第六節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系第六節(jié)第六節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 上面我們已經(jīng)研究了用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示一個(gè)函數(shù)f(x),該函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是以多項(xiàng)式的形式逼近非多項(xiàng)式函數(shù), 現(xiàn)在我們要研究的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)是解決三角多項(xiàng)式近似 表達(dá)函數(shù)的問(wèn)題. 有了冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式,為什么還要研究傅里葉級(jí)數(shù).這是 因?yàn)閮缂?jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)函數(shù)的要求太高. 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (1)要求函數(shù)連續(xù),并且還要函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù). (2)如果具備條件1后,還要求它的余項(xiàng)極限為0,否則就不是該函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 相反,傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)函數(shù)的要

2、求就低很多,它只要求函數(shù)連續(xù),即使函數(shù)不連續(xù)，但它允許只有有限個(gè)第一類間斷 點(diǎn),或有從某一階開(kāi)始的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).所以在工程中,廣泛應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù).下面,我們對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)式進(jìn)行介紹.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系1.三角級(jí)數(shù),)sincos(210的級(jí)數(shù)叫做三角級(jí)數(shù)形如nnnnxbnxaa2.三角函數(shù)系為:一一 三角函數(shù)三角函數(shù), ,三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性;.)3 , 2 , 1(,0都是常數(shù)其中nbaann 1.cosx,sinx, cos2x, sin2x,.,cosnx, sinnx,3.三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系在-,上

3、正交,是指三角函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間-,上的積分等于零.即:高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系,.)3 , 2 , 1(0cos1) 1 (nnxdx),.,3 , 2 , 1,(0coscos)4(nknknxdxkx,.)3 , 2 , 1(0sin1)2(nnxdx,.)3 , 2 , 1,(0cossin)3(nknxdxkx),.,3 , 2 , 1,(0sinsin)5(nknknxdxkx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系現(xiàn)選擇(4)式用計(jì)算定積分來(lái)驗(yàn)證,由積化和差可得到:)cos()cos(

4、21coscosxnkxnknxkx時(shí)有當(dāng)nk dxxnkxnknxdxkx)cos()cos(21coscos),.3 , 2 , 1,(nknk0)sin()sin(21nkxnknkxnk高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系注意:在三角函數(shù)系中,兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在區(qū)間-,21) 1 (2dx,.)3 , 2 , 1(22cos1sin)2(2ndxnxdxnx|42sin2122cos1sin2nnxdxnxdxnx我們把(2)式進(jìn)行證明:上的積分不等于零,即,.)3 , 2 , 1(22cos1cos)3(2ndxnxdxnx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)

5、電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 1, 函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的含義:10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf并設(shè)三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分.二二 函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)若f(x)是周期為2的周期函數(shù),且f(x)能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù):若a0,a1,b1,.能表達(dá)為與f(x)有關(guān)的積分表達(dá)式:高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系dxxfa)(10,.)3 , 2 , 1(cos)(1nnxdxxfan,.)3 , 2 , 1(sin)(1nnxdxxfbn高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系將a0,a

6、1,b1,代入三角級(jí)數(shù)的右端,得到10)sincos(2kkkkxbkxaa則此式稱為函數(shù)f(x)的傅立葉級(jí)數(shù).其中a0,a1,b1,叫做f(x)的傅立葉系數(shù).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系2.傅立葉系數(shù)a0,a1,b1,的導(dǎo)出:10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf從-到逐項(xiàng)積分:sincos2)(10kxdxbkxdxadxadxxfkkk由三角函數(shù)系的正交性:dxxfaaadxxf)(122)(000(1)a0: 把高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(2)an和bn:兩端,再?gòu)?到逐項(xiàng)積分,得到nxd

7、xanxdxxfcos2cos)(0由三角函數(shù)系正交性,等式右端除k=n 一項(xiàng)外,其余各項(xiàng)nnnadxnxanxdxanxdxxf22cos1coscos)(210)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf 用cosnx乘cossincoscos1nxdxkxbnxdxkxakkk均為零.,.)32 , 1(sin)(1:，類似可得到nnxdxxfbn,.)32 , 1(cos)(1:，即nnxdxxfan高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系3. 收斂定理(狄里克雷充分條件)0()0(21xfxf設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),如果它滿足: (1)在一個(gè)周

8、期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第1類間斷點(diǎn); (2)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于并且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于f(x); 當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系狄里克雷充分條件的解釋: (1)即函數(shù)f(x)在-,上不作無(wú)限次振動(dòng),函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處就收斂于該點(diǎn)的函數(shù)值f(x). (2)在間斷點(diǎn),則收斂于該點(diǎn)的左極限與右極限的算術(shù)平均值.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例1 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在求解(-1,1上定義為)(xf1001.

