圓錐曲線綜合計(jì)算

1、 圓錐曲線計(jì)算能力專項(xiàng)訓(xùn)練 1P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值2. 如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.3. 已知方向向量為v=(1,)的直線l過點(diǎn)（0，2）和橢圓C：的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（）求橢圓C的方程；（）是否存在過點(diǎn)E（2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足，cotMON0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請

2、說明理由.4. 已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè).（）證明：1e2；（）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形.5. 如圖，已知橢圓=1(2m5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè)f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值. 6. 如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。（）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；（）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x

3、軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。 7. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為（）證明；（）求使得下述命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，則yO.Mx.8. 我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)9. 已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點(diǎn)

4、為圓心）（I）求圓的方程；（II）設(shè)圓的方程，過圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值和最小值10過雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于PQ兩點(diǎn)，則|FP|FQ|的值為_.11. 設(shè)動點(diǎn)到點(diǎn)和的距離分別為和，且存在常數(shù)，使得（1）證明：動點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；（2）如圖，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)問：是否存在，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由12. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：為

5、此拋物線的切線；（5分）（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為 (1)求圓的方程； (2)試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由14.艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈 設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，

6、若不計(jì)空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？15. 已知拋物線C：y2=4x.(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線l分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若M(m,0)是x軸上的一定點(diǎn)，Q是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.16.已知A,B為橢圓(a>b>0)和雙曲線的公共頂點(diǎn),P,Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A,B的動點(diǎn),且有+=l(+)(lR,|l|>1),設(shè)AP,BP,AQ,BQ斜率分別為k1,k2,k3,k4,求證:k1+k2+k3+k4為一個(gè)定值.17如圖,

7、直線y=x與拋物線y=x24交于A、B兩點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與直線y=5交于Q點(diǎn). (1) 求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點(diǎn)A、B) 的動點(diǎn)時(shí), 求OPQ面積的最大值.18.在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由1.（05全國卷2）2. 解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，從而得

8、到重心G的軌跡方程為： （2）方法1：因?yàn)橛捎赑點(diǎn)在拋物線外，則同理有AFP=PFB.方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.3. （I）解法一：直線， 過原點(diǎn)垂直的直線方程為， 解得橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 解法二：直線.設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.橢圓中心（0，0）關(guān)于

9、直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上， 直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （II）解法一：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入，整理得 點(diǎn)O到直線MN的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入，整理得 E（2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，|MN|=|ME|+|NE|=以下與解法一相同.解法三：設(shè)M（），N（）.設(shè)直線，代入，整理得 即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為所以所求直線方程為或或4.（）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l

10、：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由即 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 即 解得 （）解法一：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a

11、2，化簡得 從而于是. 即當(dāng)時(shí)，PF1F2為等腰三角形.5. (1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(1,0).故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±,即x=±m.A(m,m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC=.又A、B、C、D都在直線y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA)·,|CD|

12、=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|·=|·= (2m5)故f(m)=，m2,5.(2)由f(m)=，可知f(m)= 又222f(m)故f(m)的最大值為，此時(shí)m=2;f(m)的最小值為，此時(shí)m=5.6. （）解法一：如圖（21）圖作ACl，BDl，垂足為C、D，則由拋物線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz，則|FA|AC|解得，類似地有，解得。記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則所以。故。解法二：設(shè)，直線AB的斜率為，則直

13、線方程為。將此式代入,得，故。記直線m與AB的交點(diǎn)為，則，故直線m的方程為.令y=0,得P的橫坐標(biāo)故。從而為定值。7. （）證法一：由題設(shè)及，不妨設(shè)點(diǎn)，其中，由于點(diǎn)在橢圓上，有，解得，從而得到，直線的方程為，整理得由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，將代入原式并化簡得，即證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作，垂足為，易知，故由橢圓定義得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為當(dāng)時(shí)，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)和，因此點(diǎn)，的坐標(biāo)是方程組的解當(dāng)時(shí)，由式得代入式，得，于是，若，則所以，由，得在區(qū)間內(nèi)此方程的解為當(dāng)時(shí)，必有，同理求得在區(qū)間內(nèi)

14、的解為另一方面，當(dāng)時(shí)，可推出，從而綜上所述，使得所述命題成立8. 解：（1） ，于是，所求“果圓”方程為， （2）設(shè)，則 ， ， 的最小值只能在或處取到 即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處 （3），且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可 當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是 當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是 綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或 9. （I）解法一：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知解得，所以，或，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為4分解法二：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為

15、，由題設(shè)知又因?yàn)?，可得即由，可知，故兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以圓心在軸上設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，于是有，解得，所以圓的方程為4分（II）解：設(shè)，則8分在中，由圓的幾何性質(zhì)得，所以，由此可得則的最大值為，最小值為11. 解：（1）在中，（小于的常數(shù)）故動點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線方程為（2）方法一：在中，設(shè)，假設(shè)為等腰直角三角形，則由與得，則由得，故存在滿足題設(shè)條件方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得所以，則由，可設(shè)，則，則由得根據(jù)雙曲線定義可得，平方得：由消去可解得，故存在滿足題設(shè)條件12. 解：（1）設(shè)過C點(diǎn)的直線為，所以，即，設(shè)A，=，因?yàn)?，所以，即，所以，即所以?）設(shè)過Q的切線為，所以，即，它與的交點(diǎn)為M，又，所以Q，因?yàn)?所以，所以M,所以點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。Q，因?yàn)镻Q軸，所以因?yàn)?，所以P為AB的中點(diǎn)。12. 解： (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