肝手術病人模型(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上肝手術病人生存時間的預測模型第三隊白 璇 羅基莉 張曉輝 （女） （女） （男）肝手術病人生存時間的預測模型摘 要 本文針對肝手術病人四項指標與生存時間的關系數(shù)據(jù)進行了分析計算. 運用多項式擬合的方法，建立多元線性回歸模型，并經(jīng)過多次改進，最終得出病人生存時間的預測模型.首先，利用題中所給數(shù)據(jù)，分別做出凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值，肝功化驗值與病人生存時間的散點圖，由圖像擬合得出此四項指標與生存時間的線性回歸模型. 在此基礎上，考慮交叉項的影響，建立多元非線性回歸模型一，利用MATLAB計算出模型一的自變量系數(shù)，置信區(qū)間和檢驗統(tǒng)計量，依此判斷模型中各參量對生存時間的影

2、響程度,得出交叉項對生存時間影響不太顯著，沒有必要引入模型.其次，不考慮交叉項的影響做出以生存時間為因變量，四項指標為自變量的多元線性回歸模型二，利用與模型一同樣的求解方法得出肝功化驗值對生存時間的影響不顯著，故將其在模型中剔除，建立改進后的模型三. 利用同樣的方法計算出結果并剔除異常數(shù)據(jù)后，最終得出預測模型四.再次，利用表數(shù)據(jù)擬合模型四得到預測生存時間，與真實生存時間進行對比分析，從而驗證了模型四的合理性和精確度. 得出凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值對生存時間的靈敏度依次增大的結論. 最后，本文對模型進行了分析評價， 然后將該模型推廣到其它預測問題中.關鍵詞 線性回歸 檢驗統(tǒng)計量 預測模型一問

3、題重述為了對做過某一類型肝手術病人的生存時間做預測，某醫(yī)院外科隨機的選取了位需要做此手術的病人為研究對象.對每位病人手術前考察了下列四個指標：凝血值；預后指數(shù)；酵素化驗值；肝功化驗值.根據(jù)題目中表 給出的數(shù)據(jù)，建立合適的數(shù)學模型，以預測病人手術后的生存時間.并解答以下問題：1.考慮自變量交互項對模型結果的影響，并判斷有無將其引入模型的必要.2.在此分析的基礎上建立模型.模型建立后，需說明模型的合理性. 3.使用殘差圖分析的方法，分析剔除肝功能化驗值對模型結果的影響,以改進模型. 4. 評估關于誤差正態(tài)性假定的合理性.5引入其他有用的數(shù)據(jù)進行分析.根據(jù)題目中表所給的數(shù)據(jù)，首先擬合問題1.2中所選

4、擇的模型，得出相關數(shù)據(jù)，并與原來所得數(shù)據(jù)進行比較，以評價所選擇模型的穩(wěn)定性和預測能力.最后，綜合表和表中的數(shù)據(jù)，對所選擇模型的精細和確認性分析，對所得結果進行評價.二 問題分析為較為準確地預測做過某一類肝手術病人的生存時間，需運用曲線擬合的方法，建立以病人手術前的四項指標（凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值，肝功化驗值）為回歸變量，手術后生存時間對數(shù)變換值為因變量的回歸模型. 針對問題1.1，要確定最終的回歸模型中是否引入自變量交叉項，需考慮引入自變量交叉項對因變量的影響程度，如果影響不顯著，則不需引入；反之，則需要引入. 針對問題1.2，建立合理模型不僅需考慮交叉項對模型結果的影響，還需考慮某項指

5、標對模型結果的影響，是否引入該項亦須考慮其影響的顯著程度. 驗證模型合理性只需將自變量值代入預測模型當中，比較預測值與實際值間的差值，即可驗證.針對問題1.3，根據(jù)問題1.2的求解過程，可畫出剔除肝功化驗值前后模型的殘差圖. 對比兩個殘差圖，若變化明顯，則不可剔除肝功化驗值；反之，則可剔除.針對問題1.4，可對問題1.2中的殘差值畫出殘差圖和殘差正態(tài)分布圖，觀察圖像即可評估誤差正態(tài)性假定的合理性.針對問題1.5，肝手術后生存時間還與其他指標相關，搜索相關指標的數(shù)據(jù)，并將其作為新的自變量進行曲線擬合，對模型進行修正. 針對問題2.1，首先運用曲線擬合的方法對問題一中所選模型進行擬合，并與模型一中

6、各自變量的回歸系數(shù)以及檢驗統(tǒng)計量進行比較，以此判斷所選模型的合理性. 針對問題2.2，要評價模型的預報能力，須將表2中的自變量代入問題一中的預測模型中，計算出預測值與真實之間的誤差，以此為依據(jù)評價所選模型的準確性. 針對問題2.3，要對模型做出精細性分析，可以考慮自變量的靈敏度. 分別剔除一個自變量后，計算出模型的檢驗統(tǒng)計值，與模型三作比較，以此為參考得出各自變量的靈敏度.三 基本假設1. 僅考慮題中所給指標對手術后生存時間的影響；2. 患者無其他病變和意外情況發(fā)生；3. 殘差大致符合均值為零的正態(tài)分布.四 符號表示 病人編號第位病人的凝血值第位病人的預后指數(shù)第位病人的酵素化驗值第位病人的肝功

7、化驗值病人生存時間對數(shù)變換值病人生存時間對數(shù)變換預測值模型擬合產(chǎn)生的隨機誤差普通殘差. 即實際觀測值與回歸值的偏差模型中自變量的系數(shù)回歸模型的決定系數(shù)模型的統(tǒng)計量值統(tǒng)計量值對應的概率值模型的置信水平隨機誤差的方差方差的無偏估計值五 模型建立與求解根據(jù)題目所給表格，確定四項指標與病人生存時間對數(shù)值的關系，然后分析模型的合理性并給出預測. 首先考察各自變量對因變量的影響，為了大致地分析與，的關系，利用表1的數(shù)據(jù)分別作出對，的散點圖（見圖1）.0510151.522.530501001.522.530501001501.522.53024681.522.53圖1 對，的散點圖從圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加

8、，值有較明顯的線性增長趨勢，圖中的直線是用線性模型擬合得到，綜合四個圖可建立線性回歸模型如下: 式右端的稱為回歸變量，是給定凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值，肝功化驗值時，生存時間對數(shù)的平均值，其中的參數(shù)為回歸系數(shù)，由表的數(shù)據(jù)估計，影響的其它因素作用都包含在隨機誤差中，如果模型選擇的合適，應大致服從均值為零的正態(tài)分布.5.1 問題1.1的求解: 為考察自變量交互作用對病人生存時間的影響，不妨建立包括各交互項的回歸模型，通過對交互項回歸系數(shù)及置信區(qū)間的觀察，判斷有無必要將這些交叉項引入到模型中.5.1.1 模型一建立：從圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著，的增加，的值有比較明顯的線性增長趨勢，故建立如下的回歸模型：

9、在這個模型中，的均值與及它們的交叉項有關，由系數(shù)確定.5.1.2 模型一求解：直接利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，得到模型一的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平）、檢驗統(tǒng)計量,的結果見表：表 模型一的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 表顯示，指因變量（生存時間的對數(shù)變換值）的可由模型確定，值遠遠超過檢驗的臨界值（），值遠小于，因而模型一從整體來看是可用的.表的回歸系數(shù)給出了模型一中的到的估計值.檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，的置信區(qū)間均包含零點（且區(qū)間兩端端點距零點很近），表明回歸變量的各交叉項對因變量的影響不顯著，故各交叉項可不引入到模型中.5.2 問題1.2的求解: 由問題1

10、.1中的分析可得，在建立回歸模型時，可不引入各交叉項.即只需建立與回歸變量線性相關的回歸模型.5.2.1 模型二建立:回歸變量，對因變量的影響是相互獨立的，即病人生存時間的對數(shù)平均值與凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值，肝功化驗值的關系分別由回歸系數(shù)，確定，得到： 在這個模型中，的均值與給定凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值，肝功化驗值有關.5.2.2 模型二求解: 直接利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，得到模型二的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平）、檢驗統(tǒng)計量,的結果見表： 表 模型二的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 表顯示，指因變量（生存時間的對數(shù)變換值）的可由模型確定，值遠遠超

11、過檢驗的臨界值（），值遠小于，因而模型二從整體來看是可用的.表的回歸系數(shù)給出了模型一中的，的估計值，即，.檢查它們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，只有的置信區(qū)間包含零點（但區(qū)間左端點距零點很近），表明回歸變量（對因變量的影響）不太顯著，模型需進行改進.對模型二各回歸變量的回歸系數(shù)以及置信區(qū)間進行考察可以看出，（肝功化驗值）對影響不太顯著. 故在改進模型時，可將剔除.5.2.3 模型三建立：如果剔除肝功能化驗值，模型變?yōu)? 在這個模型中，的均值僅與給定凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值有關，由系數(shù)確定.5.2.4 模型三求解：利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，得到模型三的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信

12、水平）、檢驗統(tǒng)計量,的結果見表：表 模型三的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 對比表和表可以看出，剔除后的值變化微小，而且的值增大，所有參數(shù)的置信區(qū)間不包含零點，由此判斷，剔除肝功能化驗值對模型的預測影響不大，但相比模型二更合理.為了對殘差進行分析，圖給出模型三的殘差圖.圖 模型三的殘差圖從圖可發(fā)現(xiàn)兩個異常點，為了使個別的數(shù)據(jù)不影響整個模型，應該將這個異常數(shù)據(jù)去掉，對模型三重新估計回歸系數(shù)，得到的結果如表，殘差圖見圖，可以看出，去掉異常點數(shù)據(jù)后結果有所改善. 圖 模型三去掉異常數(shù)據(jù)后的殘差圖表 模型三去掉異常數(shù)據(jù)后的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 對比表和表 可以看出，剔除兩個異常數(shù)據(jù)后

13、，得到的和均有所增大，所有參數(shù)的置信區(qū)間不包含零點，由此可以得出該問題的最優(yōu)預測模型，稱為模型四： 將組數(shù)據(jù)代入預測模型得到的預測值與真實值進行比較（比較結果見附錄表），得出平均偏差為，所以，模型三去除兩個異常點后建立的預測模型四相對符合實際，更合理.5.3 問題1.3的求解：模型四中已經(jīng)剔除掉肝功化驗值，為了對殘差進行分析，下面給出了模型二和模型三的殘差圖： 圖 模型二的殘差圖 圖 模型三的殘差圖 對比模型二和模型四的殘差圖可看出，模型二和模型四的殘差圖差別很小，而且圖中的殘差分布相對集中，說明肝功化驗值對預測模型的影響很小，可以不考慮.5.4 問題1.4的求解：對模型三的殘差從小到大排序后

14、，利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中提供的圖檢驗其是否符合正態(tài)分布，模型四的殘差圖如下圖：圖 模型三殘差圖檢驗由圖中可以看到，模型三的殘差點近似分布在一條直線上，則可認為它符合正態(tài)分布，則誤差正態(tài)性假定是合理的，下面給出模型三的殘差正態(tài)分布圖：圖 模型三殘差正態(tài)分布圖5.5 問題1.5的求解：做過肝手術病人的生存時間除了和凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值，肝功化驗值有關外，還與抗凝指標值，纖溶指標值等有關系.5.6 問題2.1求解：問題一中所選模型為 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress重新求解，得到模型三的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平），檢驗統(tǒng)計量,的結果見表： 表 用表

15、中的數(shù)據(jù)擬合模型三的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 得到預測模型如下： 利用式對表中所給的指標進行預測，所得預測值與真實值進行比較（見附錄表），平均偏差為，表明所選模型比較穩(wěn)定，未出現(xiàn)較大程度的偏差. 再將表與表中的各項數(shù)據(jù)進行比較，發(fā)現(xiàn)各項數(shù)據(jù)的變化較小，說明模型三的精確度高，穩(wěn)定性好對表數(shù)據(jù)的殘差圖（圖）進行分析可見數(shù)據(jù)分布集中，這也說明模型三精確度高，能夠較準確的預測病人生存時間 圖 用表數(shù)據(jù)擬合模型三所得殘差圖5.7 問題2.2的求解：對一個實際問題建立起多元線性回歸方程后，一個重要應用就是利用方程去預測. 除了要知道預測值外，還希望知道預測精度，即更希望能給出的一個預測范圍（預測

16、區(qū)間），使這個區(qū)間包含的概率達到指定的. 隨機誤差的方差的無偏估計值為：則的置信水平達到和的近似預測區(qū)間分別為：和由上式可知，近似預測范圍較大，故模型精確度高，即模型準確性高，預報能力強. 5.8 問題2.3的求解： 為了對模型做出更精細的分析，可分別考慮模型三中凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值的靈敏度.5.8.1在模型三中剔除凝血值后，模型變?yōu)椋?運用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，得到該模型的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平），檢驗統(tǒng)計量,的結果見表：表 模型三中剔除的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 對比表和表可以發(fā)現(xiàn)，去除后和都有明顯的下降，參數(shù)置信區(qū)間也增大，從而可以得

17、出對模型的靈敏度較大，即凝血值對病人的生存時間影響較大.5.8.2在模型三中剔除預后指數(shù)后，模型變?yōu)椋?運用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，得到該模型的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平），檢驗統(tǒng)計量,的結果見表：表 模型三中剔除的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 對比表和表可以發(fā)現(xiàn)，去除后和都有明顯的下降，參數(shù)置信區(qū)間也增大，從而可以得出對模型的靈敏度較大，即預后指數(shù)對病人的生存時間影響較大.5.8.3在模型三中剔除酵素化驗值后，模型變?yōu)椋?運用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的命令regress求解，得到該模型的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平）、檢驗統(tǒng)計量,的結果見表：表 模型三中

18、剔除的計算結果參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)間 對比表和表可以發(fā)現(xiàn)，去除后和都有很大程度的下降，參數(shù)置信區(qū)間也明顯增大，從而可以得出對模型的靈敏度很大，即酵素化驗值對病人的生存時間影響很大.綜上分析可以得出，凝血值，預后指數(shù)，酵素化驗值三項指標對病人生存時間的影響都很顯著，且靈敏度依次增大，即酵素化驗值的靈敏度最高，對病人生存時間的影響最大.六結果分析 對肝病患者進行手術前，需先對其相關身體指標進行化驗檢查，以確定患者是否適合進行肝臟手術以及有無進行手術的必要.本題中給出病人的四項指標數(shù)據(jù)和病人生存時間，通過模型的建立和分析，得出肝功化驗值對生存時間的影響很小，最終得出預測模型. 該預測模型精確度較

19、高，可以通過其它三項指標數(shù)值計算出病人的生存時間，給醫(yī)學上的預測帶來很大的方便.七模型改進本題所選模型分析過程相對簡單，在消除交叉項影響的分析過程中，僅考慮了全部引入的情況，沒有進行逐步引進交叉項時回歸系數(shù)變化情況的分析，現(xiàn)使用MATLAB工具箱中的stepwise工具，通過對各自變量以及交叉項引入前后回歸系數(shù)和偏差變化的分析，最后確定是否引入這些項. 使用stepwise工具所得結果如圖和圖，由它們的對比可以發(fā)現(xiàn)，僅考慮，時，模型結果與考慮全部自變量及交叉項時的模型結果相近.其中，圖中Stepwise Table窗口中的數(shù)據(jù)為：，；圖中Stepwise Table窗口中的數(shù)據(jù)為：，.檢驗統(tǒng)計

20、量的比較也顯示只考慮，時，所得模型合理.圖 僅考慮，時模型的stepwise圖圖 考慮，及交叉項時模型的stepwise圖八模型評價與推廣 本文建立的模型和算法具有一般性，適用于預測肝病人手術后的生存時間，模型運用多項式擬合方法，經(jīng)過逐步分析和不斷改進，最終建立多元線性回歸模型，并計算出自變量的系數(shù)，從而得到預測模型. 經(jīng)檢驗，該模型的精確度較高，可以較為準確地預測肝病人手術后的生存時間.題目中只給出四項指標對生存時間的影響，但在實際生活中，仍有其它因素影響病人的生存時間. 本文建立的模型可以推廣到其它多元非線性回歸問題上，并做出相關預測，同時也可在增加其它數(shù)據(jù)和條件的基礎上廣泛應用于預測問題

21、中. 參考文獻1劉振航，數(shù)學建模M,北京：中國人民大學出版社，20042劉新平 魏啟恩，概率論與數(shù)理統(tǒng)計M，西安：西安出版社，20023李宏艷 王雅芝，數(shù)學實驗M，北京：清華大學出版社，20074任玉杰，數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn)M，北京：高等教育出版社，20085肖樹鐵，數(shù)學實驗M,北京：高等教育出版社，1999附錄表1 54位肝手術病人的觀測數(shù)據(jù)病人編號凝血值預后指數(shù)酵素化驗值肝功化驗值生存時間對數(shù)變換值16.762812.592002.301025.159661.701012.004337.457832.162042.309646.573412.011012.004357.865115

22、4.305902.706765.838721.42801.903175.746631.91801.903183.768812.571272.103896.067932.502022.3054103.776942.402032.3075116.384834.133292.5172126.751431.86651.8129135.8961143.958302.9191145.883883.953302.5185157.762673.401682.2253167.474682.402172.3365176.085282.98871.9395183.751411.55341.5315197.36874

23、3.562152.3324205.657873.021722.2355215.252762.851092.0374223.483531.121362.1335236.726682.10701.8451245.867863.402202.3424256.3591002.952762.4409265.861733.501442.1584275.252862.451812.25772811.276905.595742.7589295.254562.71721.8573305.876592.581782.2504313.264650.74711.8513328.745232.52581.7634335

24、.059733.501162.0645345.872933.302952.4698355.458702.641152.0607365.351992.601842.2648372.674862.051182.0719384.381192.851202.0792394.861762.451512.1790405.452881.811482.1703415.249721.84951.9777 續(xù)表423.628991.30751.8751438.886886.404832.6840446.556772.851532.1847453.477931.481912.2810466.540843.00123

25、2.0899474.5731063.053112.4928484.8861014.103982.5999495.167772.861582.1987503.9821034.553102.4914516.677461.951242.0934526.485401.211252.0969536.459852.331982.2967548.878723.203132.4955表2 肝手術病人生存時間的模型確認數(shù)據(jù)病人編號凝血值預后指數(shù)霉素化驗值肝功化驗值對數(shù)變換值17.123781.932.032624.966913.052.408636.490351.062.217745.735702.131.90

26、7856.142692.252.00356827832.032.094576.834511.271.765284.763361.711.79259747671.62.1295106.769652.912.2295116.746783.262.1524125.860863.112.3188136.756321.531.9039146.851582.182.0508157.295824.682.6525167.452673.282.2053175.353622.421.9246183.558841.742.1541196.874792.252.497204.447492.421.723721766

27、1184.692.8339226.761573.872.1282235.6751033.112.6884246.958883.462.4284256.262571.252.0261264.797271.772.0843276.869602.92.282628673581.222.2073 續(xù)表295.950623.192.0443305.588743.212.4863313.855521.411.9037324.399833.932.6647336.648542.941.9071346.242631.851.9093355601053.172.4389365.862823.182.334337

28、4.742100.281.3379385.770592.282.1996394.764481.31.8795407.874402.582.1504412.943320.941.433424.972903.512.4381434.673572.822.1075445.978704.282.2843454.669703.172.1615466.153521.842.0558475.988983.332.7249484.766681.82.0524910.462854.652.681505.870642.522.2604515.464811.362.2553526.990332.782.174553

29、7.945552.462.0224544.568602.072.1413表11 模型四預測值與真實值的比較12.3012.30020.0008291.85731.87310.015822.00432.00930.005302.25042.14640.10432.30962.32540.0158311.85131.90650.055242.00431.99380.0105321.76341.72290.040552.70672.74090.0342332.06452.07060.006161.90311.9280.0249342.46982.44320.026671.90311.90530.00

30、22352.06072.06130.000682.10382.13610.0323362.26482.27450.0097102.30752.33630.0288372.07192.15950.0876112.51722.49090.0263382.07922.00630.0729121.81291.82770.0148392.1792.10360.0754132.91912.86740.0517402.17032.18310.0128142.51852.49430.0242411.97771.98440.0067152.22532.23590.0106421.87511.94120.0661

31、162.33652.33310.0034432.6842.74030.0563 續(xù)表171.93951.93910.0004442.18472.19190.0072181.53151.58940.0579452.2812.31380.0328192.33242.330.0024462.08992.11490.025202.23552.23330.0022472.49282.48490.0079212.13352.05090.0826482.59992.57610.0238231.84511.84520.0001492.19872.18990.0088242.34242.32910.0133502.49142.49370.0023252.44092.430.0109512.09342.08640.007262.15842.14710.0113522.09692.08590.011272.25772.14890.1088532.29672.29030.0064282.75892.84390.085542.49552.51070.0152表12 用表2中數(shù)據(jù)擬合模型四預測值與真實值比較編號真實值預測值偏差編號真實值預測值偏差12.03261.9