9、 23xxx則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于分析: 根據(jù)收斂定理, f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于)01()01 (21)0()0(21ffxfxf現(xiàn)在我們研究狄里克雷收斂定理的應(yīng)用:232|2113xx高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例2 設(shè)f(x)=2-x (0 x2), 而)(2sin)(1xxnbxSnn其中), 2 , 1(2sin)(20ndxxnxfbn求S(-1)和S(0)分析: S(x)是f(x)在0,2上的傅里葉正弦級(jí)數(shù),也是奇函數(shù)2-2-22xy020,202,2xxxxF(x)=高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技

10、學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系在-2,2上的傅里葉正弦級(jí)數(shù),由狄里克雷定理,在F(x)的連續(xù)點(diǎn)x=-1處 S(-1)=F(-1)=-2-(-1)=-1在F(x)的間斷點(diǎn)x=0處 S(0)=F(0-0)+F(0+0)/2=-2+2/2=0高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例3 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在-,)上的)(xfxx0101把f(x)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).x-2-01-1解:對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù),首先作圖. 因?yàn)樵趫D中,我們可看出其展開(kāi)后的情況表達(dá)式為高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(1)因?yàn)楹瘮?shù)滿足收斂定理?xiàng)l件,在

11、點(diǎn)x=k0211)0()0(21ff(k=0,1,2,.)處不連續(xù),所以在間斷點(diǎn)x=k處,級(jí)數(shù)收斂于高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(2)xk時(shí),級(jí)數(shù)收斂于f(x)., 計(jì)算傅立葉系數(shù):nxdxxfancos)(100sin11sin)1(1sin)(1nxdxnxdxnxdxxfbn,.)3 , 2 , 1 , 0(0cos11cos)1(100nnxdxnxdx1coscos1 1cos1cos100nnnnnxnnx)1(1 2nnnbnn4,.7 , 5 , 3 , 1當(dāng)0,.8 , 6 , 4 , 2nbn當(dāng)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢

12、科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系x-2-01-1(3)傅立葉展開(kāi)式為:.) 12sin(121.3sin31sin4)(xkkxxxf 如果把例1中的函數(shù)理解為矩形波的波形函數(shù)(周期,.)2, 0,(xxT=2,輻值E=1,自變量x表示時(shí)間),那么上面所得到的展開(kāi)式表明:矩形波是由一系列不同頻率的正弦波疊加而成的,這些正弦波的頻率依次為基波頻率的奇數(shù)倍.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系周期延拓:)0()0(21ff 若f(x)不是周期為2的周期函數(shù),只在-,上有定義,并滿足狄里克雷充分條件,可在-,)或(-,外補(bǔ)充函數(shù)定義,使f(x)拓廣為周期為2的周期函

13、數(shù)F(x),稱這種拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程為周期延拓.把F(x)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù),最后限制x在(-,)內(nèi),此時(shí)F(x)f(x)即得f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式.注意:由狄里克雷充分條件,該級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)x=,收斂于:高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例4 把函數(shù) f(x)=-x, -x0 x, 0 x 展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解: (1) f(x)在-,上滿足狄里克雷充分條件,把f(x)拓xy-2-2廣為周期函數(shù),該周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在-,上收斂于f(x).高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(2)計(jì)算傅立葉系數(shù):nxdxxfanco

