有效教學-數(shù)學核心素養(yǎng)

1、有效教學培養(yǎng)和發(fā)展學生的核心素養(yǎng)教研室：潘祥仙學生發(fā)展核心素養(yǎng)學生發(fā)展核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)：核心素養(yǎng)：是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格必備品格和關鍵能力關鍵能力?；咎攸c：是所有學生應具有的最關鍵、最必要的基礎素養(yǎng) 是知識、能力和態(tài)度的綜合表現(xiàn) 可以通過接受教育來形成和發(fā)展 具有發(fā)展的連續(xù)性和階段性 兼具個人價值和社會價值學生發(fā)展核心素養(yǎng)是一個體系，其作用具有整合性核心素養(yǎng)人與社會：社會責任 國家認同 國際理解人與文化：人文底蘊 科學精神 審美情趣人與自我：身心健康 學會學習 實踐創(chuàng)新核心素養(yǎng)對基礎教育的啟示1.從學科為中心向以學生為中心轉變2.

2、從教書向育人轉變3.從關注知識為中心向關注學生全面發(fā)展為中心轉變4.從關注學生某一學段的發(fā)展向關注學生一生發(fā)展轉變5.從關注為學生做了什么向關注學生的實際獲得轉變 基于核心素養(yǎng)指導考試評價是抓手。著眼于學生未來的發(fā)展性長期目標，從知識中心轉向素養(yǎng)中心的考試內容改革，試題體現(xiàn)利用所學知識解決、解釋生活中的實際問題。核心素養(yǎng)對教育評價的啟示核心素養(yǎng)對教育評價的啟示 什么是數(shù)學？什么是數(shù)學？ 數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。 數(shù)學研究的對象不是具體的物質或物質運動形態(tài)，數(shù)數(shù)學研究的對象不是具體的物質或物質運動形態(tài)，數(shù)學研究的對象是從眾多的物質運動形態(tài)中抽象出來

3、的事物，學研究的對象是從眾多的物質運動形態(tài)中抽象出來的事物，是人腦的產物。在提高一個人的推理、抽象、分析、創(chuàng)造是人腦的產物。在提高一個人的推理、抽象、分析、創(chuàng)造能力方面，數(shù)學訓練的作用，是其他學科難以替代的。能力方面，數(shù)學訓練的作用，是其他學科難以替代的。數(shù)學是要讓身邊的事物變得更簡單的學問。數(shù)學就是利用數(shù)學是要讓身邊的事物變得更簡單的學問。數(shù)學就是利用紙筆來表達、解決現(xiàn)實生活中的問題。也就是說，只要能紙筆來表達、解決現(xiàn)實生活中的問題。也就是說，只要能進行抽象化，什么情況都可以套用數(shù)學來解決。進行抽象化，什么情況都可以套用數(shù)學來解決。 三句耐人尋味的話三句耐人尋味的話一個人若不識字可以生活，但

4、是若不識數(shù)，就很難一個人若不識字可以生活，但是若不識數(shù)，就很難生活了。生活了。一個學科，只有當它成功地運用數(shù)學的時候，才算一個學科，只有當它成功地運用數(shù)學的時候，才算達到了成熟的程度。達到了成熟的程度。一個國家科學的進步，可以用它消耗的數(shù)學來度量一個國家科學的進步，可以用它消耗的數(shù)學來度量。什么是數(shù)學素養(yǎng)？什么是數(shù)學素養(yǎng)？“數(shù)學素養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)”的通俗說法的通俗說法把所有的數(shù)學知識都排除或忘掉后，剩下的東西?！皵?shù)學素養(yǎng)”是數(shù)學讓人終生受益的精華。比如：從數(shù)學角度看問題的出發(fā)點；有條理的理性思維，嚴密地思考、求證，簡潔、清晰、準確地表達；在解決問題時，總結工作時，邏輯推理的意識和能力；對所從事的工作

5、，合理地量化和簡化，周到地運籌帷幄，等等?！皵?shù)學素養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)”的專業(yè)說法的專業(yè)說法主動探尋并善于抓住數(shù)學問題的背景和本質的素養(yǎng)；熟練地用準確、簡明、規(guī)范的數(shù)學語言，表達自己數(shù)學思想的素養(yǎng)；具有良好的科學態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)；對各種問題以“數(shù)學方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學模型的素養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象 邏輯推理數(shù)學建模 直觀想象 數(shù)學應用數(shù)據(jù)分析能有效地使用數(shù)學的思考方式。能有效地使用數(shù)學的思考方式。1.1.準確地找出問題的本質。準確地找出問題的本質。2.2.能夠適

