韋達(dá)定理應(yīng)用(資料)

1、韋達(dá)定理的應(yīng)用一、典型例題解：設(shè)另一個(gè)根為4 +兩4心=Xi,則-例1已知關(guān)于x的方程2x ( mi+ 1) x + 1 m=0的一個(gè)根為4,求另一個(gè)根。21 一購(gòu)32相加，得x1弓例2:已知方程x 5x+ 8=0的兩根為xi, X2,求作一個(gè)新的一元二次方程，使它的兩根分別為+_（心+也r 一衛(wèi)陽冷丑冷_ 1又 'i :,-. ' - - : | - :'-'3十亠？2代入得，=新方程為-'5 +阿'；''.,.-'"',.例3:判斷是不是方程9x 10x 2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根?-；*；.5-屈解：二次實(shí)

2、數(shù)方程實(shí)根共軛，若是，則另一根為10 2碼十孔二g 再孔二_§以為根的一元二次方程即為 八 -".例4:解方程組L&'解：設(shè)= A>QBJ12 - 3A-W= 0.（山十2）（4_" = 0 A=5. x-y=5 又 xy=-6.忑+ (一尹)二5彳兀1 = 2bo)=6.可解得嚴(yán)="解方程組72=3例5:已知Rt ABC中，兩直角邊長(zhǎng)為方程 x： (2m+ 7) x + 4m( m- 2) =0的兩根，且斜邊長(zhǎng)為13,求S-J-_ ' 的值解：不妨設(shè)斜邊為 C=13,兩條直角邊為a，b,則2''、一亠- &

3、quot;'。又a, b為方程兩根。 ab=4m (m-2).宀； 但 a, b 為實(shí)數(shù)且 廣一 '一 "'_ 門丁：-'1丨.fA>0_ . . :< _./ +滬二 ©+為)2 _加心二 169.擢了 _ii臉+ 30 = 0.X F*、* 芒 *1 i / I I/ H| I ，-'|' 1 I m=5或 6 當(dāng) m=6時(shí)，- - m=5°. S"-；： 一L/ /.')例6: M為何值時(shí)，方程 8x ： ( m 1) x+ m 7=0的兩根 均為正數(shù)均為負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)一根

4、為零互為倒數(shù)A°, 1 '|- I jX + 心 © 0 解：叼/. m>7-"Vv ') 'i "f-J2 0 1r 1 + 乃 < 0 .d >0不存在這樣的情況。<0 m<7 m=7:A>0m-1 r=1IL 8/ m=15.但使二 * I不存在這種情況【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1. 設(shè)n為方程x + m好n=0 （n 0）的一個(gè)根，貝U m+ n等于2. 已知方程x + px q=0的一個(gè)根為2+ J，可求得p=,q=J 鬥'1 I I3. 若方程+ mx+ 4=0的兩根

5、之差的平方為 48，則m的值為（）A. 土 8B.8 C. 8D. ± 44. 已知兩個(gè)數(shù)的和比 a少5,這兩個(gè)數(shù)的積比 a多3，則a為何值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)相等?5. 已知方程（a + 3） x +仁ax有負(fù)數(shù)根，求a的取值范圍。<6.已知方程組I* +丿的兩組解分別為，求代數(shù)式aib2+a2bi 的值。1_7 ABC中，AB=AC Z A, Z B, Z C的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知a=3,b和c是關(guān)于x的方程x + mx+ 2 2 m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 'ABC的周長(zhǎng)?！驹囶}答案】1. 12.4 , 或 135. 3W a< 2提示：分 a= 3以及a工

6、3討論求解6.13例1已知p+ q = 198，求方程x2 + px + q = 0的整數(shù)根.（'9祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為x1、x2，不妨設(shè)x1 < x2由韋達(dá)定理，得x1 + x2 = p, x1x2 = q .于是 x1x2 (x1 + x2) = p + q = 198 ,即 x1x2 x1 x2 + 1 = 199 .(x1 1)(x2 1) = 199 .注意到x1 1、x2 1均為整數(shù)，解得 x1 = 2, x2 = 200 ; x1 = 198 , x2 = 0.I I例2已知關(guān)于x的方程x2 (12 m)x + m 1 = 0的兩個(gè)根都是正

