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1、從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系早在17世紀(jì)初,在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀的新思想的影響下,法國(guó)天文學(xué)家開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點(diǎn)和離心率,并指明拋物線還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn),直線是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓從而他第一個(gè)掌握了這樣的事實(shí):橢圓、拋物線、雙曲線、圓,都可以從其中的一個(gè)連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€(gè),從而辯證地看到了各類圓錐曲線間的關(guān)系下面我們從離心率對(duì)圓錐曲線的形狀的影響入手,來(lái)研究圓錐曲線間的關(guān)系,為了討論這個(gè)問(wèn)題,我們首先在同一直角坐標(biāo)系中把橢圓、拋物線、雙曲線這三種曲線的方程統(tǒng)一起來(lái)1橢圓、拋物線、雙曲線的統(tǒng)一方程將橢圓 按向量 平移得到 ,

2、即 作橢圓的半通徑即過(guò)橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的半弦 ,用 表示 ,易證 ,同時(shí)易知 故橢圓的方程可寫成 類似地,將雙曲線 按向量 平移得到 ,即 作雙曲線的半通徑即過(guò)雙曲線焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的半弦 ,用 表示 ,易證 ,同時(shí)易知 故雙曲線方程可寫成 對(duì)于拋物線 , 為半通徑長(zhǎng),離心率 ,它也可寫成 ,于是在同一坐標(biāo)系下,三種曲線有統(tǒng)一方程 ,其中 是曲線的半通徑長(zhǎng),當(dāng) , , 時(shí)分別表示橢圓、拋物線、雙曲線2從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系設(shè)橢圓、雙曲線、拋物線有相同的半通徑,即統(tǒng)一方程中的 不變,令離心率 變化,在這種情況下,我們討論曲線變化趨勢(shì)在同一坐標(biāo)系下,作出這三種曲線如下圖,設(shè) , , 分別是

3、拋物線焦點(diǎn)、橢圓的左焦點(diǎn)和雙曲線的右焦點(diǎn),那么有 , , ,所以 這說(shuō)明 點(diǎn)在 點(diǎn)右側(cè),而 點(diǎn)在 點(diǎn)左側(cè)由此,我們來(lái)看三種曲線的位置關(guān)系由曲線的對(duì)稱性,只考慮第一象限內(nèi)的情況,從統(tǒng)一方程不難看出,當(dāng)任意取定 時(shí),設(shè)橢圓、拋物線和雙曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 , , ,有 這說(shuō)明,雙曲線在拋物線上側(cè),而橢圓在拋物線下側(cè)下面我們進(jìn)一步討論圓錐曲線間的關(guān)系1當(dāng)離心率 由小于1無(wú)限趨近于1時(shí), 符號(hào)“表示無(wú)限趨近于即 這說(shuō)明橢圓的左焦點(diǎn)無(wú)限趨近于拋物線的焦點(diǎn),且橢圓在第一象限內(nèi)向上移動(dòng)無(wú)限接近拋物線又因?yàn)?,所以 由于 由小于1無(wú)限趨近于1,所以 這說(shuō)明橢圓右焦點(diǎn)沿 軸正向趨于無(wú)限遠(yuǎn)因此可以看出,在橢圓的情況下,當(dāng) 時(shí),橢圓的極限情況就是拋物線2當(dāng)離心率 由大于1無(wú)限趨近于1時(shí), ,即 這說(shuō)明雙曲線右焦點(diǎn)無(wú)限接近于拋物線的焦點(diǎn),且雙曲線右支在第一象限內(nèi)向下移動(dòng)無(wú)限接近拋物線又因?yàn)?,所以 由于 由大于1無(wú)限趨近于1,所以 這說(shuō)明雙曲線左焦點(diǎn)沿 軸負(fù)方向趨于無(wú)限遠(yuǎn)因此可以看出,在雙曲線的情況下,當(dāng) 時(shí),雙曲線的極限情況就是拋物線3在橢圓情況下,當(dāng) 時(shí)有 , , ,

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