空間幾何體的表面積和體積

1、第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積 簡單的組合體的面積與體積的計算，以及平面圖形的簡單的組合體的面積與體積的計算，以及平面圖形的折疊問題是常考的內(nèi)容，尤其是在解答題中，多涉及位置關折疊問題是?？嫉膬?nèi)容，尤其是在解答題中，多涉及位置關系的證明，面積或體積的計算，著重考查學生識圖，用圖及系的證明，面積或體積的計算，著重考查學生識圖，用圖及空間想象能力，有時也與三視圖結合空間想象能力，有時也與三視圖結合.2009年福建卷在解答年福建卷在解答題中考查了平面圖形的折疊問題及側(cè)面積的計算，巧妙地將題中考查了平面圖形的折疊問題及側(cè)面積的計算，巧妙地將線面垂直、面面垂直的判斷與性質(zhì)與側(cè)面積的計算相結合線面垂直、

2、面面垂直的判斷與性質(zhì)與側(cè)面積的計算相結合.柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積面積面積體積體積圓柱圓柱 S側(cè)側(cè) 圓錐圓錐 S側(cè)側(cè)圓臺圓臺 S側(cè)側(cè) 2rhrl(r1r2)l面積面積體積體積直棱柱直棱柱 S側(cè)側(cè)正棱錐正棱錐 S側(cè)側(cè)正棱臺正棱臺 S側(cè)側(cè)球球 S球面球面對于不規(guī)則的幾何體應如何求其體積？對于不規(guī)則的幾何體應如何求其體積？提示：提示：對于求一些不規(guī)則幾何體的體積，常用割對于求一些不規(guī)則幾何體的體積，常用割補的方法，轉(zhuǎn)化為已知體積公式的幾何體進行解決補的方法，轉(zhuǎn)化為已知體積公式的幾何體進行解決.1已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半徑已知某球的體積大小等于其表

3、面積大小，則此球的半徑 是是 () A.B3 C4 D5解析：解析：設球半徑為設球半徑為R，則，則 R3 4R2，R3.2已知正方體外接球的體積是已知正方體外接球的體積是 那么正方體的棱長等于那么正方體的棱長等于 ()解析：解析：正方體外接球的體積是正方體外接球的體積是 則外接球的半徑則外接球的半徑R2，正方體的對角線的長為正方體的對角線的長為4，棱長等于，棱長等于答案：答案：D3若某幾何體的三視圖若某幾何體的三視圖(單位：單位：cm)如圖所示，則此幾何體的如圖所示，則此幾何體的側(cè)面積等于側(cè)面積等于 () A12 cm2 B15 cm2 C24 cm2 D30 cm2解析：解析：由三視圖可知，

4、該幾何由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為體是底面半徑為3 cm，母線長，母線長為為5 cm的圓錐，其側(cè)面積為的圓錐，其側(cè)面積為rl3515 cm2.4若一個長方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是面積為若一個長方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是面積為4 cm2，6 cm2,24 cm2的矩形，則該長方體的體積為的矩形，則該長方體的體積為_ cm3.解析：解析：設長方體的長、寬、高分別為設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，體積體積Vxyz24.答案：答案：24則則5圓柱的一個底面積是圓柱的一個底面積是S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么 這個圓柱的側(cè)面積是這個圓柱的側(cè)面積

5、是_解析：解析：底面半徑是底面半徑是 所以正方形的邊長是所以正方形的邊長是 故圓柱的側(cè)面積是故圓柱的側(cè)面積是(2 )24S.答案：答案：4S2S 1多面體的表面積是各個面的面積之和多面體的表面積是各個面的面積之和 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這 個曲面展為平面圖形，其表面積為側(cè)面積與底面積之和個曲面展為平面圖形，其表面積為側(cè)面積與底面積之和2組合體的表面積要注意重合部分的處理組合體的表面積要注意重合部分的處理 (2009寧夏、海南高考寧夏、海南高考)一個棱錐的三視圖如圖，則一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積該棱錐的表面積

