七年級數(shù)學上冊第5章《實際問題與一元一次》典型例題(北師大版)

1、實際問題與一元一次方程典型例題例 1 A, B兩站間的路程為 448千米，一列慢車從 A 站出發(fā)，每小時行駛60 千米；一列快車從 B 站出發(fā)，每小時行駛 80 千米問：（1）兩車同時開出，相向而行，出發(fā)后多少小時相遇？（2）兩車相向而行，慢車先行 28 分鐘，快車開出后多少小時兩車相遇？（3）兩車同時開出，同向而行，如果慢車在前，出發(fā)后多少小時快車追上 慢車？分析：本例中（ 1）（2）屬相遇問題，（3）屬追及問題，它們可借助示意圖 分析等量關系：（1）由上圖可知：慢車走的路程快車走的路程全程 448 千米2）由上圖可知：慢車提前行駛的路程快車出發(fā)后慢車行駛的路程快車行駛的路程全程 由上圖可知

2、：快車行駛的路程慢車行駛的路程全程 448 千米 解：（1）設兩車行駛 x 小時相遇，依題意，有 60x 80x 448 3）解這個方程，得 x 3.2答 兩車出發(fā) 3.2 小時后相遇（2）設快車開出后 x 小時兩車相遇，依題意得60 7 60x 80x 44815解這個方程，得 x 3答 快車開出后 3 小時兩車相遇（3）設兩車出發(fā)后 x 小時快車追上慢車，依題意得 80x 60x 448解得 x 22.4 答 兩車出發(fā)后 22.4 小時快車追上慢車說明：行程問題一般有三種類型： （1）相遇問題；（2）追及問題；（3）流水 問題其基本等量關系分別是：（1）相遇問題；兩者路程之和全程（2）追及

3、問題：快者路程慢者路程被追路程（3）流水問題： 順水速度靜水速度水速； 逆水速度靜水速度水速例 2 某人將甲、乙兩種股票同時賣出，其中甲種股票賣價 1 200 元，盈利 20；乙種股票也賣 1200 元，但虧損 20，該人此次交易結果是盈利還是虧損？ 分析：兩種股票共賣了 2 400元，是盈利還是虧損要看這個人買進這兩種股 票時共花了多少錢， 如果買入的價格小于 2 400 元，則在這次交易中賺錢； 反之， 此人在這次交易中虧損假設一支股票的買入價為 1000 元，如果賣出后盈利 20，那么股票盈利潤是 1000×20；如果賣出后虧損 20，股票利潤是 1000 × （ 2

4、0）元解；設甲種股票的買進價為 x 元，乙種股票的買進價為 y 元，根據(jù)賣價，可(1 20%)x 1200 ，(1 20%)y 1200 解得 x 1000, y 15001200 2 (x y) 2400 (1000 1500) 100 (元)答：兩種股票合計虧 100 元說明：此題要判斷盈虧， 須知股票的賣價與買價的差值， 而求出每種股票的 買價是關鍵例 3 某商品的進價是 2 000元，標價為 3 000元，商店要求以利潤率不低 于 5 的售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？分析： 根據(jù)利潤率 利進價潤 售價進價進價 ，進行計算 進價 進價解：設售價為 x 元，則x 2000

5、5% ，解得 x 2100 （元）2000因此， 2100 70% ，所以，售貨員最低可以打 7 折出售此商品3000利潤 售價 進價說明：此題為利潤率問題，利用等量關系：利潤率利進價潤 售價進價進價 ，求解；售價標價為十分之幾即為幾折例 4 下表紀錄的是一次試驗中聲音在空氣中的傳播速度與氣溫的相關數(shù) 據(jù)氣溫/05101520音速（米 /秒）331334337340343（1）如果音速的變化是均勻的，你能求出當音速為 338.2 米秒時的氣溫 嗎？（2）當氣溫 22時，某人看到煙花燃放 5 秒后才聽到聲音，那么此人與燃放的煙花所在地約相距多遠？解：（1）設氣溫為 x時，則由表可知聲音的速度是

6、（0.6x 331） 米秒，可 列0.6x 331 338.2 移項及合并，得0.6x 7.2x 12答：當音速為 338.2 米秒時的氣溫為 12（2）當 x 22 時， 0.6x 331 344.2344.2 5 1721答：此人與燃放的煙花所在地約相距 1721 米 說明：解決此問題要明確音速與溫度之間的變化規(guī)律， 從而已知氣溫可求音 速；反之亦然同時還應明確空氣中聲音的傳播速度要遠遠小于光的傳播速度例 5 某項工作，甲單獨做需 4 小時，乙單獨做需 6 小時，甲先做 30 分鐘， 然后甲、乙合作，問甲、乙合作還需多少小時才能完成全部工作？分析：設甲、乙合作還需 x 小時才能完成全部工作

7、列出兩人的工作效率、 工作時間、工作量情況表（下表） 從表中，可得等量關系：甲完成工作量乙 完成工作量總的工作量工作效率工作時間完成工作量甲1111xx4242乙11xx66解：如分析中所設，根據(jù)題意可得：1 1 114 12 x 16x 1，解得 x 2.1答 甲、乙合作還要 2.1 小時才能完成全部工作 說明：分析工程問題時， 往往把工作總量作為 1 來考慮，每人的工作效率是相應各人單獨完成工作總量所需時間的倒數(shù)， 然后列出每人的工作效率、 工作時 間、完成工作量的情況表去找等量關系就很容易了例 6 某工人按原計劃每天生產(chǎn) 20 個零件，到預定期限還有 100 個零件不 能完成，若提高工效

