9.7同底數(shù)冪的乘法

1、整式的乘法單元教學研究課例( 初稿 )一、選題的背景以及意義從線性結構單元的角度來看，各個專題之間呈現(xiàn)一種知識或方法的遞進關系。從邏輯上看，各個專題之間具有比較明顯的先后次序，必須前后依次展開。這樣的單元結構主要由單元內(nèi)的是數(shù)學核心知識之間所特有的邏輯關系決定的。因此，我便選擇了七年級整式的乘法作為單元教學研究， 從內(nèi)容上來看， 整式的乘法共有 4 個小節(jié)的內(nèi)容， 而他們之間存在的邏輯關系也是線性結構單元：同底數(shù)冪冪的乘方積的乘方整式的乘的乘法法從知識要點來看， 冪的乘方公式的獲得離不開同底數(shù)冪的乘法法則。 而積的乘方公式獲得又離不開冪的乘方法則，同樣的，整式的乘法則需要利用以上所有的三個法則

2、。因此，鑒于以上的情況， 我選擇了同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方兩個內(nèi)容進行了單元設計，設計的意義如下：a.冪的乘方法則是由同底數(shù)冪的乘法推導出來的，它們之間存在著線性的邏輯關系b.同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方公式的獲得，都是從特殊到一般的歸納，它們獲得的方法有一定的共性c.對線性結構的單元教學有一定的指導意義二、第一次課堂實踐1、教案設計思考：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方是七年級上第9 章第三節(jié)整式的乘法的一個內(nèi)容，從教學目標來看，同底數(shù)冪的法則與冪的乘方都是對整式乘法計算的一種方法歸納，而兩個法則的獲取在探究方法，體現(xiàn)數(shù)學思想方法（從特殊到一般） 上都有共同之處。因此，在設計的過程中我希望通過設置障礙讓

3、學生遇到困難，然后引導學生利用一定的方法解決此困難， 并在解決困難的過程中，形成對定理的認識，從而進一步歸納總結。因此對兩個內(nèi)容的設計圖如下：2、課堂實錄：（1）引入部分設置困難讓學生產(chǎn)生認知沖突我在引入環(huán)節(jié)設置了4 道整數(shù)的乘法運算，通過學生運算大數(shù)與大數(shù)乘積的困難，引入課題。在正式上課中，學生在完成（3）（ 4）兩題果然遇到了困難。圖 1問題引入的4 道練習圖 2 2的乘方表從而（2）探究同底數(shù)冪運算的法則接著我便將 2 的乘方表引出， 引導學生了解 2 的冪和它所對應數(shù)的關系， 接著我便提出了以下問題師：觀察（ 1）（ 2）中被乘數(shù)、乘數(shù)與積分別對應2 的乘方表中的哪些以底數(shù)為2 的冪？

4、生 1：4 對應著 22，8 對應著 23， 32對應 25生 2：8 對應著 23，16對應著 24，128 對應著 27師：通過這些數(shù)所對應的冪，你發(fā)現(xiàn)了什么？生 3：我發(fā)現(xiàn) 2+3 等于 5、 3+4 等于 7生 4：我發(fā)現(xiàn)乘數(shù)的指數(shù)之和等于積的指數(shù)之和師：通過之前的（ 1）（ 2）題，你能否用 2 的乘方表來求解1024 4096 呢？生 5: 我可以將 1024 看作 2 的 10 次方， 4096 看作 2 的 12 次方，因此它們相乘就是2的 22次方，通過查表可得4194304師：很好！你能說說為什么2 的 10 次方乘以2 的 12次方是2 的 22 次方呢？該學生沉默了一會

