第2章張量(6.8)

1、第2章 張量分析第2章 張量分析§2.1矢量空間、基、基矢1線性矢量空間設(shè)有個(gè)矢量，它們構(gòu)成一個(gè)集合，其中每個(gè)矢量稱為的一個(gè)元素。如唯一地確定的另一個(gè)元素，及（為標(biāo)量）也給定內(nèi)唯一確定的元素，則稱為線性（矢量）空間。中的零元素記為，且具有.2空間的維數(shù)設(shè)為個(gè)標(biāo)量，若能選取，使得且不合為零，則稱此個(gè)矢量線性相關(guān)，否則，稱為線性無(wú)關(guān)。 例1 位于同一平面內(nèi)的兩個(gè)矢量和（如圖）是線性無(wú)關(guān)的，即若和為任意值，且不全為零。例2 位于同一平面內(nèi)的三個(gè)矢量，是線性相關(guān)的，則恒可找到,（不全為零）使如圖： 集合內(nèi)線性無(wú)關(guān)元素的最大個(gè)數(shù)稱為集合或空間的維數(shù)。設(shè)的維數(shù)為，則記為，歐氏空間為。3空間的基和

2、基元素中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)元素的全體稱為的一個(gè)基。基的每個(gè)元素稱為基元素，由于的確良基元素是線性無(wú)關(guān)的。于是內(nèi)任一個(gè)元素可表示成基元素的線性組合。設(shè)為的任選的基，則有：，為任意的不全為零的標(biāo)量但總可選取及不全等于零，使得或者不全等于零，所以不全等于零，且為有限值。 內(nèi)有無(wú)限個(gè)基，但只有一個(gè)基是獨(dú)立的，因?yàn)閮?nèi)至少只有個(gè)元素是線性無(wú)關(guān)的。設(shè)及是的兩個(gè)基，則中的每個(gè)基元素都可用的線性組合來(lái)表示；反之亦然，因此，中的任兩個(gè)基元之間存在唯一的變換關(guān)系。對(duì)于同一個(gè)元素，采用不同的基時(shí)，其系數(shù)不同甘共苦。因?yàn)榕c間有確定的變換關(guān)系，因此，與間亦有確定的變換關(guān)系。空間的基往往與坐標(biāo)系相關(guān)連，每一種坐標(biāo)系有一個(gè)與之對(duì)

3、應(yīng)的確定的基，其中則是矢量在基或坐標(biāo)方向的分量值?？臻g的元素如為矢平日里，則基元素稱為基矢。如前所述，不同坐標(biāo)系的基矢之間存在確定的變換關(guān)系，它是坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)。正交基：基內(nèi)各基矢相互正交的基，稱為正交基。標(biāo)準(zhǔn)正交基：基矢為單位矢量的正交基，稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。現(xiàn)以歐氏空間為例，這是三維空間。在歐氏空間內(nèi)，笛卡兒坐標(biāo)系為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作，在此坐標(biāo)系內(nèi)，任一矢量（位矢）為是不因坐標(biāo)位置而改變的 當(dāng)只一個(gè)坐標(biāo)有變化時(shí)，例如有變化此時(shí)，因此，為單位矢量。都等于1，且彼此正交，故笛卡兒坐標(biāo)系的基為標(biāo)準(zhǔn)正交基。正交曲線坐標(biāo)系的基亦為正交基，記作，用表示坐標(biāo)值，則基矢定義之隨坐標(biāo)位置而變化，因此是正交基，但不

4、是標(biāo)準(zhǔn)正交基。例如：在極坐標(biāo)系內(nèi) 其中，因此，令（拉梅系數(shù)）及則為正交曲線坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。因此，顯然有§2.2 字母指標(biāo)法1字母標(biāo)號(hào)法：（標(biāo)號(hào)：index or suffix）點(diǎn)位置：（矢徑）矢量：（位移） （速度） 應(yīng)力（張量）：應(yīng)變（張量）：微分符號(hào)：約定：英文字母下標(biāo)表示三維指標(biāo)，取值1，2，32求和約定：矢量點(diǎn)積：兩矢量分別記為啞標(biāo)：在表達(dá)式式中等項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)指標(biāo)在取值范圍內(nèi)遍歷求和，該重復(fù)指標(biāo)稱為“啞標(biāo)”或“偽標(biāo)”啞標(biāo)的符號(hào)可以任意改變（僅表示求和）線性變換：上式中，為啞標(biāo)表示求和，而在每項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱為自由指標(biāo)。自由指標(biāo)表示，若輪流取

5、該指標(biāo)取值范圍內(nèi)的任一值，關(guān)系式恒成立。自由指標(biāo)僅表示為輪流換值，因此也可以換標(biāo)，如，上式可寫為 （同時(shí)換標(biāo)）注意：自由指標(biāo)必須整個(gè)表達(dá)式換名同項(xiàng)中出現(xiàn)兩對(duì)（或多對(duì)）不同啞標(biāo)表示多重求和。如：?jiǎn)?biāo)只能成對(duì)出現(xiàn)。否則要如求和號(hào)或特別指出（就書中標(biāo)下加“-”）由 不能得出 若重復(fù)出現(xiàn)的標(biāo)號(hào)不求和，應(yīng)特別聲明§2.3 符號(hào)和1符號(hào)（kronecher delta）定義為性質(zhì)：對(duì)稱性 應(yīng)用：2排列符號(hào)（置換符號(hào)）（Permutation Symbol）123循環(huán)方向定義： 性質(zhì)：下標(biāo)改變奇次位置時(shí)改變正、負(fù)號(hào)，下標(biāo)改變偶數(shù)次位置時(shí)不改變符號(hào)。應(yīng)用：3之關(guān)系（恒等式） 矢量恒等式設(shè) 而 又 根

