傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程可視化初探

1、傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程可視化初探摘要：以一個(gè)特定的時(shí)限雙邊衰減指數(shù)信號(hào)為例，通過(guò)將Matlab程序設(shè)計(jì)應(yīng)用于傅里葉變換頻移性質(zhì)的可視化教學(xué)過(guò)程，探討解決傳統(tǒng)教學(xué)模式存在的問(wèn)題，進(jìn)而提出降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，改善教學(xué)效果的方法。關(guān)鍵詞：傅里葉變換頻移性質(zhì)調(diào)制定理Matlab可視化中圖分類號(hào)：G712文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3791202109a-0193-03自1822年傅里葉變換理論正式公諸于世，距今已近200年，在這期間內(nèi)，傅里葉變換不僅在數(shù)學(xué)中，而且在諸如信號(hào)分析與處理、控制工程、信息與通信工程等眾多領(lǐng)域都有著日益廣泛的應(yīng)用，同時(shí)，根本的傅里葉變換理論本身及其眾多的衍生理論也都

2、得到了長(zhǎng)足開(kāi)展而日趨完善【1】。高等學(xué)校相關(guān)專業(yè)開(kāi)設(shè)的課程中也不乏傅里葉變換理論的內(nèi)容，其或作為課程理論體系的主要構(gòu)成局部，出現(xiàn)在諸如信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理等專業(yè)根底課程中，或作為重要的理論根底、分析工具，出現(xiàn)在其他眾多的專業(yè)課程中，因此，相關(guān)課程中的傅里葉變換理論的教學(xué)就非常重要。現(xiàn)時(shí)情況下，影響傅里葉變換理論教學(xué)過(guò)程順利進(jìn)行并取得良好效果的主要不利因素有二：一方面，傅里葉變換及其衍生理論內(nèi)容豐富繁雜，相對(duì)抽象深?yuàn)W，要求學(xué)習(xí)者能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，并具有較扎實(shí)的物理學(xué)理論根基，學(xué)習(xí)難度較大；另一方面，在傳統(tǒng)的“填鴨式教學(xué)模式下，教師借助于黑板或PowerPoint幻燈片羅列定義、推導(dǎo)公式

3、的單調(diào)枯燥的教學(xué)方法，也會(huì)使學(xué)生興趣索然，失去學(xué)習(xí)熱情。為解決上述問(wèn)題，可借助于Matlab軟件使理論教學(xué)過(guò)程可視化，下文以傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程為例進(jìn)行探討。1傅里葉變換及其頻移性質(zhì)1.1傅里葉變換傅里葉正變換，即如下積分變換關(guān)系：1式1中，ft一般為非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)，稱為ft的頻譜密度函數(shù)，其一般為角頻率的復(fù)函數(shù)。另有稱之為傅里葉反變換的積分變換關(guān)系：2其中，ft稱為的原函數(shù)。由式1和式2組成所謂的傅里葉變換對(duì)，可簡(jiǎn)單的記為【2】。1.2傅里葉變換的數(shù)值近似計(jì)算方法當(dāng)ft為時(shí)限信號(hào)且其時(shí)域波形相對(duì)于t=0時(shí)刻對(duì)稱時(shí)，可用滿足奈奎斯特采樣定理的采樣間隔t對(duì)ft進(jìn)行2N+1點(diǎn)離散化采樣

4、，得到離散時(shí)間序列，相應(yīng)地，亦對(duì)進(jìn)行2M+1點(diǎn)離散化處理，得到離散頻譜序列。那么式1的積分變換關(guān)系可轉(zhuǎn)換為如下形式：3其中，k為的第k個(gè)離散采樣點(diǎn)的角頻率，式3就是對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行數(shù)值近似計(jì)算的理論依據(jù)。只要t取值足夠小，依據(jù)式3進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到的離散頻譜序列Fk就可以用于近似地表示連續(xù)頻譜函數(shù)【3】。1.3傅里葉變換的頻移性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)眾多，和傅里葉變換理論本身一樣，它們都是信號(hào)與系統(tǒng)頻域分析的重要工具，其中的頻移性質(zhì)可表述為：假設(shè)信號(hào)，那么4式4說(shuō)明，假設(shè)時(shí)域中信號(hào)ft分別乘以特定角頻率o的虛指數(shù)信號(hào)、，那么在頻域中，ft對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)將沿頻率軸分別向右、向左整體上搬移