6、當?shù)匕阉橄蠡Ｄ軌蜻m當?shù)匕阉橄蠡?.3.用簡潔而優(yōu)美的數(shù)學方法對其處理。用簡潔而優(yōu)美的數(shù)學方法對其處理。4.4.擁有數(shù)學的應用能力。擁有數(shù)學的應用能力。什么是優(yōu)異的數(shù)學感覺？什么是優(yōu)異的數(shù)學感覺？企業(yè)招聘員工考察數(shù)學素養(yǎng)的兩道題企業(yè)招聘員工考察數(shù)學素養(yǎng)的兩道題1.1.甲乙兩人同時同地賽跑，甲到達甲乙兩人同時同地賽跑，甲到達100100米終點線米終點線時，乙才跑到時，乙才跑到9090米。現(xiàn)如果讓甲的起跑線退后米?，F(xiàn)如果讓甲的起跑線退后1010米，這時兩人再同時起跑比賽，比賽的結果會怎米，這時兩人再同時起跑比賽，比賽的結果會怎樣？為什么？樣？為什么？2.2.有三個筐，一個筐裝桔子，一個筐裝蘋

7、果，一有三個筐，一個筐裝桔子，一個筐裝蘋果，一個筐混裝著桔子和蘋果。裝完以后封好了，然后個筐混裝著桔子和蘋果。裝完以后封好了，然后做了三個標簽（桔子，蘋果，混裝），分別往上做了三個標簽（桔子，蘋果，混裝），分別往上貼，由于馬虎，全貼錯了。請你想一個辦法，只貼，由于馬虎，全貼錯了。請你想一個辦法，只許從某一個筐中拿出一個水果查看，就能夠糾正許從某一個筐中拿出一個水果查看，就能夠糾正所有的標簽。所有的標簽。數(shù)學的基本思想主要指：數(shù)學的基本思想主要指：數(shù)學抽象的思想；數(shù)學抽象的思想；數(shù)學推理的思想；數(shù)學推理的思想；數(shù)學模型的思想數(shù)學模型的思想柯尼斯堡七橋問題柯尼斯堡七橋問題 1818世紀，在東普魯士

8、的柯尼斯世紀，在東普魯士的柯尼斯堡，人們對于一個散步問題非常感興趣。堡，人們對于一個散步問題非常感興趣。鎮(zhèn)上有七座橋，散步時必須經過每座橋一次，條件鎮(zhèn)上有七座橋，散步時必須經過每座橋一次，條件是每個岸邊和小島都可以數(shù)次進出，但同一座橋不是每個岸邊和小島都可以數(shù)次進出，但同一座橋不得重復經過。得重復經過。一、數(shù)學中的抽象一、數(shù)學中的抽象歐拉是以歐拉是以“反證法反證法”來解決這個問題的。如果這個問來解決這個問題的。如果這個問題的答案可以成立，那我們假設其中某個小島既不是題的答案可以成立，那我們假設其中某個小島既不是起點也不是終點，只是散步途中所經過的點，這么一起點也不是終點，只是散步途中所經過的點

9、，這么一來，經由一座橋來到這個點散步，就一定要能出去，來，經由一座橋來到這個點散步，就一定要能出去，而規(guī)定同一座橋不得重復經過，所以一進一出的橋必而規(guī)定同一座橋不得重復經過，所以一進一出的橋必須是兩座不同的橋。假設要到同樣地點第二次的話，須是兩座不同的橋。假設要到同樣地點第二次的話，必須再由另外兩座不同的橋進出。必須再由另外兩座不同的橋進出。像這樣，散步像這樣，散步途中所經過的橋梁數(shù)目，是每座小島到訪次數(shù)的兩倍，途中所經過的橋梁數(shù)目，是每座小島到訪次數(shù)的兩倍，因此連接每個到訪點的橋梁數(shù)目一定得是偶數(shù)。因此連接每個到訪點的橋梁數(shù)目一定得是偶數(shù)。可是圖中橫跨在四個小島上的橋梁數(shù)目是可是圖中橫跨在四

