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文檔簡介
1、韋達(dá)定理的應(yīng)用一、典型例題解:設(shè)另一個根為4 +兩4心=Xi,則-例1已知關(guān)于x的方程2x ( mi+ 1) x + 1 m=0的一個根為4,求另一個根。21 一購32相加,得x1弓例2:已知方程x 5x+ 8=0的兩根為xi, X2,求作一個新的一元二次方程,使它的兩根分別為+_(心+也r 一衛(wèi)陽冷丑冷_ 1又 'i :,-. ' - - : | - :'-'3十亠?2代入得,=新方程為-'5 +阿';''.,.-'"',.例3:判斷是不是方程9x 10x 2=0的一個實數(shù)根?-;*;.5-屈解:二次實
2、數(shù)方程實根共軛,若是,則另一根為10 2碼十孔二g 再孔二_§以為根的一元二次方程即為 八 -".例4:解方程組L&'解:設(shè)= A>QBJ12 - 3A-W= 0.(山十2)(4_" = 0 A=5. x-y=5 又 xy=-6.忑+ (一尹)二5彳兀1 = 2bo)=6.可解得嚴(yán)="解方程組72=3例5:已知Rt ABC中,兩直角邊長為方程 x: (2m+ 7) x + 4m( m- 2) =0的兩根,且斜邊長為13,求S-J-_ ' 的值解:不妨設(shè)斜邊為 C=13,兩條直角邊為a,b,則2''、一亠- &
3、quot;'。又a, b為方程兩根。 ab=4m (m-2).宀; 但 a, b 為實數(shù)且 廣一 '一 "'_ 門?。?'1丨.fA>0_ . . :< _./ +滬二 ©+為)2 _加心二 169.擢了 _ii臉+ 30 = 0.X F*、* 芒 *1 i / I I/ H| I ,-'|' 1 I m=5或 6 當(dāng) m=6時,- - m=5°. S"-;: 一L/ /.')例6: M為何值時,方程 8x : ( m 1) x+ m 7=0的兩根 均為正數(shù)均為負(fù)數(shù)一個正數(shù),一個負(fù)數(shù)一根
4、為零互為倒數(shù)A°, 1 '|- I jX + 心 © 0 解:叼/. m>7-"Vv ') 'i "f-J2 0 1r 1 + 乃 < 0 .d >0不存在這樣的情況。<0 m<7 m=7:A>0m-1 r=1IL 8/ m=15.但使二 * I不存在這種情況【模擬試題】(答題時間:30分鐘)1. 設(shè)n為方程x + m好n=0 (n 0)的一個根,貝U m+ n等于2. 已知方程x + px q=0的一個根為2+ J,可求得p=,q=J 鬥'1 I I3. 若方程+ mx+ 4=0的兩根
5、之差的平方為 48,則m的值為()A. 土 8B.8 C. 8D. ± 44. 已知兩個數(shù)的和比 a少5,這兩個數(shù)的積比 a多3,則a為何值時,這兩個數(shù)相等?5. 已知方程(a + 3) x +仁ax有負(fù)數(shù)根,求a的取值范圍。<6.已知方程組I* +丿的兩組解分別為,求代數(shù)式aib2+a2bi 的值。1_7 ABC中,AB=AC Z A, Z B, Z C的對邊分別為 a, b, c,已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x + mx+ 2 2 m=0的兩個實數(shù)根,求 'ABC的周長?!驹囶}答案】1. 12.4 , 或 135. 3W a< 2提示:分 a= 3以及a工
6、3討論求解6.13例1已知p+ q = 198,求方程x2 + px + q = 0的整數(shù)根.('9祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請賽試題)解:設(shè)方程的兩整數(shù)根為x1、x2,不妨設(shè)x1 < x2由韋達(dá)定理,得x1 + x2 = p, x1x2 = q .于是 x1x2 (x1 + x2) = p + q = 198 ,即 x1x2 x1 x2 + 1 = 199 .(x1 1)(x2 1) = 199 .注意到x1 1、x2 1均為整數(shù),解得 x1 = 2, x2 = 200 ; x1 = 198 , x2 = 0.I I例2已知關(guān)于x的方程x2 (12 m)x + m 1 = 0的兩個根都是正
7、整數(shù),求 m的值.解:設(shè)方程的兩個正整數(shù)根為 x1、x2,且不妨設(shè)x1wx2由韋達(dá)定理得x1 + x2 = 12 m , x1x2 = m 1 .于是 x1x2 + x1 + x2 = 11,即(x1 + 1)(x2 + 1) = 12 . x1、x2為正整數(shù),解得 x1 = 1, x2 = 5; x1 = 2, x2 = 3.故有m = 6或7.例3求實數(shù)k,使得方程kx2 + (k + 1)x + (k 1) = 0的根都是整數(shù).解:若k = 0,得x = 1,即k= 0符合要求.X,Jf X F"*"若k0,設(shè)二次方程的兩個整數(shù)根為x1、x2,由韋達(dá)定理得 x1x2
8、x1 x2 = 2,' “ I I(x1 1)(x2 1) = 3.因為x1 1、x2 1均為整數(shù),所以例4已知二次函數(shù)y = x2 + px + q的圖像與x軸交于(a 0)、( 3 0)兩點,且a> 1 > B,求證:p+ q > 1 .('9四川省初中數(shù)學(xué)競賽試題)證明:由題意,可知方程一x2 + px + q = 0的兩根為a 3由韋達(dá)定理得a+ 3= p, a 護(hù)一 q .于是 p + q = a+ 3 a ,=(a a 3+ 1) + 1(a_ 1)(1) + 1 > 1(因 a> 1 >B)一元二次方程根的判別式、判別式與根的個
