（整理版）函數(shù)的應(yīng)用舉例·例題解析VIP

1、函數(shù)的應(yīng)用舉例·例題解析 1幾何問(wèn)題類(lèi)用函數(shù)思想解決幾何(如平面幾何、立體幾何及解析析幾何)問(wèn)題，這是常常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)本身的綜合運(yùn)用問(wèn)題【例1】 如圖291，一動(dòng)點(diǎn)p自邊長(zhǎng)為1的正方形abcd的頂點(diǎn)a出發(fā)，沿正方形的邊界運(yùn)動(dòng)一周，再回到a點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)p的路程為x，點(diǎn)p到頂點(diǎn)a的距離為y，求a、p兩點(diǎn)間的距離y與點(diǎn)p的路程x之間的函數(shù)關(guān)系式解 (1)當(dāng)點(diǎn)p在ab上，即0x1時(shí)，apx，也就是yx(2)當(dāng)點(diǎn)p在bc邊上，即1x2時(shí)，ab=1，abbpx，bpx1，根據(jù)勾股定理，得ap2ab2bp2(3)當(dāng)點(diǎn)p在dc邊上，即2x3時(shí)，ad1，dp3x根據(jù)勾股定理，得ap2=ad2dp2

2、(4)當(dāng)點(diǎn)p在ad邊上，即3x4時(shí)，有y=ap4x所求的函數(shù)關(guān)系式為2行程問(wèn)題類(lèi)【例2】 ，a、b兩地相距150公里，某人開(kāi)汽車(chē)以60公里/小時(shí)的速度從a地到達(dá)b地，在b地停留一小時(shí)后再以50公里/小時(shí)的速度返回a地，求汽車(chē)離開(kāi)a地的距離x表示為時(shí)間t的函數(shù)解 根據(jù)題意：(1)汽車(chē)由a到b行駛t小時(shí)所走的距離x=60t，(0t2.5)(2)汽車(chē)在b地停留1小時(shí)，那么b地到a地的距離xx3.5)(3)由b地返回a地，那么b地到a地的距離x=15050(t3.5)325x6.5)3工程設(shè)計(jì)問(wèn)題類(lèi)工程設(shè)計(jì)問(wèn)題是指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)工程的定位、大小、采光等情況進(jìn)行合理布局、計(jì)算的一類(lèi)問(wèn)題【例3】 要在墻上

3、開(kāi)一個(gè)上部為半圓，下部為矩形的窗戶(如圖292所示)，在窗框?yàn)槎ㄩL(zhǎng)l的條件下，要使窗戶透光面積最大，窗戶應(yīng)具有怎樣的尺寸？解 設(shè)半圓的直徑為x，矩形的高度為y，窗戶透光面積為s，那么面積最大說(shuō)明 應(yīng)用二次函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是設(shè)好適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)變量，建立目標(biāo)函數(shù)【例4】 要使火車(chē)平安行駛，按規(guī)定，鐵道轉(zhuǎn)彎處的圓弧半徑不允許小于600米，如果某段鐵路兩端相距156米，弧所對(duì)的圓心角小于180°，試確定圓弧弓形的高所允許的取值范圍解 設(shè)園的半徑為r，圓弧弓形高cd=x(m)在rtbod中，db78，od=bx(rx)2782=r2由題意知r600得x21200x60840(x0)，解得x5.

4、1或x1194.9(舍)圓弧弓形高的允許值范圍是(0，5.14營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題類(lèi)這類(lèi)問(wèn)題是指在營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)中，計(jì)算產(chǎn)品本錢(qián)、利潤(rùn)(率)，確定銷(xiāo)售價(jià)格考慮銷(xiāo)售活動(dòng)的盈利、虧本等情況的一類(lèi)問(wèn)題在營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題中，應(yīng)掌握有關(guān)計(jì)算公式：利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)進(jìn)貨價(jià)【例5】 將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品按每件10元售出，每天可銷(xiāo)售200件，假設(shè)每件售價(jià)漲價(jià)元，其銷(xiāo)售量就減少10件問(wèn)應(yīng)將售價(jià)定為多少時(shí)，才能使所賺利潤(rùn)最大，并求出這個(gè)最大利潤(rùn)解 設(shè)每件售價(jià)提高x元，那么每件得利潤(rùn)(2x)元，每天銷(xiāo)售量變?yōu)?20020x)件，所獲利潤(rùn)y=(2x)(20020x)=20(x4)2720當(dāng)x=4時(shí)，即售價(jià)定為14元時(shí)，每天可獲最大利潤(rùn)為720元5單