10、個小島上的橋梁數(shù)目是3 3、3 3、3 3、5 5，全是奇數(shù)。而四個小島不可能全都是起，全是奇數(shù)。而四個小島不可能全都是起點或終點，起點和終點只能各有一個。出現(xiàn)這點或終點，起點和終點只能各有一個。出現(xiàn)這種矛盾的情況，證明了最初的假設錯誤，所以種矛盾的情況，證明了最初的假設錯誤，所以這樣的散步路線不存在。這樣的散步路線不存在。歐拉把實際的問題抽象簡化為平面上的點與線組合，每歐拉把實際的問題抽象簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區(qū)視為點。這樣若從一座橋視為一條線，橋所連接的地區(qū)視為點。這樣若從某點出發(fā)后最后再回到這點，則連接這一點的線數(shù)必須某點出發(fā)后最后再回到這點，則連接這

11、一點的線數(shù)必須是偶數(shù)，這樣的點稱為偶頂點。相對的，連有奇數(shù)條線是偶數(shù)，這樣的點稱為偶頂點。相對的，連有奇數(shù)條線的點稱為奇頂點。歐拉論述了，由于柯尼斯堡七橋問題的點稱為奇頂點。歐拉論述了，由于柯尼斯堡七橋問題中存在中存在4 4個奇頂點，它無法實現(xiàn)符合題意的遍歷。個奇頂點，它無法實現(xiàn)符合題意的遍歷。歐拉把問題的實質歸于一筆畫問題。歐拉把問題的實質歸于一筆畫問題。歐拉的三步抽象：歐拉的三步抽象：1.1.地圖的抽象（點線圖）地圖的抽象（點線圖）2.2.問題的抽象（一筆畫的問題）問題的抽象（一筆畫的問題）3.3.把一筆畫問題轉化為數(shù)學方式的敘述。把一筆畫問題轉化為數(shù)學方式的敘述。 歐拉用這種方式掌握問題

12、的本質，成功的將問題歐拉用這種方式掌握問題的本質，成功的將問題抽象化。抽象化后的題目已和小島的形狀、面積、路抽象化。抽象化后的題目已和小島的形狀、面積、路線、距離遠近都無關了。重要的是岸、橋、島的相對線、距離遠近都無關了。重要的是岸、橋、島的相對位置關系。在這里，從抽象化后的題目上去思考才是位置關系。在這里，從抽象化后的題目上去思考才是數(shù)學的第一步，因為抽象化后的題目才是問題的本質，數(shù)學的第一步，因為抽象化后的題目才是問題的本質，可以省略其他一切無關的內容。像這樣將數(shù)學問題抽可以省略其他一切無關的內容。像這樣將數(shù)學問題抽象化之后，使問題不但單純化，也變得容易解答。這象化之后，使問題不但單純化，

13、也變得容易解答。這就是運用抽象化的步驟來強化數(shù)學思考的例子。就是運用抽象化的步驟來強化數(shù)學思考的例子。歐拉的一筆畫原理是：歐拉的一筆畫原理是：(1)(1)一筆畫必須是連通的一筆畫必須是連通的( (圖形的各部分之間連圖形的各部分之間連接在一起接在一起) )；(2)(2)沒有奇點的連通圖形是一筆畫，畫時可以沒有奇點的連通圖形是一筆畫，畫時可以以任一偶點為起點，最后仍回到這點；以任一偶點為起點，最后仍回到這點；(3)(3)只有兩個奇點的連通圖形是一筆畫，畫時只有兩個奇點的連通圖形是一筆畫，畫時必須以一個奇點為起點，以另一個奇點為終點；必須以一個奇點為起點，以另一個奇點為終點；(4)(4)奇點個數(shù)超過

14、兩個的圖形不能一筆畫。奇點個數(shù)超過兩個的圖形不能一筆畫。問題：如何測量卷筒紙的長度？問題：如何測量卷筒紙的長度？如下圖，將厚度如下圖，將厚度0.02cm0.02cm的卷筒紙，在直徑的卷筒紙，在直徑10cm10cm的的圓筒上卷成直徑圓筒上卷成直徑20cm20cm的大小。請求出這卷卷筒紙的大小。請求出這卷卷筒紙的總長度。的總長度。2010解法解法1 1：將卷筒紙實際拉出來測量看看。但它的：將卷筒紙實際拉出來測量看看。但它的缺點是，要找到問題中指定大小的卷筒紙是很缺點是，要找到問題中指定大小的卷筒紙是很困難的。就算能找到，但困難的。就算能找到，但“為了測量長度而把為了測量長度而把它全部拉出來，會失去

