǎn)的一對系統(tǒng)誤差的算術(shù)平均值彼此相等，即：4536271222根據(jù)這一特點(diǎn)，可采用對稱測量法來消除線性系統(tǒng)誤差。3. 消除周期性系統(tǒng)誤差的方法半周期偶次觀察法 對于周期性誤差，有效的消除方法是每經(jīng)過半個周期進(jìn)行偶次觀測，此法稱為半周期偶次觀察法。周期性誤差一般可表示為： tTa2sin0tt 002sintTa20Ttt002sin22sintTaTtTa000tt 當(dāng)時，誤差為：當(dāng)時，誤差為：因而，消除這種周期性誤差的方法是：在時測得一個數(shù)據(jù)后，相隔半個周期再測

20、一個數(shù)據(jù)，取兩次數(shù)據(jù)的平均值3.4. 疏失誤差 測試中出現(xiàn)的過大或過小的測定值，這可能是由于疏失誤差引起的，也可能是由特大的隨機(jī)誤差引起的，對它們的取舍要十分慎重。對于有充分根據(jù)由過失引起的異常數(shù)據(jù)應(yīng)舍棄；對原因不明的異常數(shù)據(jù)，則應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)準(zhǔn)則決定取舍。 用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法取舍異常數(shù)據(jù)的根據(jù)是：超過某界限的測量值出現(xiàn)的概率很小，有理由認(rèn)為是由過失誤差引起的，應(yīng)該舍棄。拉依達(dá)準(zhǔn)則：以正態(tài)分布情況下的置信概率為99.73%時的置信區(qū)間是3為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)為隨機(jī)誤差絕對值超過3的概率很小，而認(rèn)為是不可能事件，故可視為疏失誤差而剔除之。 3.5.誤差的合成 在測量過程中，可能同時存在多個系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差，測

21、量的精度是用總誤差來度量的。隨機(jī)誤差的合成與隨機(jī)不確定度 設(shè)有m個隨機(jī)誤差分量，各自的標(biāo)準(zhǔn)偏差為i(i=1m)，其合成方法為： mjijiijmii1122022221m k當(dāng)時，即隨機(jī)誤差的合成按方和根法。在測量工作中，常用給定的置信概率的極限偏差來表示隨機(jī)誤差的大小，對此可表示為：(隨機(jī)不確定度)二. 確定的系統(tǒng)誤差合成 對于誤差數(shù)值大小和符號正負(fù)都已確定的各已定系統(tǒng)誤差分量的合成，按代數(shù)和方法計(jì)算。 niin121 不確定的系統(tǒng)誤差是指誤差數(shù)值大小和符號正負(fù)都不確定或其中之一不確定，即該系統(tǒng)誤差表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性。但在一定的測量條件下，存在的不確定系統(tǒng)誤差i必定落在所估計(jì)的誤差區(qū)間iie

22、e ,之內(nèi)，這個ie稱為不確定系統(tǒng)誤差的誤差限，可表示為：iiike三、不確定的系統(tǒng)誤差合成多個不確定的系統(tǒng)誤差合成總的不確定系統(tǒng)誤差的方法： 1. 絕對值和法 neeee 2122221neeee 這種合成方法估計(jì)的誤差偏大，是一種極為保險的方法。在n10時才用這種方法。2. 方和根法采用隨機(jī)誤差的合成方法： 在 n 較大時，用方和根法得出的誤差比較接近實(shí)際情況，該方法算得的誤差偏小。3. 廣義方和根法如果不確定系統(tǒng)誤差具有不同的置信系數(shù)，合成方法采用廣義方和根法，即 nnkekekeke2222121四. 總不確定度 eniimiie1212 所謂總不確定度，就是隨機(jī)不確定度與系統(tǒng)誤差不確

23、定度的總和。其合成方法為:絕對值和法：方和根法：廣義方和根法：niiimiiakek1212測量結(jié)果的準(zhǔn)確度可表示為：0A3.6. 間接測量誤差的傳遞與分配 一. 誤差的傳遞 到目前為止，前述各節(jié)皆是就直接測量的情況下進(jìn)行討論，但在很多的情況下，由于被測量對象的特點(diǎn)進(jìn)行直接測量有困難。或是難以保證被測量的精度，因此需要采用間接測量。 mxxxfy,21 2222222121mxmxxyxfxfxf yyyk假設(shè)那么 極限誤差為二. 誤差的分配 若給定間接測量參數(shù)的誤差，要求確定各個直接測量參數(shù)的誤差。按等作用原則分配誤差，即： mxfxfxfyxmxxm 2121 按等作用原則分配誤差可能會出

