二幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式93416學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1二幾個(gè)初等函數(shù)二幾個(gè)初等函數(shù)(hnsh)的麥克勞林公式的麥克勞林公式93416第一頁，共31頁。特點(diǎn)(tdin):以直代曲以直代曲0 x)(1xp在微分應(yīng)用(yngyng)中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?x 的一次多項(xiàng)式xy)(xfy O第1頁/共30頁第二頁，共31頁。要求要求(yoqi):故!1n令)(xpn則第2頁/共30頁第三頁，共31頁。令(稱為(chn wi)余項(xiàng)) ,則有00 x第3頁/共30頁第四頁，共31頁。10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn第4頁/共30頁第五頁，共31頁。公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式

2、.)(xf公式 稱為(chn wi)n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .階的導(dǎo)數(shù)(do sh) ,時(shí), 有其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng)泰勒 第5頁/共30頁第六頁，共31頁。公式 稱為(chn wi)n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng) .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo注意(zh y)到* 可以證明: 式成立第6頁/共30頁第七頁，共31頁。(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒(ti l)公式變?yōu)?(xf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒(ti l)公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(

3、xf)(0 xf可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx第7頁/共30頁第八頁，共31頁。稱為(chn wi)麥克勞林( Maclaurin )公式 .則有)(xf)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)0(fxf)0( 則有誤差(wch)估計(jì)式2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得

4、近似公式第8頁/共30頁第九頁，共31頁。其中(qzhng)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第9頁/共30頁第十頁，共31頁。其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第10頁/共30頁第十一頁，共31頁。麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 類似(li s)可得1其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnx

5、nxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(第11頁/共30頁第十二頁，共31頁。1其中(qzhng) 10()(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第12頁/共30頁第十三頁，共31頁。已知x)(xRn其中(qzhng)(xRn) 10(因此(ync)可得),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式(gngsh) 第13頁/共30頁第十四頁，共31頁。1. 在

6、近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用(yngyng) 誤差(wch)M 為在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(第14頁/共30頁第十五頁，共31頁。解解: 已知xe令 x = 1 , 得由于(yuy)欲使由計(jì)算(j sun)可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此exe1x的麥克勞林公式為第15頁/共30頁第十六頁，共31頁。本例若每項(xiàng)四舍五入(s

7、sh w r)到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則 各項(xiàng)舍入誤差(wch)之和不超過總誤差限為這時(shí)得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .e!91!2111第16頁/共30頁第十七頁，共31頁。計(jì)算(j sun) cos x 的近似值,使其精確(jngqu)到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差令解得即當(dāng)588. 0 x時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .第17頁/共30頁第十八頁，共31頁。例例3. 求解解:由于(yuy)用洛必達(dá)法則(fz)不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),11)1 (! ) 1()() 1(nn

8、xxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2)(2216941xox 第18頁/共30頁第十九頁，共31頁。11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例例4. 證明證明(zhngmng)證證:+第19頁/共30頁第二十頁，共31頁。1. 泰勒泰勒(ti l)公式公式其中(qzhng)余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(

9、之間與在xx第20頁/共30頁第二十一頁，共31頁。3. 泰勒泰勒(ti l)公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用(1) 近似計(jì)算(3) 其他(qt)應(yīng)用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù) 例如 第21頁/共30頁第二十二頁，共31頁。6422464224xyO第22頁/共30頁第二十三頁，共31頁。12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin642246Ox4224y第23頁/共30頁第二十四頁，共31頁。計(jì)算(j sun)解解:原式第四節(jié) 作業(yè)作業(yè)(zuy) P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8;*10 (1), (

10、2)第24頁/共30頁第二十五頁，共31頁。英國(yn u)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓(ni dn)學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(1719) 他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .他是有限差分理論的奠基人 .第25頁/共30頁第二十六頁，共31頁。英國(yn u)數(shù)學(xué)家,著作(zhzu)有:流數(shù)論(shln)(1742)有機(jī)幾何學(xué)(1720)代數(shù)論(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .第26頁/共30頁第二十七頁，共31頁。證證: 由題設(shè)對(duì)有221)( x)(!2121f 321)(!31 x

11、f且第27頁/共30頁第二十八頁，共31頁。)(21之間與在其中x)()(21fxf221)( x)(!2121f 321)(!31 xf)(21f下式減上式 , 得令)(,)(max)(12fff 第28頁/共30頁第二十九頁，共31頁。e兩邊(lingbin)同乘 n != 整數(shù)(zhngsh) +假設(shè)(jish) e 為有理數(shù)( p , q 為正整數(shù)) ,則當(dāng) 時(shí),qn 等式左邊為整數(shù);矛盾 !證證:2n 時(shí),當(dāng)故 e 為無理數(shù) .等式右邊不可能為整數(shù).第29頁/共30頁第三十頁，共31頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。1. 求 n 次近似多項(xiàng)式。在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫為。稱為麥克勞林( M