15、卷筒紙本身的價值。它全部拉出來，會失去卷筒紙本身的價值。 20102010解法解法2 2：假設這卷卷筒紙是以同心圓卷在一起的。那么：假設這卷卷筒紙是以同心圓卷在一起的。那么它最外側的圓直徑就是它最外側的圓直徑就是20cm20cm，而往內的下一個圓則減，而往內的下一個圓則減少少0.04cm0.04cm，即，即19.96cm19.96cm，再往內則是，再往內則是19.92cm19.92cm，而而最內側的圓直徑是最內側的圓直徑是10.04cm10.04cm，由內往外第二個圓直徑，由內往外第二個圓直徑10.08cm10.08cm?？傞L度總長度: :（20+19.96+19.92+10.08+10.04

16、20+19.96+19.92+10.08+10.04）cmcm = =（25025030.0430.042 2）2010解法解法3 3： （20+1020+10）2=152=15， 1515250=3750250=3750解法解法4 4：在腦海里試著將所有的紙都拉出來看看。拉：在腦海里試著將所有的紙都拉出來看看。拉出來之后從側面來看，就成了下面的形狀。出來之后從側面來看，就成了下面的形狀。 長設為長設為x x，寬為，寬為0.02cm0.02cm。 卷筒紙卷著時的圓環(huán)面積與拉開后的側面積相等。卷筒紙卷著時的圓環(huán)面積與拉開后的側面積相等。 因此，陰影部分圓環(huán)面積為：因此，陰影部分圓環(huán)面積為：100

17、-25=75100-25=75 75= 0.02x x=3750 75= 0.02x x=37502010 所謂數(shù)學的進步，我們不妨把它理解成所謂數(shù)學的進步，我們不妨把它理解成“稍微動動腦筋讓事情變得更輕松稍微動動腦筋讓事情變得更輕松”的一種思的一種思考方式。數(shù)學并不是要讓身邊的事物變得更困考方式。數(shù)學并不是要讓身邊的事物變得更困難，而是一種要讓它們變得更簡單的學問。難，而是一種要讓它們變得更簡單的學問。 符號意識符號意識主要是指能夠理解并且運用符號主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般

18、性。可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。數(shù)學中的抽象數(shù)學中的抽象符號意識符號意識 用符號化的語言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號）來描述數(shù)學的內容，這就是符號思想。數(shù)學數(shù)學符號是數(shù)學的語言，數(shù)學世界是一個符號化的世界，數(shù)符號是數(shù)學的語言，數(shù)學世界是一個符號化的世界，數(shù)學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)學有了符號，才使符號起到了非常重要的作用；因為數(shù)

19、學有了符號，才使得數(shù)學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促得數(shù)學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數(shù)學的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學符號的使用，進了數(shù)學的普及和發(fā)展；國際通用的數(shù)學符號的使用，使數(shù)學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想使數(shù)學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。方法，具有普遍的意義。1.1.符號化思想符號化思想 第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的

20、過程。 如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長方形的面積公式，并用符號表示：的面積公式，并用符號表示：S Sabab。這是一個符號化的過程，同。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。時也是一個模型化的過程。 第二，理解符號所代表的數(shù)量關系和變化規(guī)律。這是一個從一第二，理解符號所代表的數(shù)量關系和變化規(guī)律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關系。如假設一個正方形的邊長是示情境中數(shù)量間的關系。如假設一個正方形的邊長是

21、a a，那么，那么4a4a就就表示該正方形的周長，表示該正方形的周長，a a表示該正方形的面積。這同樣是一個符號表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程?；倪^程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。 2. 2. 如何理解符號化思想。如何理解符號化思想。 第三，會進行符號間的轉換。數(shù)量間的關系一旦確定，便可第三，會進行符號間的轉換。數(shù)量間的關系一旦確定，便可以用數(shù)學符號表示出來，但數(shù)學符號不是唯一的，可以豐富多彩。以用數(shù)學符號表示出來，但數(shù)學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值如一輛汽車的行駛時速為定值8080千米，那么該輛汽車行駛的路程