8、 25，到期將超額完成 50 個，問此工人原計劃生產(chǎn)零件多 少個？預定期限是多少天？分析：若設預定期限為三天， 則由生產(chǎn)零件的個數(shù)找等量關系， 若設生產(chǎn)零 件（原計劃）為 x 個，則由完成的時間找等量關系50解法 1：設預定期限為 x 天，則 x 20 100 x 20 （1 25%）解得 x 30 （天）30×20100700（個）所以，此工人原計劃生產(chǎn)零件 700 個，預定期限為 30 天解法 2：設原計劃生產(chǎn)零件 x 個，則x 10020x 5020(1 25%)解得 x 700（個）， x 21000 30（天）所以，此工人原計劃生產(chǎn)零件700 個，預定期限為 30 天說明：

9、 此題為工程問題，利用相關公式：工作量工作效率 ×工作時間求 解；運用的方法不同（設法不同） ，找的等量關系也不相同，難易也不相同例 7 男女生有若干人， 男生與女生人數(shù)之比為 4 ：3 ，后來走了 12 名女生， 這時男生人數(shù)恰好是女生的 2 倍求原來的男生和女生的人數(shù)分析：本題的等量關系為女生人數(shù)走了的人數(shù)男生人數(shù)的一半設男生人數(shù)為 4x 人，則女生人數(shù)為 3x 人，分析等量關系可列表為：右邊男生人數(shù) 4x 人的一半左邊 女生人數(shù) 3x 人， 走了 12 人1解：設原有男生人數(shù)為 4x 人，女生人數(shù)為 3x 人，則依題意，有 3x 12 4x 1 2解得 x 12則 4x 48,

10、3x 36答；原有男生 48 人，原有女生 36 人 說明：本例依據(jù)題中的比例關系設未知數(shù)，避免出現(xiàn)分數(shù)，使計算簡便，這 是解比例問題的常用方法例 8 已知某一鐵路橋長 1000 米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從 開始上橋到完全過橋共用 1 分鐘，整個火車完全在橋上的時間為 40 秒求火車 的速度分析：本題要分清“火車過橋”與“火車在橋上 ”的不同點及每種情況火車所走 路程設火車長為 x 米，則火車完全在橋上共走路程為 （1000 x） 米，速度表示 為 x 1000 x 解： 設火車長為 x 米，依題意，得60解方程，得 x 200 則 1000 x 20 60答 火車長度為 200

11、米，火車行駛速度為 20 米秒說明：與車上（離）橋問題相似的還有 “排頭挑尾 ”問題在行進的隊伍中，A 從排尾到排頭屬追及問題，從排頭到排尾是相遇問題設隊伍速度為V隊 ，長 度為S隊，A的速度為 VA ，時間為 t，則這兩種情形分別有等量關系式為：（VA V隊） t S隊 ，（VA V隊） t S隊，分析問題的關鍵是不能把隊伍看成不動、 只有 A 在動的情形 x （米秒），火車過橋共行駛路程為 （1000 x ） 米，速度可表示的401000 x （米秒），這兩個速度相等，畫圖表示為60火車完全在橋上：40火車一開始上橋到完全離橋：例 9 有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小3 ，十

12、位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的 1 ，求這個兩位數(shù)41分析：由已知“十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的 1 ”找等4 量關系解： 設十位上的數(shù)字為 x，則個位上的數(shù)字為 x 3，根據(jù)題意，得1x (x 3) 10x (x 3)4解得 x 3 x 3 6 所以，這個兩位數(shù)為 36說明：此題為數(shù)字問題， 等量關系由題目已知的條件找出； 表示這個兩 位數(shù)時，注意將十位上的數(shù)字乘以 10 后加上個位上的數(shù)字例 10 我國很多城市水資源缺乏，為了加強居民的節(jié)水意識，合理利用水 資源，很多城市制定了用水收費標準， A 市規(guī)定了每戶每月的標準用水量，不超 過標準用水量的部分按每立方

13、米 1.2 元收費，超過標準用水量的部分按每立方米 3 元收費該市張大爺家 5 月份用水 9 立方米，需交費 16.2 元 A 市規(guī)定的每戶 標準用水量是多少立方米？分析：由于1.2 9 10.8 16.2 ，因此 9立方米超過標準用水量，因此等量關 系為：總收費標準用水量交費超過標準用水量交費解：設每戶標準用水量為 x 立方米，由題意知 x 9，因此，1.2x 3(9 x) 16.2 ，解得 x 6 (立方米)所以，A 市規(guī)定的每戶標準用水量為 6 立方米例 11 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本價是 400 元，銷售價是 510 元，本 季度銷售了 m 件，為進一步擴大市場，該企業(yè)決定在降低售價的同時降低生產(chǎn) 成本，經(jīng)過市場調研，預測下季度這種產(chǎn)品每件銷售價降低 4，銷售量將