5、兒，接著又有學生舉手了。生 6：2 的 10 次方是10 個 2 相乘， 2 的 12 次方是 12 個 2 相乘，因此合起來有22個 2相乘。師：如果是 3 7 3 6或是 6264 是不是依然有這樣的法則呢？生 7：是的，第一題是 3 的 13 次方，第二題是6的 6次方師：還有沒有這樣的例子呢？學生紛紛舉例，表示有很多師：那么我們有沒有辦法將這么多種情況歸納總結一下呢？生 8：我們可以利用字母表示數(shù)的方法來求解am ?an之后我與學生便完成了 am ?an 原理探究，引導學生將計算公式轉化為文字語言，一起歸納總結了同底數(shù)冪乘法的法則。（3）同底數(shù)冪法則的應用以及其歷史價值通過同底數(shù)冪的乘

6、法法則，師生共同完成（4）練習，學生感受用同底數(shù)冪解決大數(shù)與大數(shù)的乘積的簡便性。 接著介紹同底數(shù)冪法則的發(fā)現(xiàn)者納皮爾與他的著作 奇妙對數(shù)表說明以及其在天文學上的貢獻。圖 3 比較同底數(shù)冪的乘法與大數(shù)的乘法圖 4 介紹數(shù)學家納皮爾（ 4）探究冪的乘方的法則利用數(shù)學家納皮爾對天文學的共享，通過問題求地球的體積從而引出冪的乘方法則的3探究 : 根據(jù)球的體積公式引出（38 ） ，從而引出冪的乘方的概念。圖 5 冪的乘方的探究問題圖 6 冪的乘方概念梳理師：當我們代入球的體積公式時，你是否遇到了困難？3生 1：（ 38 ） 我們不知道如何求解。師： 3 的 8 次方是什么呢？生 2：3 的 8 次方是冪

7、。師：那么括號的 3 次方是什么運算呢？生 2：乘方運算。3師：因此，我們便可以將（38 ） 看成冪的乘方運算，你能再舉一些冪的乘方的例子嗎？生 3：（ 42）生 4：（ 25）3799生 5： （ a99 ）3師：那么如何計算（42） 呢？學生沉默師：（342 ） 利用乘方意義能轉化為什么？生 6:3個 4的 2次方相乘師：如何求解3 個 4 的 2 次方相乘呢？生 6：利用同底數(shù)冪的法則，可以得到是4 的6 次方7師：很好！我們能否解一下（25 ） 呢？有沒有同學能上黑板演示一下呢？一個學生上黑板演示，并與同學分享了自己的計算心得99師：（ a99 ）如何求解呢？難道我們也寫99 次加法嗎

8、？你能根據(jù)之前的兩個結論猜想一下結果嗎？生 7：是 a 的 99 乘以 99 次方師：為什么？生 7：這個式子可以寫成 a 的 99 個 99 相加的次方，一次可以看成 a 的 99 乘以 99 次方師：很好！那我們是否能再次歸納一下冪的乘方的法則呢？n生 8：（ am ）= amn接著我和學生一起完成了冪的乘方公式的形成的探究，引導學生將計算公式轉化為文字語言，一起歸納總結了冪的乘方的法則。（5）課堂小結由于時間的關系， 在教授完例題之后， 便開始進行了歸納總結， 我不僅對學生的知識與技能進行了小結，并且對過程與方法也進行了小結。圖 7 課堂小結3、教學反思：通過第一堂課的試講， 教研員鐘文

9、麗老師對我進行了指導與研討， 讓我知道了本節(jié)課有這樣的一些問題：a. 本節(jié)課如何體現(xiàn)線性結構單元的角度的遞進關系？而同底數(shù)冪的法則與冪的乘方的遞進關系在本節(jié)課中應該怎么體現(xiàn)？b. 本節(jié)課引入的目的是什么？引入的設計能否體現(xiàn)出單元教學研究？c. 同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方在單個概念講授的時，學生并不容易混淆，而幾個內(nèi)容融合一起之后，學生對法則的應用常常會混淆。 如何在課堂中進行辨析？讓學生能夠準確判斷使用哪種法則呢？d. 是否需要例題講解與學生練習呢？如果要應該怎么設計，如何把控好時間？最后，鐘老師肯定了我數(shù)學史料在本節(jié)課的使用， 并且能夠很好的進行一個承上啟下的作用，讓學生在數(shù)學家納皮爾的故事中