5、o【4】。特別地，由頻移性質(zhì)可衍生得到調(diào)制定理。將相對(duì)低頻的調(diào)制信號(hào)ft乘以高頻載波信號(hào)cosot或sinot，得到高頻調(diào)幅信號(hào)ftcosot。應(yīng)用頻移性質(zhì)，此信號(hào)的幅度調(diào)制過(guò)程可表示為：假設(shè)信號(hào)，那么5式5即為調(diào)制定理，其說(shuō)明，高頻調(diào)幅信號(hào)的頻譜等于將低頻調(diào)制信號(hào)的頻譜一分為二，并各自沿頻率軸分別向左、右搬移載頻o，幅度那么變?yōu)樵瓉?lái)的一半【5】。調(diào)制定理是調(diào)幅無(wú)線電通信的根本理論依據(jù)。2傅里葉變換頻移性質(zhì)的可視化2.1信號(hào)以一個(gè)時(shí)限雙邊指數(shù)衰減信號(hào)為根本信號(hào)，另外兩個(gè)相關(guān)的信號(hào)分別為和。2.2頻移性質(zhì)可視化的實(shí)現(xiàn)頻移性質(zhì)及其調(diào)制定理的可視化，通過(guò)運(yùn)行本文后續(xù)2.3局部的Matlab程序來(lái)實(shí)現(xiàn)

6、。盡管信號(hào)f1t、f2t和f3t及其對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)、和在時(shí)域或頻域均為連續(xù)的，但為了易于代碼的編制，在此Matlab程序中，傅里葉變換均依據(jù)式3采用數(shù)值近似計(jì)算的方法實(shí)現(xiàn)。程序的第一局部首先確定對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行采樣的采樣時(shí)間間隔t，為保證數(shù)值計(jì)算的精度，設(shè)信號(hào)f1t的帶寬為rad/s實(shí)際帶寬遠(yuǎn)低于此值，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣周期T可由下式算出：s6而實(shí)際的采樣時(shí)間間隔的應(yīng)小于或等于T，考慮到信號(hào)f2t、f3t的帶寬為信號(hào)f1t帶寬的2倍，因此，取sN=500，對(duì)信號(hào)f1t、f2t和f3t分別進(jìn)行采樣得到對(duì)應(yīng)的離散序列f1n、f2n和f3n，將各序列依次存入一個(gè)結(jié)構(gòu)為3行1001列的離散時(shí)間信

7、號(hào)矩陣f的第1、2、3行。程序的第二局部，依據(jù)式3進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分別求出頻譜函數(shù)、和對(duì)應(yīng)的離散頻譜序列、和，并將各序列依次存入另一個(gè)結(jié)構(gòu)為3行1001列的離散頻譜矩陣F中。另外，對(duì)矩陣F的每個(gè)元素進(jìn)行求模值計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果存入與矩陣F結(jié)構(gòu)相同的幅度頻譜矩陣absF的對(duì)應(yīng)位置。程序的第三局部，使用上述離散時(shí)間信號(hào)矩陣f和幅度頻譜矩陣absF中的數(shù)據(jù)，近似地繪制各個(gè)時(shí)域信號(hào)波形和幅度頻譜圖形。執(zhí)行程序，根本上可以得到圖1所示的包含6個(gè)子圖的圖形窗口。信號(hào)f1t、f2t和f3t的波形及其相關(guān)幅度頻譜，分別用屬性為紅色實(shí)線、藍(lán)色虛線和黑色點(diǎn)線的曲線繪制。3個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形被依次繪制在子圖ac和e上，