22、千米，那么該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數(shù)量關系既可以用表格的形式表示，和時間成正比，它們之間的數(shù)量關系既可以用表格的形式表示，也可以用公式也可以用公式s=80ts=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉換的。以相互轉換的。 第四，能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。第四，能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表示的問題。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數(shù)學的運算和推理。這是指完成符號化后的下一步工作，就是進行數(shù)學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數(shù)學基本功，也是非常能夠進行正確的運算和推理是非常重要

23、的數(shù)學基本功，也是非常重要的數(shù)學能力。重要的數(shù)學能力。2. 2. 如何理解符號化思想。如何理解符號化思想。 3. 3. 符號化思想的具體應用符號化思想的具體應用 （1 1）數(shù)的表示、運算和關系。）數(shù)的表示、運算和關系。 數(shù)字數(shù)字0-90-9、+ +、 、 是比較是比較早期的數(shù)學符號，便于人們計數(shù)和計算。是小學早期的數(shù)學符號，便于人們計數(shù)和計算。是小學數(shù)學應用最廣泛的符號。數(shù)學應用最廣泛的符號。 （2 2）代數(shù)思想。）代數(shù)思想。 代數(shù)在早期的主要特征是以文字為主的演算，代數(shù)在早期的主要特征是以文字為主的演算，到了到了1616、1717世紀數(shù)學家韋達、笛卡爾和萊布尼茲世紀數(shù)學家韋達、笛卡爾和萊布尼

24、茲等數(shù)學家逐步引進和完善了代數(shù)的符號體系。等數(shù)學家逐步引進和完善了代數(shù)的符號體系。用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)。用字母表示數(shù)量關系。用字母表示數(shù)量關系。運算定律、公式、數(shù)量關系。運算定律、公式、數(shù)量關系。加法交換律加法交換律:a+b=b+a:a+b=b+a時間、速度和路程的關系時間、速度和路程的關系:s=vt:s=vt用符號表示變化規(guī)律。用符號表示變化規(guī)律。數(shù)列的變化規(guī)律數(shù)列的變化規(guī)律:1,2,3,5,8,:1,2,3,5,8,圖形的變化規(guī)律圖形的變化規(guī)律, ,小棒的根數(shù)：小棒的根數(shù)：y=3x+1y=3x+1例5：中國建筑中經常能見到“外方內圓”和“外圓內方”的設計。下圖中兩個圓半徑都是1米，你

25、能求出正方形和圓之間部分的面積嗎？改編：五、操作運用五、操作運用（作圖并計算）在下面的正方形外作一個圓，使這個圓經過正方形的四個頂點，你是如何確定圓心的？在圖中保留作圖痕跡。計算圓的面積比正方形面積多百分之幾？（可設所畫圓的半徑是 或具體某個數(shù)， 取3.14）r改編： 如圖，一種飲料瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），飲料瓶的容積是600毫升，在它里面裝有一些飲料。正放時，飲料高度16厘米，倒放時，空余部分高4厘米。瓶內現(xiàn)有飲料多少毫升？164書27頁例題：一個內直徑是8厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度是18厘米。這個瓶子的容積是多少？ 模型思想模型思

26、想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。應用意識。二、數(shù)學建模二、數(shù)學建模

27、數(shù)學模型思想數(shù)學模型思想 數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。從廣義角度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數(shù)量關系式、圖表、程序等都是數(shù)學模型。數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處。為了把數(shù)學模型與數(shù)學知識或是符號思想明顯地區(qū)分開來，主要從俠義的角度討論數(shù)學模型，即重點分析小學數(shù)學的應用及數(shù)學模型的構建。如果說符號化思想更注重數(shù)學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數(shù)學的應用，即通過數(shù)學結構化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題。 3. 模型思想的應用。數(shù)的表示，自然數(shù)列：0,1,2,用數(shù)軸