10、，體會到數(shù)學化繁為簡的思想。三、第二次課堂實踐1、 教案修改與思考：由于之前上課中存在的問題，我便去查閱了有關單元教學研究與整式的乘法的書籍，我發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方的公式都是整式乘法的基礎知識。其實從學生的角度來看，他們不免有這樣的疑惑，為何要學這些知識呢？為此不妨暴露學生的疑慮，揭示出系統(tǒng)建構的原因。 因此在課堂的設計中讓學生了解整式的乘法的整體結構， 從而得到同底數(shù)冪的乘法是所有整式乘法的基礎，而之后的內(nèi)容與同底數(shù)冪的乘法存在著線性遞進的一種關系。介于這樣的情況，我對于課堂引入進行了修改，設計如下幾個主要的問題：1. 整式的乘法有哪幾種類型？你能否分分類？2. （給出學生多個整式的

11、乘法）你能將這些整式的乘法填入分好的表格中嗎？3. 你覺得應該先解決哪個整式的乘法問題？為什么？而對于處理學生容易混淆同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方運算法則的這樣一個問題，我覺得在探究概念的過程中，分別加入對同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方的概念辨析，讓學生明白首先是需要先判斷什么運算，然后考慮用什么法則。而在練習部分，增加了2 道例題以及配套練習，從而鞏固今天所學習的內(nèi)容。2、 課堂實錄：(1) 引入部分：建立對整式的乘法這一節(jié)整體概念師：我們現(xiàn)在所學習第9 章是什么內(nèi)容？生：整式。師：我們之前所學的是整式的什么運算？生：整式的加減師：學習完整式的加減運算之后，我們應該再學習整式的什么運算呢？生：整式的乘

12、除師：很好！今天我們便學習整式的乘法這一單元的內(nèi)容。通過第一部分的對話與問答， 幫助同學初步整理了整式這一章內(nèi)容的大致分布， 學生能夠初步了解整式的乘法作為整式的運算在整式這一章節(jié)的位置。師：整式的定義是什么？生：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。師：根據(jù)整式的定義，整式的乘法可以分為哪幾類呢？生：單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式。接著我便給予學生一些整式的乘法，讓他們填入適當?shù)谋砀裰腥?，學生完成的很快，我選了 3 個同學回答問題，他們都完成的很正確。圖 8 整式的乘法分類圖 9 單項式的乘法分類我便問道如果我們需要解決整式的乘法，你覺得最先解決的應該是哪種類型的問題？此時，我讓三

13、個學生起來回答，他們都異口同聲的說先解決單項式乘以單項式的問題，當問其理由時， 有 2 個同學說出了多項式由單項式組成，因此先要解決單項式的問題。而另一個同學說單項式乘以單項式相對比較簡單。從與學生的交流可以看出， 大多數(shù)同學基本都明白了多項式與單項式的關系， 并且能發(fā)現(xiàn)單項式乘以單項式是三類乘法的基礎。接著為了后面學習冪的乘方打下鋪墊，我又問學生為什么將a3 2歸在單項式乘以單項式這一塊中呢？大多數(shù)學生都能將其乘積的形式表達出來。（2）同底數(shù)冪法則的探究師：我們看一下單項式乘以單項式的4 類情況，你們覺得應該先解決哪類問題呢？生：第一種？師：你能說說理由嗎？生：（ 2）是 a 的 3 次方乘

14、以 a 的 3 次方，第（ 4）題可以用乘法的交換律變成 a 的 3 次方乘以 a 的 2 次方，第（ 3）題也一樣。師：我們?nèi)绾斡嬎鉧2 a3 呢？我們先討論一下吧！生 1：a 的 5 次方，因為同底數(shù)冪的數(shù)相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。生 2：a 的 6 次方，因為指數(shù)相乘，底數(shù)不變生 3：和生 1 一樣是 a 的 5 次方師：我們不僅需要知道計算結果，我們還需要知道他們的計算原理，因此我想問問學生2，你為什么覺得是a 的 6 次方呢？學生 2 沉默 .師： a 的平方是什么呢？生 2：a 乘以 a。師： a 的 3 次方是什么呢？生 2：3 個 a 相乘。師：那么一共有幾個a 相乘呢？生 2