8、借助這些子圖，可直接比較3個(gè)信號(hào)之間的時(shí)域關(guān)系。子圖d用于頻移性質(zhì)的可視化，信號(hào)f1t、f2t的幅度頻譜、的圖形曲線被同時(shí)繪制于其中，源于，相對(duì)于，的圖形曲線右移2=20rad/s。子圖f中同時(shí)繪制了幅度頻譜、和的圖形曲線，借助于此子圖，一方面，源于，調(diào)幅信號(hào)f3t的幅度頻譜實(shí)為調(diào)制信號(hào)f1t的幅度頻譜一分為二，各向左右搬移載頻3=40rad/s，調(diào)制定理得到了直觀的表達(dá)；另一方面，比較3個(gè)幅度頻譜圖形的相對(duì)位置關(guān)系，亦可說(shuō)明調(diào)制定理衍生于頻移性質(zhì)，二者本質(zhì)上相同。2.3主要程序代碼以下代碼，省略了程序中一局部次要的圖形修飾語(yǔ)句、注釋語(yǔ)句等。clearall%一定義采樣周期，離散化各個(gè)時(shí)域信號(hào)

9、delta_t=0.002；t=-1：delta_t：1；%N=500f=zeros3，lengtht；f1，：=exp2*t.*Heavisidet+1-Heavisidet.+exp-2*t.*Heavisidet-Heavisidet-1；f2，：=f1，：.*expj*20*t；f3，：=1/2*f1，：.*exp-j*40*t+expj*40*t；%二用數(shù)值計(jì)算方法近似得到個(gè)時(shí)域信號(hào)的頻譜M=500；k=-M：M；W1=2*pi*30/pi；W=k*W1/M；F=zeros3，lengthk；fori=1：3Fi，：=fi，：*exp-j*t'*W*delta_t；endab

10、sF=absF；%三繪制各個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形及幅度頻譜圖形subplot3，2，1；plott，f1，：，'r'；axis-1，10，1；subplot3，2，2，plotW，absF1，：，'r'；axis-60，60，-0.11；subplot3，2，3；plott，f2，：，'b-'；axis-1，1-1，1；subplot3，2，4；plotW，absF1，：，'r'；holdon；plotW，absF2，：，'b-'；axis-60，60，-0.11；holdon；subplot3，2，5；plott，f3

11、，：，'k：'；axis-1，1-1，1；subplot3，2，6；plotW，absF1，：，'r'；holdon；plotW，absF2，：，'b-'；plotW，absF3，：，'k：'；axis-60，60，-0.11；3結(jié)語(yǔ)上述，初步探討了在傅里葉變換頻移性質(zhì)的教學(xué)過(guò)程中，借助于Matlab程序設(shè)計(jì)使理論可視化的方法。不僅于此，Matlab輔助教學(xué)還有更廣闊的用武之地，可將其應(yīng)用到傅里葉變換的其他性質(zhì)、拉普拉斯變換理論，甚至是應(yīng)用到諸如信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理等眾多課程中大局部知識(shí)點(diǎn)的理論教學(xué)過(guò)程。Matlab擁有功能完善的指令和函數(shù)集，其在數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)分析、圖形繪制等方面的處理能力異常強(qiáng)大。對(duì)于大多數(shù)具體的教學(xué)任務(wù)，應(yīng)用Matlab編制出的輔助教學(xué)程序一般都具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且規(guī)模較小的特點(diǎn)。設(shè)計(jì)比較完善的Matlab程序的運(yùn)行，能夠把抽象的概念形象可視化，將繁瑣的理論直觀簡(jiǎn)單化，以此，可降低學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)課程知識(shí)的難度，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，改進(jìn)教學(xué)效果，保障教學(xué)任務(wù)的圓滿完成。參考文獻(xiàn)【1】曾海東，韓峰