9、數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達(dá)定理及其逆定理大綱要求1. 掌握一元二次方程根的判別式,會判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況。 對含有字母系數(shù)的由一 元二次方程,會根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況,也會根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍;2. 掌握韋達(dá)定理及其簡單的應(yīng)用;3. 會在實數(shù)范圍內(nèi)把二次三項式分解因式;4. 會應(yīng)用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理分析解決一些簡單的綜合性問題。內(nèi)容分析1. 一元二次方程的根的判別式I I一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式 b2-4ac >0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根當(dāng) 0時,方程有兩個相等的實數(shù)根,當(dāng) V 0時,方程沒有實數(shù)根.2. 一元二
10、次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(1)如果一元 二次方程ax2+bx+c=0(a 工 0的兩個根是 x1,x2,那么 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a“ - / / *; n如果方程x2+px+q=0的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=-P,x1x2=q(3)以x1,x2為根的一元二 次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 . 3.二次三項式的因式分解(公式法)在分解二次三項式 ax2+bx+c的因式時, 如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0的兩個根是x1,x2,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).考查重點與常見題型1. 利用根的判別式判別一元二次方程
11、根的情況,有關(guān)試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中,如:關(guān)于 x的 方程ax2 2x + 1 0中,如果a<0,那么根的情況是()(A)有兩個相等的實數(shù)根(B )有兩個不相等的實數(shù)根(C)沒有實數(shù)根(D)不能確定2. 利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值,有關(guān)問題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高,多為選擇題或填空題,如:設(shè)x1,x2是方程2x2 6x + 3 0的兩根,貝U x12 + x22的值是()(A) 15 (B) 12 (C) 6 ( D) 33 .在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題。在近三年試題中又出現(xiàn)了 有關(guān)的開放探索型試題,考查了考生分析問題、
12、解決問題的能力。考查題型1 .關(guān)于x的方程ax2 2x + 1 0中,如果a<0,那么根的情況是()(A)有兩個相等的實數(shù)根(B )有兩個不相等的實數(shù)根(C)沒有實數(shù)根(D)不能確定2 .設(shè)x1,x2是方程2x2 6x + 3 0的兩根,貝U x12 + x22的值是()(A) 15 (B) 12 (C) 6 ( D) 33 .下列方程中,有兩個相等的實數(shù)根的是()(A) 2y2+5=6y ( B) x2+5=”5x ( C) V3x2-V2x+2=0(D) 3x2 2V6x+1=04、以方程x2 + 2x 3 = 0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是()(A) y2+5y 6=0
13、(B) y2+5y + 6=0 (C) y2 5y + 6=0 ( D) y2 5y 6=05 .如果x1 , x2是兩個不相等實數(shù),且滿足 x12 2x1 = 1 , x22 2x2 = 1 ,那么 x1?x2 等于()(A) 2 (B) 2 (C) 1 (D) 16 .如果一元二次方程 x2 + 4x + k2 = 0 有兩 個相等的實數(shù)根,那么k=7 .如果關(guān)于x的方程2x2 (4k+1)x + 2k2 1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根,那么 k的取值范圍是8 .已知 x1 , x2 是方程 2x2 7x + 4 = 0 的兩根,貝U x1 + x2 =, x1?x2 = , (x1 x2