5、利問(wèn)題類(lèi)單利是指本金到期后的利息不再參加本金計(jì)算設(shè)本金為p元，每期利率為r，經(jīng)過(guò)n期后，按單利計(jì)算的本利和公式為sn=p(1nr)【例6】 某人于1996年6月15日存入銀行1000元整存整取定期一年儲(chǔ)蓄，月息為9，求到期的本利和為多少？解 這里p=1000元，r=9，n12，由公式得s12p(112r)1000×(19×12)=1108元答 本利和為1108元6復(fù)利問(wèn)題類(lèi)復(fù)利是一種計(jì)算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計(jì)算下一期的利息設(shè)本金為p，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，那么復(fù)利函數(shù)式為y=p(1r)x【例7】 某企業(yè)方案發(fā)行企業(yè)債券，每張債

6、券現(xiàn)值500元，按年利率的復(fù)利計(jì)息，問(wèn)多少年后每張債券一次歸還本利和1000元？(參考，0.0274)解 設(shè)n年后每張債券一次歸還本利和1000元，由1000=500(1)n，解得11答 11年后每張債券應(yīng)一次歸還本利和1000元7函數(shù)模型類(lèi)這個(gè)問(wèn)題是指在問(wèn)題中給出函數(shù)關(guān)系式，關(guān)系式中有的帶有需確定的參數(shù)，這些參數(shù)需要根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)容或性質(zhì)來(lái)確定之后，然后使問(wèn)題本身獲解【例8】 某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件、萬(wàn)件、萬(wàn)件為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=abxc(其中a

7、、b、c為常數(shù))，4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬(wàn)件，請(qǐng)問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說(shuō)明理由解 設(shè)二次函數(shù)y1f(x)=px2qxx(p0)y1=f(x)=2f(4)=×16×4又y=abxc【例9】 有甲乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品所能獲得的利潤(rùn)依次投入3萬(wàn)元資金生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品的資金投入分別應(yīng)為多少？最大利潤(rùn)是多少？解 設(shè)投入甲產(chǎn)品資金為x萬(wàn)元，投入乙產(chǎn)品資金為(3x)萬(wàn)元，總利潤(rùn)為y萬(wàn)元答 對(duì)甲、乙產(chǎn)品分別投資為萬(wàn)元和萬(wàn)元，獲最大利潤(rùn)為8增長(zhǎng)率(或降低率)問(wèn)題類(lèi)這類(lèi)問(wèn)題主要是指工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中計(jì)算增長(zhǎng)率、產(chǎn)值等方面的一類(lèi)計(jì)算題【例10】 某

8、工廠1988年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬(wàn)件，方案從1989年開(kāi)始，每年的產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)20，問(wèn)哪一年開(kāi)始，這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過(guò)12萬(wàn)元(lg2，lg30.4771)解 設(shè)過(guò)x年后，產(chǎn)量超過(guò)12萬(wàn)件那么有2(120)x12解得x答 從1998年開(kāi)始年產(chǎn)量可超過(guò)12萬(wàn)件9相關(guān)學(xué)科問(wèn)題類(lèi)這類(lèi)問(wèn)題是指涉及相關(guān)學(xué)科(如物理、化學(xué)等)知識(shí)的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題【例11】 在測(cè)量某物理量的過(guò)程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1，a2，an，共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量的物理量的“最正確近似值a是這樣一個(gè)量：與其它近似值比擬，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，求從a1，a2，an推出的a值解 a應(yīng)滿足：y=(aa1)2(aa2)2(aan)2此式表示以a為自變量的二次函數(shù)，n010決策問(wèn)題類(lèi)決策問(wèn)題，是指根據(jù)已掌握的數(shù)據(jù)及有關(guān)信息，利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)某一事件進(jìn)行分析、計(jì)算，從而作出正確決策的題【例12】 某廠在甲、乙兩地的兩個(gè)分廠各生產(chǎn)某種機(jī)器12臺(tái)和6臺(tái)，現(xiàn)銷(xiāo)售給a地10臺(tái)，b地8臺(tái)，從甲地調(diào)運(yùn)一臺(tái)至a地、b地的運(yùn)費(fèi)分別為400元和800元，從乙地調(diào)運(yùn)一臺(tái)至a地、b地的運(yùn)費(fèi)分別為300元和500元(1)設(shè)從乙要調(diào)x臺(tái)至a地，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x軸的函數(shù)關(guān)系式(2)假設(shè)總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)9000元，問(wèn)共有幾種調(diào)運(yùn)方案？(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案及最低的運(yùn)費(fèi)解 (1)y=300x50