28、表示數(shù)用數(shù)字和圖形表示規(guī)律數(shù)的運算a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)，ca=b, cba用字母表示運算定律，方程ax+b=c數(shù)量關系：時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價：a=np正比例關系：y/x=k反比例關系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關系用圖象表示數(shù)量間的關系用字母表示周長、面積和體積公式用圖表示空間和平面結構用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息用分數(shù)表示可能性的大小。 數(shù)學建模是一個比較復雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟： (1) 理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。 (2) 把復雜的情境經過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。 (3)

29、建立模型，可以是數(shù)量關系式，也可以是圖表形式。 (4) 解答問題。案例：雞兔同籠問題案例：雞兔同籠問題某科學考察組進行科學考察，要越過一座山。上午8時上山，每小時行3千米，到達山頂時休息1小時。下山時，每小時行5千米，下午2時到達山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？案例：盈虧問題案例：盈虧問題小紅從家到少年宮上課，若按12千米/小時速度，將遲到5分鐘；若按15千米/時速度，則提前10分鐘。家到少年宮有多少千米？ 三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 運算是義務教育階段一、二學段學生在數(shù)學學習中接觸最多的內容。作為數(shù)學課程的一條主線，它不僅貫穿于“數(shù)與代數(shù)”的所有重要知識點，也和“

30、圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”的內容交融在一起。運算不僅是學習的重要內容，也是解決數(shù)學問題的基本方式，必然成為學生應該培養(yǎng)的最基本的數(shù)學素養(yǎng)。三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力案例：案例：長方形、正方形的周長 新授課中先復習周長的意義，再自主探究長方形、正方形周長計算方法，最后優(yōu)化出長方形、正方形的周長計算公式。在鞏固練習環(huán)節(jié)有這樣一道題：王大伯借助一面墻用籬笆圍一塊長方形菜地（如圖），求籬笆長度。反饋校正時學生出現(xiàn)了這樣4種解題方法：（95）2 （95）29 952 955 59 三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 探討：探討：第一種顯然錯了。第2、3、4種方法中，顯然后兩種方法較簡單，根

31、據(jù)平面圖形周長的意義，直接把三條邊相加，但有些學生先套用周長公式求出長方形周長，然后再減去一條邊長，求出籬笆的長度。出現(xiàn)這樣的結果，可能是學生在尚未充分理解周長的意義和計算方法的情況下，教師過于強調用長方形周長計算公式解題，導致學生忽略周長的意義，忽視了四條邊相加求長方形周長的方法。事實上，理解周長的意義是本質的，應在此基礎上優(yōu)化求長方形周長的算法。因此，在教學中，教師要先突出最簡單、最本質的方法，逐步抽象出最佳方法，進而促使學生達到認識上的最佳狀態(tài)。過于強調計算公式的記憶可能會限制學生的探索能力，封閉學生的思維空間。 三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 計算教學一般都是把計算置于現(xiàn)實情境之中，為

32、學生探究算理提供情境支撐，有利于理解算理，掌握算法。培養(yǎng)運算能力應注意以下幾方面的問題： 1.注意強化與運算有關的概念、公式、命題的理解理解，夯實運算的知識基礎。實踐證明，第一、二學段的運算問題皆與相關的數(shù)學知識意義的理解緊密關聯(lián)，學生在運算中表現(xiàn)出來的水平高低往往受其對基礎知識掌握的程度的制約（如關于“平均數(shù)”的計算問題）。那種不求概念意義理解，急于進行運算技能操練的做法是不可取的。 三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 2.既重視算理，又要重視算法的提煉，適當進行鞏固訓練。雖不要求學生死記硬背計算法則，但在理解的基礎上要記住要點，再通過適當?shù)木毩曔M行鞏固。要想形成運算能力，一定量的訓練是必要的。

33、通過練習，能了解學生對算法的掌握情況，根據(jù)記憶的遺忘規(guī)律，定期的在每個單元后對以前的知識進行混合練習也是必要的。 三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 3.加強對學生良好學習習慣的培養(yǎng) 教師平時要求學生書寫整潔、規(guī)范，看清數(shù)字一步一步地算，計算完后可檢查或驗算一遍。 三三、數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力 4.重視計算問題新題型的教學 運算能力不僅包括傳統(tǒng)的口算、筆算和估算等最基礎的看得見的技能，也包括運用運算解決各種問題時的分析能力、推理能力等思維能力。比如找數(shù)字排列的規(guī)律、規(guī)律中的計算、算式的大小比較、代數(shù)式求值、定義新運算等方面。算算2424，每組四個數(shù)經過加減乘除運算得到，每組四個數(shù)經過加減乘除運算