15、: 5 個 a 相乘。師：那 5 個 a 相乘是 a 的幾次方呢？生 2： a 的 5 次方看著學生 2 臉紅的低下頭， 我馬上表揚了他， 猜想很好， 猜錯也沒關系。但是我們需要去進行說理，你今天的說理很精彩。表揚完他之后，他開心的坐了下去。接著我對同底數(shù)冪的乘法進行一個辨析，我并沒有告訴大家同底數(shù)冪相乘的規(guī)律，只是讓大家觀察與 a23因此， 我對 4 道題目a 運算類型相同的計算，結果同學的答案都不相同。每一題進行了辨析，通過與同學的交流，最終確定了同底數(shù)冪的乘法的兩個要點：（1）同底數(shù)冪（ 2）做乘法運算。圖 10辨析的 4 個問題圖 11 教師與學生交流辨析師：我們還能舉出一些同底數(shù)冪的

16、乘法呢？生： b 的 8 次方乘以b 的 12 次方？師：為什么是同底數(shù)冪的乘法？生：它們的底數(shù)都是b，并且是做乘法運算的。接著又有 3 名同學舉了同底數(shù)冪的例子并一一說明了理由。師：我們能將同底數(shù)冪的例子都舉出來嗎？生：不能，例子舉不完。師：那么同學們能否概括歸納一下，將所有的情況都說明呢？生： am ?an之后我與學生便完成了am ?an 原理探究， 引導學生將計算公式轉化為文字語言，一起歸納總結了同底數(shù)冪乘法的法則。之后，我引導學生完成了（a）與（ d）的計算，并且引導學生發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪的乘法中的底數(shù)可以是數(shù)字、字母、單項式、多項式以及更為復雜的代數(shù)式，接著與第一堂課一樣，給予學生觀察利用

17、同底數(shù)冪的乘法與直接兩個大數(shù)相乘做比較，從而感受數(shù)學化繁為簡的思想，引出數(shù)學家納皮爾。（3）冪的乘方探究過程與第一節(jié)課的過程差不多，首先由求地球的體積從而引出冪的乘方法則的探究: 根據(jù)球3的體積公式引出（38 ） ，引出冪的乘方的概念。接著引導學生理解冪的乘方的定義，并于之前的 a3 2 進行類比，知道什么是冪的乘方。通過舉例，師生一起探究如何解決冪的乘方這一問題， 而與第一節(jié)課的區(qū)別最大是我請學生上黑板當小老師來進行講解，導與補充。而我在邊上指圖12小老師講解冪的乘方問題（ 4）例題與練習：對于例題與練習，我設計的例題相對比較簡單主要是讓學生明白看到題目如何規(guī)范解題。而在練習中，我設計了辨析

18、題與計算題。在辨析題的交流中，學生都能夠第一時間判斷出是什么樣的運算并且可以用什么樣的法則， 但是在正負號的判斷上， 學生還是遇到了一定的困難。例題與練習中相對比較順利，但是同樣涉及到正負號的題目學生完成的不是太好，由于時間關系，原本 4 道題目，也只完成了 2 題。圖 13練習與例題（5）歸納與總結我不僅和學生將兩個知識點進行了歸納， 并且將兩個知識點的關系進行了歸納， 有的學生得到了這兩種運算都與指數(shù)有關， 有的同學得到兩種運算的底數(shù)都不變， 有的同學得到冪的乘方是由同底數(shù)冪的乘法演變而來的。 最后，教師展現(xiàn)了同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方在此單元中的結構與位置。圖 14 本節(jié)課的小結3、 教學反思與啟示通過這堂課， 我發(fā)現(xiàn)單元教學設計能讓學生可以更好認識到整個單元中各個知識點存在的聯(lián)系。 在小結的過程中， 當學生說到冪的乘方是由同底數(shù)冪的乘法演變而來的， 可以說這是單元教學研究成功之處，