北京市坤博英才2016屆高三數(shù)學(xué)猜題卷 理（含解析）

1、2016年北京市坤博英才高考數(shù)學(xué)猜題卷（理科）一選擇題（共題，每小題5分）1已知遞增等差數(shù)列an，滿足a22+16=a62，3a3+a5=0，Sn是前n項(xiàng)和，則S9=（）A16B20C27D402已知雙曲線C：=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|OP|=2，且|PF1|=2|PF2|，則PF1F2的面積為（）A66B64C48D323已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2mt2+m）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）4已知函數(shù)f（x）=Asin（2x+）+k

2、（A0，k0）的最大值為4，最小值為2，且f（x0）=2，則f（x0+）=（）A1B2C3D45已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=20，a7=4a3，則S10=（）A110B115C120D1256下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0，1）上單調(diào)遞增的為（）Ay=x3+1By=ln|x|Cy=x+Dy=x+sinx二填空題（共題，每小題5分）7在2016年4月23日“世界讀書日”到來(lái)之際，某單位對(duì)本單位全部200名員工平均每天的讀書世界進(jìn)行了調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該頻率分步直方圖，估計(jì)該單位每天平均讀書時(shí)間在1.5，2.5）之間的員工人數(shù)為8已知函數(shù)f（tan）=sin2

3、+cos2，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)?已知變量x，y滿足，若z=2x+3y的最大值為m，最小值為n，則m=10已知的展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為30，則正實(shí)數(shù)a的值為三解答題（每題12分）11已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線l與拋物線交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AB|=4p，且OAOB，且=9（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l：y=x+m與拋物線C相切于點(diǎn)E，與圓（x+2）2+（y）2=4交于點(diǎn)F，G，求12等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC=2，AB=2CD=4，過(guò)C，D分別作AB的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，將BCE，ADF分別沿CE

4、，DF向上翻折到BCE，ADF，使得兩個(gè)三角形所在平面分別與平面ABCD垂直連接AA，AB，BB（1）求證：AD平面CBB；（2）求幾何體AADBBC的體積；（3）求面AAD與面BBC所成角的余弦值13已知橢圓C： +=1（ab0）的離心率為，直線x+y=2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1且與橢圓C的長(zhǎng)軸垂直，動(dòng)直線l2與直線l1垂直，垂足為P，線段PF2的垂直平分線與直線l2交于點(diǎn)M，記M的軌跡為曲線D，設(shè)曲線D與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)R，S在曲線D上，且滿足=5（i）求證：直線RS恒

5、過(guò)定點(diǎn)；（ii）當(dāng)直線RS與x軸正半軸相交時(shí)，求QRS的面積的取值范圍14已知函數(shù)f（x）=，數(shù)列an滿足a1=1，an+1=f（an）（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）（理）設(shè)bn=anan+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求最小的正整數(shù)m的值（2）（文）設(shè)bn=×2n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn2016年北京市坤博英才高考數(shù)學(xué)猜題卷（理科）參考答案與試題解析一選擇題（共題，每小題5分）1已知遞增等差數(shù)列an，滿足a22+16=a62，3a3+a5=0，Sn是前n項(xiàng)和，則S9=（）A16B20C27D40【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】利用等差數(shù)列

6、的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，因?yàn)椋?a3+a5=0，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列，所以，所以故選：C2已知雙曲線C：=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|OP|=2，且|PF1|=2|PF2|，則PF1F2的面積為（）A66B64C48D32【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷F1PF2為直角三角形，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可【解答】解：由條件可知，雙曲線的焦距為，由，故F1PF2為直角三角形，由條件及雙曲線的定義可得，解之得，故PF1F2的面積為故選：B3已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)

7、x0時(shí)，f（x）=xsinx，若不等式f（4t）f（2mt2+m）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A（，）B（，0）C（，0）（，+）D（，）（，+）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2mt2+4t+m0，通過(guò)討論m的范圍，得到關(guān)于m的不等式，求出m的范圍即可【解答】解：由f（x）=xsinx，可得f'（x）=1cosx0，故f（x）在0，+）上單調(diào)遞增，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在R上單調(diào)遞增，由f（4t）f（2mt2+m），可得4t2mt2+m，即2mt2+4t+m0，當(dāng)m=0時(shí)，不等式不恒成立；當(dāng)m0時(shí)，根據(jù)條件可得，解之得，綜上，m（，），

