第二章作業(yè)答案

1、第二章作業(yè)答案a21.求以下序列的z變換并畫出零極點(diǎn)圖和收斂域az1 azaz收斂域：| a | | z|,零點(diǎn)z=0,極點(diǎn)z=a,z=1/a x(n) a|n|X(z)n(2)由z變換的定義可知n /2 u( nn1)z2nznn 12z1 2z收斂域?yàn)?z2. z反變換 X(z)8z15112z151z41z 5X(z)C 21z 5C1X(z)z1/41/5C2X(z)z1/41/35 -zX(z)81:-3x(n)nu(1)1 nu(n)57.求以下序列x(n)的頻譜X(ej )no(1) X(z) Zx(n) Z (n n。)z8X(ej) X-ej ejn。 X(z)Zeanu(n

2、) X(ej ) X(z)|z ejN 11 ae j(3) X(ej ) an Rn (n)e j nane j nnn 010.已知某序列，其傅里葉變換為X(ej ),不必求X(ej ),完成下列計(jì)算。(1)X(ej0)(2)X(ej )dj 2(3)X(ej ) d(4)dX (ej )(5)因?yàn)?nx(n)jdX ej / d(1) X(ej0) x(n)e j n | o x(n) 6nn1 x(n) X(e )e d根據(jù)帕塞瓦爾公式可得j 、x(0) X(ej )ej0 d X(ej )d所以 X(ej )d 2x(0) 22 4，八i 2_1 2_(4) X(ej ) d 2 x

3、(n) 28ncd (e ) d 2( jn)x(n) 316dn 11,設(shè)X(ej )和丫色,)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換。 x(n n。)(2) x (n) x( n) (4) x(n) y(n)(5)x(n) y(n)(6) nx(n) x(2n)(8)g(n)x(2)0,n=偶門=奇解：(1) DTFTx(nn0)x(nnno)e jnx(n)e j(n n0)ejn0 X(ej )(2) DTFTx (n) x (n)e jnnx(n)ejnnX (ej )(3) DTFT x( n)x( n)e jnnx(n)ejn X(e j )n(4) DT

4、FTx(n) y(n)x(n) y(n)e jnnx(m) y(n m) ex(m) y(n m)e jnx(m)e jm Y(ej )mnmX(ej )Y(ej )(5) DTFTx(n)y(n)n1x(n) 2ju jnu ,Y(e )e du ejnjujn( u)Y(e ) x(n)e dunY(eju)X(e j( u)du Y(ej ) X(ej )(6)因?yàn)?X(ej )x(n)ejnd x(n)e jnndjn d e x(n) d(jn)x(n)e jnn所以 DTFT nx(n) jdX(ej )d DTFTx(2n)nx(2n)ejnx(n)en為偶數(shù)1 -x(n)j n

5、1)nx(n)e .n1j虧 1j 2 nx(n)e 2 x(n)e2n2n1 j1 j 2”e2) -X(e 2)(8) DTFTg(n) x(n/2)e jn x(n')e j2n' X(e2j ) n為偶數(shù)n'12.已知用下列差分方程描述的一個(gè)線性時(shí)不變因果系統(tǒng)y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)(1)求此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，畫出零極點(diǎn)圖，并指出收斂域;(2)求此系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng);(3)此系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，請(qǐng)找一個(gè)滿足上述差分方程的穩(wěn)定 激響應(yīng)。解(1)對(duì)差分方程在零起始狀態(tài)下進(jìn)行 z變換Y(z) z1Y(z) z2Y(z) z 1X(z)因此1H

6、(z)2X (z)1 z z z z 1215奪點(diǎn)為zo 0 ；令z z 1 0 ,求出極點(diǎn)為 乙 如圖所示。收斂域?yàn)?|z|1. 52(2)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)_ 1h(n) Z H(z)H(z) 2 z 1 z . z z 151 .5z 2z1 . 5 z 2因?yàn)槭且蚬蛄?，n 0,h(n) 0。h(n)nu(n)(非因果)系統(tǒng)的單位沖1.5 -。手極點(diǎn)分布圖22Jmz習(xí)題2-12圖(3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即I z|,所以單位沖激響應(yīng)為h(n)1,51.52nu(n)14研究一個(gè)滿足下列差分方程的線性移不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)不限定為因果、穩(wěn)定系統(tǒng)。

7、利用 方程的零、極點(diǎn)圖，試求系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的三種可能選擇方案。， 八 5，y(n 1)二 y(n) y(n 1) x(n) 2解 對(duì)差分方程的兩邊作 z變換，得z1Y(z) fY(z) zY(z) X(z) 2所以H(z)5z 1 2zr(z 2)(z 922z z33z 2 z 1 j N - ,點(diǎn)z1 2-e 3,所以 2可求得零點(diǎn)為：z=0極點(diǎn)為：z=2, z=1/2 (1)當(dāng)收斂域?yàn)閨z|>2,則系統(tǒng)是因果但非穩(wěn)定的。其單位樣值響應(yīng)是2h(n) 72n 2 n)u(n)(2)當(dāng)收斂域?yàn)?/2<|z|<2,則系統(tǒng)是非因果但穩(wěn)定的。其單位樣值響應(yīng)是2 nnh(n) -2

8、 u( n 1) 2 u(n)3(3)當(dāng)收斂域?yàn)閨z|<1/2,則系統(tǒng)是非因果的，又是非穩(wěn)定的。其單位樣值響應(yīng)是2 n h(n) - (2n32 n)u( n 1)321016 一個(gè)因果的線性時(shí)不變系統(tǒng),其系統(tǒng)函數(shù)在z平面有一對(duì)共軻極點(diǎn)處有二階零點(diǎn)，且有 H(z)|z14。(1)(2)u(n)時(shí)的響應(yīng)y(n);求H(z)及和h(n);求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，即輸入為(3)求輸入信號(hào)為 x(n) 10 5cosn的響應(yīng)y(n)。 2解(1)根據(jù)題意該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為Kz1 21-e2j3Kz22316所以因?yàn)镠 (z) |zK=3H(z)Kz223163z2""2216設(shè)

9、 F(z) H(z)z3zn2316h(n)cF(z)dz系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0,當(dāng)0時(shí),F(z)在圍線c內(nèi)只有兩個(gè)單階的極h(n) ResF(z)z1 jTe 321ResF(z)1z -e21j-33 2ej332ej3j- (n 1)e 3j-(n 1)e 3j3j sin 3n 1sin (n 1) u(n)3 Zu(n)六,|z| 1Y(z) X(z)H(z)3z2y(n) Y(z)zn 1dz 2 j c當(dāng) n<0 時(shí)，y(n)=0 ,當(dāng)0時(shí)，在圍線c內(nèi)Y(z)z1只有三個(gè)單階的極點(diǎn)Zi,2z3=1所以y(n) Re sY (z) zn1zn 1ResY(z)z 1z e2、ResY(z)zn1z13 -ej12n 2 j31ej32j32e,11 j-4 e 32,3jTj- 3.3 jT 41-e 2j31ej3 21n2 j6sin-(n2)j23cos§ (n 2)n 1cos(一 n 3 H (ej )H (z) lz ej3ej2ej2 cos.3jT23161 cos23) 43ej221. .3cos 一 j sin4163ej21. 2一 sin j2sin cos4412由此可得|H(ej )|21.cos co