6、(單位：單位：cm2)為為 ()由三視圖還原幾何體，根據(jù)各面和特征分別求面由三視圖還原幾何體，根據(jù)各面和特征分別求面積再求表面積積再求表面積A.4812 B.4824C.3612 D.3624【解析解析】如圖所示三棱錐如圖所示三棱錐AO底面底面BCD，O點為點為BD的中點，的中點，BC=CD=6，BCCD，AO=4，AB=AD.SBCD=66 =18，SABD= 6 4=12 .取取BC中點為中點為E.連結連結AE、OE.可得可得AOOE，SABC=SACD= 65=15，S表表=18+12 +15+15=48+12 .【答案答案】A1正四棱錐底面正方形邊長為正四棱錐底面正方形邊長為4 cm，

7、高與斜高的夾角，高與斜高的夾角 為為30，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積(單位：單位：cm2)解：解：正四棱錐的高正四棱錐的高PO，斜高，斜高PE，底面邊心距，底面邊心距OE組成組成RtPOE.OE=2 cm，OPE=30，PE= =4，因此，因此，S棱錐側(cè)棱錐側(cè)= ch= 444=32(cm2)S表面積表面積=S側(cè)側(cè)+S底底=32+16=48(cm2). (2010福州模擬福州模擬)一個容器的外形是一個棱長為一個容器的外形是一個棱長為2的正的正方體，其三視圖如圖所示，則容器的容積為方體，其三視圖如圖所示，則容器的容積為 ()B.2 C.8由三視圖判斷倒置的圓錐，利用條

8、件確定半徑與高由三視圖判斷倒置的圓錐，利用條件確定半徑與高代入體積公式代入體積公式【解析解析】由三視圖可知，幾何體為正方體內(nèi)倒置的圓錐，由三視圖可知，幾何體為正方體內(nèi)倒置的圓錐，故其體積為故其體積為21212.33 2.如圖，在正三棱柱如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，中，D為棱為棱AA1的中點若截的中點若截面面BC1D是面積為是面積為6的直角三角形，則此的直角三角形，則此 三棱柱的體積為三棱柱的體積為_解析：解析：設設ACa，CC1b，則由則由(a2 b2)2a2b2，得得b22a2，又，又 6，a28，答案：答案：3V=8 4=8 3.4 1三棱錐體積的計算與等體積法三棱錐體積的計算與

9、等體積法 對于三棱錐的體積計算時，三棱錐的頂點和底面是相對的，對于三棱錐的體積計算時，三棱錐的頂點和底面是相對的， 可以變換頂點和底面，使體積容易計算可以變換頂點和底面，使體積容易計算2求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、 補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計 算問題的常用方法算問題的常用方法 (2009全國卷全國卷)直三棱柱直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都的各頂點都在同一球面上若在同一球面上若ABACAA12，BAC120，則此球，則此球的表面積等于的表面積等于_【

10、解析解析】設球心為設球心為O，球半徑為，球半徑為R，ABC的外心是的外心是M，則，則O在底面在底面ABC上的射影是點上的射影是點M，在，在ABC中，中，ABAC2，BAC120，ABC (180120)30，AM2.因此，因此，R222 5，此球的表面積等于，此球的表面積等于4R220.【答案答案】20結合圖形，確定球心與徑，代入表面積公式結合圖形，確定球心與徑，代入表面積公式.3如圖，在等腰梯形如圖，在等腰梯形ABCD中，中，AB2DC2，DAB60， E為為AB的中點，將的中點，將ADE與與BEC分別沿分別沿ED、EC向上折起，使向上折起，使 A、B重合，求形成三棱錐的外接球的體積重合，求

11、形成三棱錐的外接球的體積解：解：如圖，把正四面體放在正方體中顯然，正四面體如圖，把正四面體放在正方體中顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球的外接球就是正方體的外接球正四面體棱長為正四面體棱長為1，正方體棱長為正方體棱長為外接球直徑外接球直徑2R=R=故所求外接球的體積為故所求外接球的體積為34433VR球球 1球的組合體問題球的組合體問題 (1)球的相切問題要抓住兩球心的連線過切點這一性質(zhì)，球的相切問題要抓住兩球心的連線過切點這一性質(zhì)， 否則難以找到數(shù)量之間的關系否則難以找到數(shù)量之間的關系(2)與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認真分析圖與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，

12、一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖面圖如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的對角線長等于球徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點切點”、“接點接點”作出截面圖作出截面圖2幾何體的展開與折疊幾何體的展開與