8、故選：A4已知函數(shù)f（x）=Asin（2x+）+k（A0，k0）的最大值為4，最小值為2，且f（x0）=2，則f（x0+）=（）A1B2C3D4【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象【分析】由函數(shù)最值列式求得A，k的值，由f（x0）=2，得到sin（2x0+）=1，則cos（2x0+）=0，寫出f（x0+），結(jié)合誘導(dǎo)公式求值【解答】解：由條件可得，解之得，故f（x）=sin（2x+）+3由f（x0）=2 可得sin（2x0+）+3=2，sin（2x0+）=1，則cos（2x0+）=0則f（x0+）=sin（2x0+）+3=cos（2x0+）+3=3，故選：C5已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=20，a

9、7=4a3，則S10=（）A110B115C120D125【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出【解答】解：S5=20，a7=4a3，解得a1=2，d=3，故S10=2×10+115，故選：B6下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0，1）上單調(diào)遞增的為（）Ay=x3+1By=ln|x|Cy=x+Dy=x+sinx【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，基本不等式，根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及一次函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)【解答】解：Ay=x3+

10、1為非奇非偶函數(shù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；By=ln|x|是偶函數(shù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.在（0，1）上單調(diào)遞減，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；Dy=x+sinx為奇函數(shù)；y=x和y=sinx在（0，1）上都單調(diào)遞增；y=x+sinx在（0，1）上單調(diào)遞增，該選項(xiàng)正確故選D二填空題（共題，每小題5分）7在2016年4月23日“世界讀書日”到來(lái)之際，某單位對(duì)本單位全部200名員工平均每天的讀書世界進(jìn)行了調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該頻率分步直方圖，估計(jì)該單位每天平均讀書時(shí)間在1.5，2.5）之間的員工人數(shù)為50【考點(diǎn)】頻率分布直方圖【分析】由頻率分布直方圖可知，算出1.5，2.5）之間的頻率，即可求出單位每天平均讀書時(shí)

11、間在1.5，2.5）之間的員工人數(shù)【解答】解：根據(jù)頻率分步直方圖可知，每天平均讀書時(shí)間在1.5，2.5）之間的頻率為：1（0.20+0.70+0.50+0.10）×0.5=0.25，故每天平均讀書時(shí)間在1.5，2.5）之間的人數(shù)為200×0.25=50人故答案為：508已知函數(shù)f（tan）=sin2+cos2，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋究键c(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【分析】由三角恒等變換化簡(jiǎn)f（x），然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程【解答】解：f（tan）=sin2+cos2=2sincos+cos2sin2=，（y+1）x22x+y1=0，當(dāng)，即y=1成立；當(dāng)y+10時(shí)，=（2）2

12、4（y+1）（y1）0，可得，且y+10，綜上所述，可得函數(shù)的值域?yàn)?已知變量x，y滿足，若z=2x+3y的最大值為m，最小值為n，則m=【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值和最小值，進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中ABC（包括邊界），由圖可知，由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值由，解得A（3，4）所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為z=2×3+3×4=18即m=18當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最小值由，解得B（1，0）所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為z=2×

13、;1+3×0=2即n=2所以m=3，故答案為：310已知的展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為30，則正實(shí)數(shù)a的值為1【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【分析】把所給的二項(xiàng)式展開，觀察分析求得展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)，再根據(jù)此系數(shù)等于 30，求得得正數(shù)a的值【解答】解：已知=（1+x2）（+），故展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為a2+=30，a2+=2，解得正數(shù)a=1，故答案為 1三解答題（每題12分）11已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線l與拋物線交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AB|=4p，且OAOB，且=9（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l：y=x+m與拋物線C

14、相切于點(diǎn)E，與圓（x+2）2+（y）2=4交于點(diǎn)F，G，求【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=3p，根據(jù)OAOB得出x1x2+y1y2=0，代入=9解出p；（2）聯(lián)立方程組消元，令=0解出m，得出直線l的方程和E點(diǎn)坐標(biāo)，與圓方程聯(lián)立得出F，G的坐標(biāo)關(guān)系，代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p，x1+x2=3p，OAOB，即x1x2+y1y2=0，解得p=3，拋物線C的方程為y2=6x（2）聯(lián)立方程組，消元得，x2+（2m6）x+m2=0，=（2