14、) 2 = 9 .若關(guān) 于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x + 1 = 0的兩個根互為倒數(shù),則 m =二、考點訓(xùn)練:1、 不解方程,判別下列方程根的情況:(1) x2 x=5(2)9x2 6V2+2=0(3)x2 x+2=02、 當(dāng)口=時,方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng) m=時,方程mx2+4x+1=0有兩個不相等 的實數(shù)根;3、已知關(guān)于x的方程10x2 (m+3)x+m 7=0,若有一個根為0,則m=,這時方程的另一個根 是;若兩根之和為3/5,則m=,這時方程的兩個根為.4、已知3 2是方程x2+mx+7=0的一個 根,求另一個根及m的值。5、求證:方程(m2+1)x2
15、 2mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。6、 求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1 25和1+V57、設(shè)x1,x2是方程2x2+4x 3=0的兩根,利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值:(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2/x1+x1/x2(3) x12+x1x2+2x1解題指導(dǎo)八 |LJ1、如果x2 2(m+1)x+m2+5是一個完全平方式,則 m=;2、方程2x(mx 4)=x2 6沒有實數(shù)根,則最小的整數(shù) m=; ' J;、'i 'i "f3、已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m 4)兩根的和與兩根的積相等,則 m=;4、設(shè)關(guān)于x的方程x2 6x+k=
16、0的兩根是m和n,且3m+2n=20,則k值為;5、設(shè)方程4x2 7x+3=0的兩根為x1,x2,不解方程,求下列各式的值:(1)x12+x22(2)x1 x2 (3) 2x什 2x2( 4) x1x22 + 12x16. 實數(shù)s、t分別滿足方程19s2 + 99s + 1 = 0和且19 + 99t +12 = 0求代數(shù)式(st + 4s + 1)/t的值。7. 已知a是實數(shù),且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實根,試判別方程 x2+2ax+1 (1/2)(a2x2 a2 1)=0有無實根?8. 求證:不論k為何實數(shù),關(guān)于x的式子(x 1)(x 2) k2都可以分解成兩個一次因式的積。
17、9 .實數(shù)K在什么范圍取值時,方程kx2 + 2 (k 1) x ( K 1 )= 0有實數(shù)正根? 獨立訓(xùn)練(一)1、不解方程,請判別下列方程根的情況;(1)2t2+3t 4=0,; (2) 16x2+9=24x,;(3)5(u2+1) 7u=0,;2、若方程x2 (2m 1)x+m2+仁0有實數(shù)根,則m的取值范圍是;3、一元二次方程x2+px+q=0兩個根分別是2+23和2 23,貝U p=,q=;4、已知方程3x2 19x+m=0的一個根是1,那么它的另一個根是,m=;5、若方程x2+mx 仁0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),那么 m的值是;6、m,n是關(guān)于x的方程x2-(2m-1)x+m2+仁0
18、的兩個實數(shù)根,則代數(shù)式 mn=。7、已知關(guān)于x的方程x2 (k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6,求k的值;8、如果a和B是方程2x2+3x 仁0的兩個根,利用根與系數(shù)關(guān)系,求作一個一元二次方程,使 它的兩個根分別等于 a +(1/和)B +(1/ a );9、 已知a,b,c是三角形的三邊長,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有兩個相等的實數(shù)根,求 證:這個三角形是正三角形10、取什么實數(shù)時,二次三項式 2x2 (4k+1)x+2k2 1可因式分解.11、已知關(guān)于X的一兀二次方程 m2x2 + 2 (3 m) x + 1 = 0的兩實數(shù)根為 a ,,若s= 1/好1/ 3 求s的取值范圍。獨立訓(xùn)練(二)1、已知方程x2 3x+1=0的兩個根為a ,,貝U a + B =, aB =;L2、 如果關(guān)于x的方程x2 4x+m=0與x2 x 2m=0有一個根相同,則 m的值為;3、已知方程2x2 3x+k=0的兩根之差為2又1/2,貝U k=;4、若方程x2+(a2 2)x 3=0的兩根是1和一3,貝U a=;5、方程4x2 2(a-b)x ab=0的根的判別式的值是;6、 若關(guān)于x的方程x2+2(m 1)x+4m2=0有兩個實數(shù)根,且這兩個根互為倒數(shù),那么m的值為;7、已知p<0,q<0,則一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是
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