7、整數(shù)，求 m的值.解：設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根為 x1、x2，且不妨設(shè)x1wx2由韋達(dá)定理得x1 + x2 = 12 m , x1x2 = m 1 .于是 x1x2 + x1 + x2 = 11,即(x1 + 1)(x2 + 1) = 12 . x1、x2為正整數(shù)，解得 x1 = 1， x2 = 5; x1 = 2， x2 = 3.故有m = 6或7.例3求實(shí)數(shù)k，使得方程kx2 + (k + 1)x + (k 1) = 0的根都是整數(shù).解：若k = 0，得x = 1，即k= 0符合要求.X,Jf X F"*"若k0,設(shè)二次方程的兩個(gè)整數(shù)根為x1、x2，由韋達(dá)定理得 x1x2

8、x1 x2 = 2，' “ I I(x1 1)(x2 1) = 3.因?yàn)閤1 1、x2 1均為整數(shù)，所以例4已知二次函數(shù)y = x2 + px + q的圖像與x軸交于(a 0)、( 3 0)兩點(diǎn)，且a> 1 > B,求證：p+ q > 1 .('9四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)證明：由題意，可知方程一x2 + px + q = 0的兩根為a 3由韋達(dá)定理得a+ 3= p， a 護(hù)一 q .于是 p + q = a+ 3 a ，=(a a 3+ 1) + 1(a_ 1)(1) + 1 > 1(因 a> 1 >B)一元二次方程根的判別式、判別式與根的個(gè)

9、數(shù)關(guān)系、判別式與根、韋達(dá)定理及其逆定理大綱要求1. 掌握一元二次方程根的判別式，會(huì)判斷常數(shù)系數(shù)一元二次方程根的情況。 對(duì)含有字母系數(shù)的由一 元二次方程，會(huì)根據(jù)字母的取值范圍判斷根的情況，也會(huì)根據(jù)根的情況確定字母的取值范圍；2. 掌握韋達(dá)定理及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3. 會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把二次三項(xiàng)式分解因式；4. 會(huì)應(yīng)用一元二次方程的根的判別式和韋達(dá)定理分析解決一些簡(jiǎn)單的綜合性問題。內(nèi)容分析1. 一元二次方程的根的判別式I I一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式 b2-4ac >0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng) 0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng) V 0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.2. 一元二

10、次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(1)如果一元 二次方程ax2+bx+c=0(a 工 0的兩個(gè)根是 x1，x2，那么 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a“ - / / *; n如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2,那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2為根的一元二 次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 . 3.二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法)在分解二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c的因式時(shí)， 如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).考查重點(diǎn)與常見題型1. 利用根的判別式判別一元二次方程

11、根的情況，有關(guān)試題出現(xiàn)在選擇題或填空題中，如：關(guān)于 x的 方程ax2 2x + 1 0中，如果a<0，那么根的情況是()(A)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(B )有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)沒有實(shí)數(shù)根(D)不能確定2. 利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值，有關(guān)問題在中考試題中出現(xiàn)的頻率非常高，多為選擇題或填空題，如：設(shè)x1，x2是方程2x2 6x + 3 0的兩根，貝U x12 + x22的值是()(A) 15 (B) 12 (C) 6 ( D) 33 .在中考試題中常出現(xiàn)有關(guān)根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系的綜合解答題。在近三年試題中又出現(xiàn)了 有關(guān)的開放探索型試題，考查了考生分析問題、

12、解決問題的能力?？疾轭}型1 .關(guān)于x的方程ax2 2x + 1 0中，如果a<0，那么根的情況是()(A)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(B )有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)沒有實(shí)數(shù)根(D)不能確定2 .設(shè)x1，x2是方程2x2 6x + 3 0的兩根，貝U x12 + x22的值是()(A) 15 (B) 12 (C) 6 ( D) 33 .下列方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是()(A) 2y2+5=6y ( B) x2+5=”5x ( C) V3x2-V2x+2=0(D) 3x2 2V6x+1=04、以方程x2 + 2x 3 = 0的兩個(gè)根的和與積為兩根的一元二次方程是()(A) y2+5y 6=0

13、(B) y2+5y + 6=0 (C) y2 5y + 6=0 ( D) y2 5y 6=05 .如果x1 , x2是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足 x12 2x1 = 1 , x22 2x2 = 1 ,那么 x1?x2 等于()(A) 2 (B) 2 (C) 1 (D) 16 .如果一元二次方程 x2 + 4x + k2 = 0 有兩 個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么k=7 .如果關(guān)于x的方程2x2 (4k+1)x + 2k2 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 k的取值范圍是8 .已知 x1 , x2 是方程 2x2 7x + 4 = 0 的兩根，貝U x1 + x2 =, x1?x2 = , (x1 x2