34、得到2424。5，5，5，1 3，3，7，74，4，7，7 3，3，8，8運算律的運用運算律的運用四、處理好數(shù)學訓練與發(fā)展思維的關系四、處理好數(shù)學訓練與發(fā)展思維的關系 眾所周知，數(shù)學教學最基本的任務就是使學生學會解題，學會數(shù)學地思考，發(fā)展思維，從而變得更聰明。數(shù)學教育家波利亞認為，要“把解題作為培養(yǎng)學生數(shù)學才能和教會他們思考的一種手段和途徑”。由此可以看出解題訓練在數(shù)學教學中的重要性。一提到解題，我們自然而然聯(lián)想到的就是“類型分析”、“題海戰(zhàn)術”。誠然，常規(guī)的訓練是學會解題的必要條件，但過度訓練會影響學生的創(chuàng)造力，阻礙學生思維的發(fā)展。案例案例1 1：教學圓錐的體積的計算及應用 1.教師在新授圓

35、錐的體積后，讓學生計算下列各圓錐的體積：（1）底面積3平方米，高2分米。（2）底面積4平方厘米，高4.5厘米。 小結：應用圓錐體積的計算公式求圓錐體積時，不能忘記乘1/3或除以3。 2.例2：一個圓錐形的沙堆的底面直徑是6米，高1.8米。每立方米沙重1.7噸。這堆沙約重多少噸？學生嘗試解答后交流反饋。小結：注意求圓錐體積時，一定不能忘記乘1/3或除以3。 質量調研時，試卷上出現(xiàn)了圓錐體積計算的題目。 題目題目1 1 如果一個圓柱體和一個圓錐體等底等高，它們的體積一共是48立方厘米，那么圓錐的體積是（）立方厘米。已知圓錐的底面積是9平方厘米，它的高是（ ）厘米。 題目題目2 2 把一個底面積45

36、平方分米、高7分米的圓柱體鋼塊，鑄成一個圓錐體零件，這個圓錐零件的體積是（ ）立方分米。已知這個零件的高是9分米，那么它的底面積是（ ）平方分米。 估計學生第一題得分率較高，而第二題得分率較低。這兩道難度相仿的題，為什么會出現(xiàn)如此大的差別？在平時的練習中，教師注意強調了等底等高的圓柱和圓錐體積間的關系，重視了圓柱、圓錐體積公式的實際應用，所以第1題的得分率較高。但在應用圓錐體積公式求體積時，教師常常會提醒學生乘1/3或除以3。在大量的重復練習后，學生一看到求圓錐體的體積就條件反射地乘1/3或除以3，所以第2題的第1空多數(shù)學生出現(xiàn)了這樣的錯誤。 探討：探討：上述數(shù)學活動，看上去學生似乎在大量模仿

37、練習中已經熟練掌握圓錐體積計算公式，實則是：少了變式訓練的題目，少了發(fā)展思維的題目，少了解決現(xiàn)實問題的題目。是的，在平時的數(shù)學教學中，常常會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：教師精細地講解例題后，學生能很快掌握一類題的解題技能，經過一段時間的反復操練后，學生的解該類型題的技能進一步提高，但遇到稍有變化的習題或具體的問題情境時，學生或變得不愿思考，機械照搬；或不會思考，一籌莫展。學生在一味的機械訓練中究竟學到了什么？是數(shù)學思維還是應用意識？案例案例3 3：教學按比例分配應用題。 教師在教學完按比例分配應用題的例題后常常小結：告訴我們兩個數(shù)量的比及它們的和，要求這兩個量，可以用和分別乘總份數(shù)分之一個數(shù)量的份數(shù)，分別求出這兩個數(shù)量。 對比兩道題： 1.一種鹽水，鹽和水的比是199，要配置400克這樣的鹽水，需要鹽多少克？ 2.一種鹽水，鹽和水的比是199，要配置這樣的鹽水，400克水中需要放入鹽多少克？ 探討：探討：按比例分配應用題有其特有的數(shù)量特征，教師常常會總結解題規(guī)律并進行類似練習。學生習慣于把問題和類型相聯(lián)系，死扣類型，