24、現(xiàn)不合理情況，這是因?yàn)橛?jì)算出來的各個局部誤差都相等，這對于其中有的測量值，要保證它的測量誤差不超過允許范圍較為容易實(shí)現(xiàn)，而對其中有的測量值則難以滿足，若要保證它的測量精度，勢必采用昂貴的高精度儀器，或者要付出較大的勞動。因此必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整，對于測量中難以保證的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大允許的誤差值，對于測量中容易保證的誤差項(xiàng)應(yīng)盡可能地縮小允許的誤差值，誤差調(diào)整之后，應(yīng)按公式計(jì)算總誤差y，并檢查y 是否滿足條件。如不滿足，則應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)進(jìn)行再次調(diào)整，有必要時，還可改變測量方案，選擇更為精確的儀器。3.7. 測量數(shù)據(jù)的處理方法 通過測量獲得一系列數(shù)據(jù)，需要對這些數(shù)據(jù)處理，分析，以得到各參數(shù)

25、之間的函數(shù)關(guān)系。 把測量數(shù)據(jù)處理成一定的函數(shù)關(guān)系通常采用的方法有表格法，圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法。 一. 表格法 在測試中，一系列測量數(shù)據(jù)都是先列成表格，然后再進(jìn)行其它處理。表格法簡單方便，但要進(jìn)行深入的分析，表格就不能勝任了。首先，它不能給出所有的函數(shù)關(guān)系，其次，從表格中不易看出自變量變化時，函數(shù)的變化規(guī)律，而只能大致估計(jì)出函數(shù)是遞增的，遞減的或是周期性變化的。二. 圖示法 用圖形來表示測量數(shù)據(jù)的方法是最普通的一種方法。 圖示法的最大優(yōu)點(diǎn)是一目了然，即從圖形可以非常直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減，或是是否具有周期性變化規(guī)律等等。 在直角坐標(biāo)系中繪制測量數(shù)據(jù)的圖形時，應(yīng)以橫坐標(biāo)為自變量，縱坐

26、標(biāo)為與其對應(yīng)的函數(shù)值，將各測量數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成曲線時，應(yīng)該使曲線通過應(yīng)可能多的數(shù)據(jù)點(diǎn)，曲線以外的數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能接近曲線，兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目大致相等，最后得到的應(yīng)是一條平滑的曲線。 曲線是否反映出函數(shù)關(guān)系，在很大程度上取決于圖形比例尺的選擇，即取決于坐標(biāo)的分度是否適當(dāng)。 三. 經(jīng)驗(yàn)公式 測量數(shù)據(jù)不僅可以用圖形表示函數(shù)關(guān)系，而且可用圖形對應(yīng)的一個公式來表示所有的測量數(shù)據(jù)。 建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟大致為：第一步：描繪曲線；第二步：對所描繪的曲線進(jìn)行分析，確定公式的基本形式；第三步：曲線化直；第四步：確定公式中的常量；第五步：檢驗(yàn)所確定的公式的準(zhǔn)確性。3.8. 一元線性與非線性回歸 若兩個變量x和y之間存在一定的

27、關(guān)系，并通過測量獲得x和y的一系列數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)處理的方法得出這兩個變量之間的關(guān)系式，這就是工程上的擬合問題，所得關(guān)系式稱為經(jīng)驗(yàn)公式，或稱擬合方程。 如果兩變量之間的關(guān)系是線性關(guān)系，就稱為直線擬合或一元線性回歸。如果兩變量之間的關(guān)系是非線性關(guān)系，就稱為曲線擬合或一元非線性回歸。一. 直線擬合一元線性回歸 設(shè)有一系列測量數(shù)據(jù)x1，x2，xn，若兩參數(shù)呈線性關(guān)系，則可用一個線性方程來表示，即 xaay10所謂直線擬合，實(shí)際上就是確定方程中的兩個變量和。擬合方法通常有以下幾種：1. 端值法 nnyxyx,110a1annxaayxaay101101nnnnxayaxxyya10111將測量數(shù)據(jù)中的兩個

28、端點(diǎn)值，即起點(diǎn)值和終點(diǎn)值代入擬合方程，求常數(shù) 和2. 平均法 xaay10 nnxaayxaayxaay1021021101將全部測量數(shù)據(jù)分別代入中，得：將上面n個方程分成兩組，前半組k個，后半組k個(n為偶數(shù)時，k=n/2，n為奇數(shù)時，k前=(n+1)/2，k后=(n-1)/2)，分別相加后得：kiikiixakay1101kxaakykiikii1101nkiinkiixakay1101kxaakynkiinkii1101kyykiik11kxxkiik11kyynkiik12kxxnkiik12令2110kkxaay2210kkxaay111212101kkkkkkxayaxxyya),(11kkyx),(22kkyx10,aa那么解得：平均法就是將全部測量數(shù)據(jù)分成前后兩組，分別計(jì)算各組的平均值，所得和稱為各組測量點(diǎn)的“點(diǎn)系中心”，然后用端點(diǎn)法求常數(shù)。3. 最小二乘法 最小二乘法在誤差理論中的基本含義是：在具有等精度的多次測量中，求最可靠值時，是當(dāng)各測量值的殘差平方和為最小時所求得的值。 min12niimin21012iiniixaay0a1a那么將上式分別對 和 取偏導(dǎo)數(shù)得：02100iixaaya02101iiixxaaya2220iiiiiiixxnyxxxya221iiiiiixxnyxyxna解得：曲線擬合一元非線性回歸 1. 轉(zhuǎn)化為直線擬合 在實(shí)際問