14、) 2 = 9 .若關(guān) 于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x + 1 = 0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，則 m =二、考點(diǎn)訓(xùn)練：1、 不解方程，判別下列方程根的情況：(1) x2 x=5(2)9x2 6V2+2=0(3)x2 x+2=02、 當(dāng)口=時(shí)，方程x2+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) m=時(shí)，方程mx2+4x+1=0有兩個(gè)不相等 的實(shí)數(shù)根；3、已知關(guān)于x的方程10x2 (m+3)x+m 7=0，若有一個(gè)根為0，則m=，這時(shí)方程的另一個(gè)根 是；若兩根之和為3/5，則m=，這時(shí)方程的兩個(gè)根為.4、已知3 2是方程x2+mx+7=0的一個(gè) 根，求另一個(gè)根及m的值。5、求證：方程(m2+1)x2

15、 2mx+(m2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。6、 求作一個(gè)一元二次方程使它的兩根分別是1 25和1+V57、設(shè)x1,x2是方程2x2+4x 3=0的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)(2)x2/x1+x1/x2(3) x12+x1x2+2x1解題指導(dǎo)八 |LJ1、如果x2 2(m+1)x+m2+5是一個(gè)完全平方式，則 m=;2、方程2x(mx 4)=x2 6沒有實(shí)數(shù)根，則最小的整數(shù) m=; ' J;、'i 'i "f3、已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m 4)兩根的和與兩根的積相等，則 m=;4、設(shè)關(guān)于x的方程x2 6x+k=

16、0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為；5、設(shè)方程4x2 7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值：(1)x12+x22(2)x1 x2 (3) 2x什 2x2( 4) x1x22 + 12x16. 實(shí)數(shù)s、t分別滿足方程19s2 + 99s + 1 = 0和且19 + 99t +12 = 0求代數(shù)式(st + 4s + 1)/t的值。7. 已知a是實(shí)數(shù)，且方程x2+2ax+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，試判別方程 x2+2ax+1 (1/2)(a2x2 a2 1)=0有無實(shí)根？8. 求證：不論k為何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的式子(x 1)(x 2) k2都可以分解成兩個(gè)一次因式的積。

17、9 .實(shí)數(shù)K在什么范圍取值時(shí)，方程kx2 + 2 (k 1) x ( K 1 )= 0有實(shí)數(shù)正根？ 獨(dú)立訓(xùn)練(一)1、不解方程，請(qǐng)判別下列方程根的情況；(1)2t2+3t 4=0,; (2) 16x2+9=24x,;(3)5(u2+1) 7u=0,;2、若方程x2 (2m 1)x+m2+仁0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是；3、一元二次方程x2+px+q=0兩個(gè)根分別是2+23和2 23,貝U p=,q=;4、已知方程3x2 19x+m=0的一個(gè)根是1，那么它的另一個(gè)根是，m=;5、若方程x2+mx 仁0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，那么 m的值是；6、m,n是關(guān)于x的方程x2-(2m-1)x+m2+仁0

18、的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式 mn=。7、已知關(guān)于x的方程x2 (k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值；8、如果a和B是方程2x2+3x 仁0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求作一個(gè)一元二次方程，使 它的兩個(gè)根分別等于 a +(1/和)B +(1/ a )；9、 已知a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求 證：這個(gè)三角形是正三角形10、取什么實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式 2x2 (4k+1)x+2k2 1可因式分解.11、已知關(guān)于X的一兀二次方程 m2x2 + 2 (3 m) x + 1 = 0的兩實(shí)數(shù)根為 a ,，若s= 1/好1/ 3 求s的取值范圍。獨(dú)立訓(xùn)練(二)1、已知方程x2 3x+1=0的兩個(gè)根為a ,，貝U a + B =, aB =;L2、 如果關(guān)于x的方程x2 4x+m=0與x2 x 2m=0有一個(gè)根相同，則 m的值為；3、已知方程2x2 3x+k=0的兩根之差為2又1/2，貝U k=;4、若方程x2+(a2 2)x 3=0的兩根是1和一3,貝U a=;5、方程4x2 2(a-b)x ab=0的根的判別式的值是；6、 若關(guān)于x的方程x2+2(m 1)x+4m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m的值為；7、已知p<0,q<0，則一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是