14、s)(1=,.)6 , 4 , 2(0,.)5 , 3 , 1(42nnn00cos1cos)(1nxdxxnxdxx0202cossin1cossin1nnxnnxxnnxnnxx) 1(cos22nn高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系0001)(1)(1xdxdxxdxxfanxdxxfbnsin)(102022121xx00sin1sin)(1nxdxxnxdxx0202sincos1sincos1nnxnnxxnnxnnxx,.)3 , 2 , 1(0n高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(3)把傅立葉系數(shù)代入10)

15、sincos(2)(nnnkxbkxaaxf)(.5cos513cos31cos42)(22xxxxxf得到 利用這個(gè)展開(kāi)式,我們可以求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和.當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0.于是由這個(gè)展開(kāi)式得到高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系.513118222.5141312112222設(shè))8.(513112221.6141212222.51413121122223243442122126248222211264222213高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系三三 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 本節(jié)研究的是:(一).奇函

16、數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),.)2,1 ,0(0nan (一). 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) (二). 函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù).1.定理: 設(shè)f(x)是周期為2的函數(shù),在一個(gè)周期上可積,那么:(1)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),它的傅立葉系數(shù)為,.)2,1(sin)(20nnxdxxfbn高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系 f(x)為奇函數(shù)時(shí),余弦系數(shù)為0,正弦系數(shù)為半?yún)^(qū)間(2)當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí),它的傅立葉系數(shù)為,.)2 , 1 , 0(cos)(20nnxdxxfan f(x)為偶函數(shù)時(shí),正弦系數(shù)為0,余弦系數(shù)為半?yún)^(qū)間上積分的兩倍,.)2 , 1(0nbn上

17、積分的兩倍高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系證明: 現(xiàn)在只證明(1): 設(shè)f(x)為奇函數(shù),即f(-x)=-f(x)nxdxxfancos)(100cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf,xx 令對(duì)右邊第一式下限積分上則,)(),()(dxxdxfxf0 ,0 ,換為由 高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系0)()cos()(1xdnxxfan0cos)(1nxdxxf0cos)(1nxdxxf0cos)(10nxdxxf)()sin()(1:0 xdnxxfbn同理0sin)(1nxdxxf,.)3 , 2 ,

18、1(sin)(20nnxdxxf高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系(二). 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù): 若f(x)為奇函數(shù),則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)nxbnnsin1稱為正弦級(jí)數(shù).余弦級(jí)數(shù): 若f(x)為偶函數(shù),則f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)只含有余弦項(xiàng)nxaanncos210稱為余弦級(jí)數(shù)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系例5 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在-,)上的表02)(2)0()0(ff達(dá)式為f(x)=X,把f(x)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù).解:f(x)符合狄里克雷條件,其不連續(xù)點(diǎn)為:x=(2k+1) (k=0,

19、1,2.)故在不連續(xù)點(diǎn)處,f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系在連續(xù)點(diǎn)x(x(2k+1)處,f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于f(x).xy1-1-2-2因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),故可展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)此時(shí)an=0 (n=0,1,2,3,)高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系00sin2sin)(2nxdxxnxdxxfbn一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),它具有正弦級(jí)數(shù)的項(xiàng)和余弦,.)3 , 2 , 1() 1(2cos2sincos2102nnnnnnxnnxxn.)sin) 1(.3sin312sin21(sin2)(

20、1nxnxxxxfn,.)3,(xx級(jí)數(shù)的項(xiàng).如果該函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)),則它的傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)式只有正弦級(jí)數(shù)的項(xiàng)(或余弦級(jí)數(shù)的項(xiàng)),計(jì)算簡(jiǎn)單.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系討論:把定義在區(qū)間0,上的函數(shù)f(x)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)二二 函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)(非周期函數(shù))1.奇(偶)延拓:f(x)在0,上滿足狄里克雷條件,在(-,0)內(nèi)補(bǔ)充f(x)的定義,得到定義在(-,上的函數(shù)F(x),使F(x)在(-,)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù)),稱此種拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程為奇(偶)延拓.高等數(shù)學(xué)電子教案高等數(shù)學(xué)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系武漢科技學(xué)院數(shù)理系2.F(x)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù)) 把奇(偶)延拓后的函數(shù)F(x)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù),即為F(x).的正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù).3.f(x)的正弦(余弦)級(jí)數(shù)展開(kāi)式: