【精選】第五講直線與圓的位置關系

1、第五講直線與圓的位置關系【考綱要求】：1. 能判斷直線與圓的位置關系.2. 能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題 3.初步了解用代數方法處理幾何問題.【要點整合】：1.基本概念：Aa + Bb+C直線 I: Ax+By+ C = 0與圓(x a)2 + (y b)2= r2(r>0)的位置關系:(1) 幾何方法：圓心(a, b)到直線Ax+By+ C= 0的距離d =.V A2 + B2dvr?直線與圓相交；d= r?直線與圓相切；d>r?直線與圓相離.2消元得到的一元二次方程，它的判別式=rI Ax + By + C = 0代數方法：22p-a) +(y-b)A= 0?直線與圓相

2、切； <0?直線與圓相離.為，則A >0?直線與圓相交； 2.基本性質：(含定理和公式)圓的切線(1)求過圓上的一點(X0, y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率 k,再 由垂直關系知切線斜率為-丄，由點斜式方程可求得切線方程.如果 k= 0或k k不存在，則可直接得切線方程為 x=X0或y= y0.經過圓上一點的圓的切線有且僅有一條；(2) 求過圓外一點(X0, yo)的圓的切線方程：幾何方法：設切線方程為 y yo= k(x xo),即kx y kxo+ yo = 0.由圓心到直 線的距離等于半徑，可求得k.代數方法：設切線方程為yy0= k(xX0)，即y= kx

3、kx0+y0,代入圓的方程, 得到一個關于x的一元二次方程，由 = 0,可求得k.經過圓外一點P(X0, y0)的圓的切線有兩條(3) 從圓外一點P(X1, y1)引到圓x2 + y2+Dx+Ey+ F = 0的切線，則點P到切點的切線長 d =Dxj + Ey, + F .3. 基本方法:直線被圓截得的弦長:(1)幾何方法：運用弦心距d半徑r及弦的一半構成直角三角形，計算弦長= 2 屮2 -d2.(4) 代數方法：運用韋達定理求弦長AB = J1 + k2 J(Xa + Xb )2 4xa xb4. 易錯警示:(1)討論直線與圓相切、相交的問題時，大多數運用幾何方法，即用圓心到直線 的距離和

4、半徑討論，而用判別式法計算量大，且易出錯.(2) 點在圓外時，過該點的圓的切線有兩條，因此用點斜式或斜截式直線方程求 切線時，若僅有一解，應添上垂直于 X軸的那一條.(3) 用幾何法解有關問題時應注意多個答案的情況，防止漏解. 【例題精析】：考點1:直線與圓的位置關系.例1 : (06湖南)若圓X2 + y2 -4x-4y _10 = 0上至少有三個不同的點到直線 l : ax +by =0的距離為2 72,則直線I的傾斜角的取值范圍是(A. 一， B .一，C . ，一D . 0, 12 412 126 32解：圓方程化為：(X-22 ry-?：2 =18,直線可設為l : y=kx,由題意

5、圓心P(2,2)到l的距離d <72?.有=2：Vk2+12-J5<k<2 +J3，故選 B.點評：直線與圓位置關系的判斷是解本題的關鍵變式1: (08全國一)若直線=1通過點M (cosot,sina)，則()a ba2+b2 > 1考點2:圓和直線相切、 例2:已知圓的方程是軌跡X2 + y2 2ax + 2(a 2)y + 2 = 0,其中aM 1,且 a R.(1)求證：a取不為1的實數時，上述圓恒過定點；當a R且aM 1時，求與所有的圓都相切的直線方程.(3)求圓心的軌跡方程.證明：將方程 X2 + y2 2ax + 2(a 2)y + 2= 0 整理得 x

6、2+ y2 4y+ 2 a(2x-2y)= 0.jx2 + y2 4y+ 2= 0|x= 1令$，解之得f2x 2y= 0y= 1 |x= 1將代入圓方程的左邊，得1 + 1-2a+2 （a-2） +2=0=右邊,ly= 1定點為(1,1).解一：已知圓的圓心坐標為（a,2 a），半徑為 迄|a 1|.設所求切線方程為y= kx+ b,則圓心到直線的距離應等于圓的半徑,|ka (2 a) + b|_即 / 2= V2 a1|恒成立.彳 k2+12 2 2 2 2 2整理得 2(1 + k )a 4(1 + k )a+ 2(1 + k ) = (k+ 1) a + 2(b 2)(k + 1)a

7、+ (b 2）2恒成立.2(1 + k2)= (k+ 1)2比較系數可得 4(1 + k2) = 2(b 2)(k + 1)2 212(1 + k)= (b 2)解之得k= 1, b=0.所以，所求的切線方程是y= X.解二：已知圓為（X - -|2 2 a ) + Ly -(2 -a ) =2(a -1)圓心(Xo，yo )滿足x。a (aH1)M =2a即yo = -Xo +2為圓心軌跡方程，其經過定點（1,1）2公切線為過點(1,1)且垂直于y = X+2的直線，即y = x|x= a 設圓心坐標為(x，y)，又圓心坐標為(a,2- a) ,a 1，則有iy= 2- a消去參數a得x+y

8、= 2(xM 1)為所求圓心的軌跡方程.點評：(1 )證明曲線過定點問題， 一般先關于參數整理， 求出定點坐標，再代回原方程驗證;(3)求軌跡消(2)求與所有圓都相切的直線方程時，所滿足的條件應對任意參數恒成立;參后，要注意軌跡的純粹性。(4)與圓有關的問題運用幾何法往往比較簡捷。變式2：(05江蘇卷)如圖，圓01與圓02的半徑都是M1,OiO2=4,過動點P分別作圓01、圓02的切線PM、PN (M、N01N0,分別為切點)，使得PM =72PN ,試建立適當的坐標系,求動點P的軌跡方程.考點3:圓和直線相切的應用 例3： (08年浙江大學自主招生)< !,b = V, y )l-2蘭

9、al AG B,求a的取值范圍。解：注意到問題的結構特點，可先換元化簡，令X=x-1,Y=y-2,則問題等價轉化為:*(X,Y jx2 + Y2 <4押 /x,y)|2|y| < al a匸B1,求a的取值范圍。因為Ai、Bi關于X軸、y軸、原點對稱，所以只要考慮第一象限的情況。由數 形結合得，a越大，越容易滿足要求，故最小的正數 a恰好是二者相切的情形,此時，圓心O(0,0)到直線X+2Y=a的距離等于半徑，即d =辰255最小正數a=-,所以a的取值范圍是a >-22點評：此題利用數形結合的思想，通過換元，直觀地看清集合間的關系，從而轉化為直線與圓的位置關系，使問題迎刃而

10、解 變式3 :若不等式J9-X2蘭k（x + 2）-72的解集為區(qū)間a,b,且b-a = 2,則考點4:直線與圓綜合 例4： （07廣東）在直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為 2d的圓2 2C與直線y=x相切于坐標原點O,橢圓篤+仝=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦a 9點的距離之和為10。（1）求圓C的方程;（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點 Q，使Q到橢圓的右焦點F的距離 等于線段OF的長，若存在求出Q的坐標；若不存在，請說明理由。解析：（1）由題意可求得圓心C為（-2,2）, 圓C： （X +2）2+（y2）2 =8 ；2 2（2）由條件可知a=5,橢圓 F （4，0），若存

11、在，則F在OQ的中 259垂線上，又O、Q在圓C上，所以O、Q關于直線CF對稱；找=3 直線 CF 的方程為 y=_l(x-4),即 x+3yr=0,設 Q (x,y )，貝 M x324 = 0l224x =解得45 所以存在，Q的坐標為（4壬）12'5 5點評：本題是橢圓、圓和直線的綜合題，第（1）問用待定系數法，第（2）問是開 放題。一般求解方法是假設命題成立，然后如求出符合條件的結論，則存在；如 求不出，則不存在。變式4: （09江蘇）在平面直角坐標系xoy中，已知圓G:(x+3)2+(y1)2 =4和 圓C2：(x-4)2+(y-5)4.（1）若直線l過點A（4,0）,且被圓

12、G截得的弦長 為2梟，求直線I的方程;（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點 P的無窮多對互相垂直的直線ii和12,它們分別與圓G和圓C2相交，且直線ii被圓Ci 截得的弦長與直線12被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。【同步練習】：1. （ 08安徽卷）.若過點A（4,0）的直線I與曲線（x-2）2 + y2 =1有公共點，貝U直線I的斜率的取值范圍為（）A.73,73八Z C -卑尊D (-祭)2.（08陜西卷）直線 品x y+m=0與圓x2 + y2-2x-2=0相切，貝U實數m等于各點到I的距離的最小值為0B. -73 或 33C. -33 或 75D. -3/3 或

13、 3靈3. （99年）直線U3x + y 2J3 =0截圓x2 + y2 = 4得的劣弧所對的圓心角為（）JI(A) 6兀(B) 4兀(C)兀（D）-4. （09上海）過圓C:（x-1）2+（y-1）2 =1的圓心，作直線分別交 X、y正半軸于點A、B，AAOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足Si + Sy = Sn + S|,貝y直線 AB 有( )(A) 0 條(B) 1 條 (C)2 條 (D) 3 條5. 已知直線ax+ by 1= 0(a,b不全為0)與圓x2 + y2 = 50有公共點,且公共點的橫、縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有A. 66 條B. 72 條 C.

14、 74 條D. 78 條1的圓的公共點個數最多為（ ）6.（09浙江）已知三角形的三邊長分別為3,4,5,則它的邊與半徑為7. （08天津卷15）已知圓C的圓心與點P（-2,1）關于直線y=x+1對稱.直線 3x+4y-11 =0與圓C相交于A,B兩點，且|aB =6，則圓C的方程為. 2 28. (08 四川卷 14)已知直線 l :X-y+ 4 = 0 與圓 C:(x-1)+(y-1)=2，則 C 上(I)當b=1時，求k的值;(II)若k>3,求b的取值范圍。9. (07山東理15)與直線x+y-2=0和曲線x24*13. (07江西理)設有一組圓 Ck:(x-k +1) + (y

15、-3k) =2k (“ N ) 下列四個命題:A. 存在一條定直線與所有的圓均相切B. 存在一條定直線與所有的圓均相交C. 存在一條定直線與所有的圓均不相交D. 所有的圓均不經過原點其中真命題的代號是 .(寫出所有真命題的代號)14.已知圓C： x2 + y2 2x + 4y 4= 0，問是否存在斜率為 1的直線I，使I被圓C截得弦AB為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線I的方程；若不存在，說明理由.15.已知圓C:x2 +y2 -2x-2y+1=0,直線l:y=kx,直線I與圓C相交于P、Q兩點，點M(0，b)滿足 MP丄 MQ. + y2-12x-12y -54 = 0都相切的半徑最小的圓

16、的標準方程是 .10.(05湖南)已知直線ax+by+ c= 0與圓O: x2 + y2= 1相交于A、B兩點，且|AB|=73，則 OA OB11. 已知圓x2+y2=a2(a>0)與直線y=bx的交點是 M(c,4)，過此交點的圓的切線是3x+dy=25,則a,b,c,d 的值分別為。12. 已知直線 l:x+y-9=0 和圓 M:2 x2 + 2y2-8x-8y+1 = 0,點 A 在直線 I 上，B、C 為 圓M上兩點，在 ABC中，/ BAC=45 , AB過圓心M,則點A的橫坐標的范圍16.已知以點C t, IR,tH0)為圓心的圓與 x軸交與點O、A，與y軸交與點 O、B,

17、其中0為原點。(I)求證： AOB的面積為定值;(II )設直線2x+y-4=0與圓C交與點M、N，若|OM|=|ON|,求圓C的方程;(III )在(II)的條件下，設P、Q分別是直線l: x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標。【變式和練習的答案】：變式1: D解一：由直線x + y =1通過點M(cosa,sinot),而M點的軌跡為單位圓，所以說直a b線與單位圓有公共點，即直線與圓相切或相交。d=b2答案為Dcosa sin a+= 1= bcosa +asi na二ab a bab/a2+b21 1r+訂1答案為D變式2:解：如圖，以直線OiO2

18、為x軸，線段OiO2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則兩圓心分別為2 2PM =01P -O1M2= (x+2)+2/ -i22 2P N(-2 ) + y-12 2 2 2 (x+2) +y -1=2(x-2) +y -1，即 X2 -12x +y2 +3 =0，即(X -6)2 +y2 =33 .則同Oi(-2,0), 02(2,0).設 P( x, y),這就是動點P的軌跡方程.變式3:提示：由數形結合，直線 y=k(x+2)-72與上半圓x2+y2=9 (y > 0)交與點(1,272)，即有 2V2=k(1+2)-©,解得 k=75 .變式4: 解:設直線I的

19、方程為：y=k(x-4)，即kx-y-4k=0 由垂徑定理，得：圓心G到直線I的距離d =J42 -(型)2 =1,Jk2 +1結合點到直線距離公式，得：I 3k 1 釦=1, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m化簡得：24宀7心,0或k 一24 直線 I 的方程為：y = 0 或 y=盤(X-4)，即 y=0 或 7x+24y-28=0 設點P坐標為（m, n），直線li、I2的方程分別為:111y-n =k(x-m),y-n =(x-m)，即： kx-y + n-km = O,-x-y + n+m = 0kkk因為直線li被圓Ci截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等

20、。由垂徑定理，得圓心C1到直線h與C2到直線2的距離相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m41IF 彳丄 I I 5 + n + m | 故有：1 -氷 -1 +n -km1 kk3m = 一213n = 一2化簡得：(2 -m-n)k= m-n -3,或(m -n +8)k = m + n - 552 -m-n=O 亠m-n+8=00關于k的方程有無窮多解，有：？,或q2m-n- 3 = 0m+n-5=0| _ 丄廠一2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m所有滿足條件的點卩的坐標為（弓 練習:1.C2. C3. C4. B5. B解:因為在圓X2+ y2 = 50 上,橫坐標、縱坐標

21、都為整數的點一共有12個，即:(1,±), (5,±5),(7, ±), (- 1,±7),(-5,支),(-7,±),經過其中任意1兩點的割線有2（12X 11）= 66 條,過每一點的切線共有12條，可知與該圓有公共點且公共點的橫坐標、縱坐標都為整數的直線共有66+ 12= 78條，而方程ax+ by- 1= 0表示的直線不過原點，上述78條直線中過原點的直線有6條，故符合條件的直線共有78- 6= 72條.故選B.6. B3+ 4 5解：邊長為3,4,5的三角形內切圓半徑為r = 2 = 1而半徑為1的圓的圓心在圓心與三角形任一頂點連線段

22、上移動時，都可能產生4個交點，故選 B.7.X2 + (y+1)2 =188.J29.2 2(x-2) + (y-2) =210.(-1/2)11.(a=5,b=4/3,c=3,d=4;或 a=20/3,b=3/4,c=16/3,d=9/4;)12.9-弱9+亦<a <2 2解:設A (a,9-a),則圓心M (2, 2)到直線AC的距離d=|AM|sin45° 皆創(chuàng).由于直線AC與圓M相交,|AM|即 J(a-2 ) +(7-a ) < 屆=13. B, D14.解：假設存在，且令I為y= X+ m圓 C 化為(X- 1)2 + (y+ 2)2= 9，圓心 C(1

23、, 2)m +1 m 1則AB的中點N是兩直線X y+ m = 0與y+ 2= (x 1)的交點，即 N( , )以AB為直徑的圓過原點， AN|= |ON|1 + 2 + m| 又 CN 丄 AB, CN|=尸一 2 |AN|=# CA2 CN2 =寸 9 (3；m)/m+12m12又 iONi=、y (-f!2+(h)2由 |AN|= |ON|得 m= 1 或 m= 4存在直線I方程為X y+ 1 = 0和X y 4= 0.點評設I: y= x + m與圓方程聯(lián)立,其根為A(xi, yi), B(x2, y2)的坐標，由條件 OAL OB X1X2 + yiy2= 0,可求 m= 1 或一4.15.解：(I)因為圓C:(x-1) 2+(y-1) 2=1,所以當b=1時，點M在圓上，又MPLMQ,所以圓心(1,1 )在直線I上，故k=1;(II)將 y=kx 代入 x2 +y2 -2x-2y+1=0，消去 y 可得(1+k2) x2-2(1+k)x+1=0.設點 P(X1,y 1)、Q(X2,y 2),則為 +x2 =2(1 + k)1K，x1x2 +:MP 丄 MQ,”. MP MQ =0,即為X2 +(% by y2 -b) = 0,又y kx., y2 = kx2, ”為X2 + (心一b )(kx2 -b