15、m6）24m2=0，解之得，解得，故切點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，3）直線l的方程為y=x+聯(lián)立方程組，得2x2+6x+1=0，設(shè)F（x3，y3），G（x4，y4），則x3+x4=3，x3x4=，y3+y4=（x3+x4）+3=0， =（x4，y43），=（x3）（x4）+（y33）（y43）=x3x4（x3+x4）+y3y43（y3+y4）+=×（3）+0+=12等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC=2，AB=2CD=4，過(guò)C，D分別作AB的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，將BCE，ADF分別沿CE，DF向上翻折到BCE，ADF，使得兩個(gè)三角形所在平面分別與平面ABCD垂直連接AA，AB，BB（1

16、）求證：AD平面CBB；（2）求幾何體AADBBC的體積；（3）求面AAD與面BBC所成角的余弦值【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定【分析】（1）證明AFBE，于是有ABEFCD，故而四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，得出ADBC，從而得出AD平面CBB；（2）將幾何體分解成兩個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱，于是幾何體的體積為VAADF+VBBCE+VBCEADF；（3）以F為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，分別求出平面AAD與面BBC的法向量，則cos即為所求【解答】證明：（1）平面BCE平面ABCD，平面BCE平面ABCD=CE，BECE，BE平面ABCD，同理可得AF平面AB

17、CD，AFBE，又AF=BE，四邊形ABEF是矩形，ABEF，AB=EF，又CDEF，CD=EF，ABCD，AB=CD四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，又AD平面CBB，BC平面CBB，AD平面CBB（2）BE=BE=AF=AF=（ABCD）=1，CE=DF=，EF=CD=2，VAADF=VBBCE=VBCEADF=SBCEEF=幾何體AADBBC的體積為VAADF+VBBCE+VBCEADF=+=（3）以F為原點(diǎn)，以FB，F(xiàn)D，F(xiàn)A為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz，如圖所示：則，B（3，0，0），B（2，0，1），C（2，0），設(shè)平面BBC的法向量為=（x，y，z），則，令y=1得=（

18、，1，）同理可得平面AAD的法向量為=（，1，）cos=面AAD與面BBC所成的角的余弦值為13已知橢圓C： +=1（ab0）的離心率為，直線x+y=2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l1過(guò)點(diǎn)F1且與橢圓C的長(zhǎng)軸垂直，動(dòng)直線l2與直線l1垂直，垂足為P，線段PF2的垂直平分線與直線l2交于點(diǎn)M，記M的軌跡為曲線D，設(shè)曲線D與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)R，S在曲線D上，且滿足=5（i）求證：直線RS恒過(guò)定點(diǎn)；（ii）當(dāng)直線RS與x軸正半軸相交時(shí)，求QRS的面積的取值范圍【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】（1）

19、由直線x+y=2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切可得=b，又，a2=b2+c2，聯(lián)立解出即可得出（2）（i）依題意得MP=MF2，M的軌跡是拋物線，其方程為y2=4x，其與x軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，即Q（0，0）可設(shè)RS的方程為x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立得y24my4n=0，設(shè)R（x1，y1），S（x2，y2），把根與系數(shù)的關(guān)系代入，整理化簡(jiǎn)即可得出（ii）利用三角形面積計(jì)算公式、函數(shù)的性質(zhì)即可得出【解答】解：（1）直線x+y=2與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切=b，可得b=又，a2=b2+c2，聯(lián)立解得a=，c=1橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（2）（i）證明：依題意得MP=MF2，M到定直線l1：x=1的距離等于其到定點(diǎn)F2（1，0）的距離，M的軌跡是拋物線，其方程為y2=4x，其與x軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)，即Q（0，0）顯然RS的斜率不為0，設(shè)RS的方程為x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立得y24my4n=0，設(shè)R（x1，y1），S（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=4n，=16（m2+n）0，x1x2+y1y2=5，即，4n（m2+1）4m2n+n2=5，化為n24n5=0，解得n=5或1，當(dāng)n=5時(shí)，適合0；當(dāng)n=1時(shí)，存在m使得0RS的方程為x=my+4或x