6、據(jù)矢量恒等式，有：（矢量恒等則矢量的各分量應(yīng)相等）由于對(duì)任意的上式均成立，則：進(jìn)一步，有：§2.4 坐標(biāo)變換：老坐標(biāo)系：新坐標(biāo)系（坐標(biāo)軸夾角的方向余弦：構(gòu)成一個(gè)二階張量 （與一般不同，它是兩個(gè)坐標(biāo)系的基矢構(gòu)成的）稱為轉(zhuǎn)移張量（shifter）（總是新坐標(biāo)在前，老坐標(biāo)在后）性質(zhì)： 不是對(duì)稱張量 而 是正交張量 （*）又新老坐標(biāo)系基矢量的關(guān)系式：上面第一式兩邊乘以 則 上面第二式兩邊乘以 則 則：代入（*）式，有 證畢張量的應(yīng)用：i）矢量的坐標(biāo)變換：又 則： 或 矢量形式為：ii）二階張量的坐標(biāo)變換：與上同樣：張量寫法為：§2.5 張量的代數(shù)運(yùn)算1張量的坐標(biāo)系不變性及其記法客觀

7、量都是與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)（坐標(biāo)系只是人為的選擇工具），如長(zhǎng)度是不變的，但測(cè)量長(zhǎng)度可用不同的工具），（若張量與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，則張量反映了一個(gè)客觀量）。矢量（小寫字母） 笛卡兒坐標(biāo)系基矢（為標(biāo)準(zhǔn)化的正交曲線坐標(biāo)基矢）則 與與有一定的變換關(guān)系（即坐標(biāo)變換公式），通過(guò)基矢的變換來(lái)導(dǎo)出它們之間的變換關(guān)系。稱為一階基（由三個(gè)矢量構(gòu)成的基）矢量可用一個(gè)方向來(lái)確定，在方向，應(yīng)力矢為在方向，應(yīng)力矢為但有些量不利用一個(gè)方向來(lái)確定，如應(yīng)力：它與兩個(gè)方向有關(guān)，常用的單元體也如此（和作用面的法矢）。這樣引入二階基：從數(shù)字上說(shuō)，可引入 階基，個(gè)基矢與階基相關(guān)連的量稱為階張量：標(biāo)量 ：矢量 ：二階張量（簡(jiǎn)稱張量）張量的記法：直

8、接記法（抽象記法）分量記法矩陣記法（0階、一階、二階張量）標(biāo)量/矢量二階張量T,直接記法與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)，只用于描繪公式、不能進(jìn)行計(jì)算。分量中標(biāo)量稱為偽標(biāo)量，與坐標(biāo)選擇有關(guān)，這里能以分量記法變直接記法，反之亦然。2張量的外乘（并乘），外積（并積），用記號(hào) 不適于交換率，與秩序有關(guān)。個(gè)張量外乘，結(jié)果仍為張量，新張量的階數(shù)為個(gè)張量階數(shù)之和分量的組合有9個(gè)，該9個(gè)為二階張量的分量。3張量的內(nèi)乘（點(diǎn)乘）內(nèi)積（點(diǎn)積），用記號(hào)“ ”）張量的內(nèi)乘法結(jié)果仍為張量，其階數(shù)為二個(gè)張量的階數(shù)之和再減去點(diǎn)乘的次數(shù)乘2。4張量的縮并 （不能變換順序）張量的縮并仍為張量，其階數(shù)等于原張量的階數(shù)減去縮并數(shù)慣用的縮并：表示縮

9、并，表示縮并次數(shù)，慣用為最靠近的縮并。要求： （稱為雙點(diǎn)乘，設(shè)為二階張量）5若干結(jié)論商法則 張量識(shí)別定理設(shè)已知和為張量，且滿足：則亦為張量，且為階，（的階數(shù)減去的階數(shù)） 特別是，當(dāng) 即的指標(biāo)與的指標(biāo)全部依次相同，則的階數(shù)為的階數(shù)加上的階數(shù)。如右圖：（是一階張量（點(diǎn)的位置矢）根據(jù)上面分析，知為二階張量分量（單位張量）記為。的矩陣記法為單位矩陣 則為三階張量，記為“” 二階張量可視為一個(gè)變換，把一個(gè)矢量變換為另一個(gè)矢量。與的大小不同、方向不同（一般下）一階、二階張量的運(yùn)算，可用矩陣的運(yùn)算方法（下面均指二階張量）求跡（trace） （矩陣）則定義： 類似 特別地a) b) 則 c) 則 且 進(jìn)一步：

10、§2.6 特殊張量 張量函數(shù)（二階張量）1對(duì)稱和反對(duì)稱張量 （與矩陣的對(duì)稱和反對(duì)稱定義同）定義：設(shè)為對(duì)稱張量，若有，則稱為對(duì)稱張量設(shè)為反對(duì)稱張量，若有；，則稱為反對(duì)稱張量特性： 證：又 總為標(biāo)量，則 一般張量 設(shè)為反對(duì)稱張量，則可找一個(gè)矢量，使 （為量換張量） （*）則：任意矢量與置換張量的點(diǎn)乘積為一個(gè)反對(duì)稱張量求解張量方程（*），即 ，求出將（*）式兩邊的點(diǎn)乘，有 則 稱與互為對(duì)偶。設(shè)和均為反對(duì)稱張量，和分別為它們的對(duì)偶矢量，則以上為矢量恒等式。證明：定理：反對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量點(diǎn)積是一個(gè)張量，但不一定為反對(duì)稱張量。證：則 2偏（斜）張量和球張量定義：設(shè)為張量，若，則稱為偏斜張量設(shè)

11、為張量，若，則稱為球張量特性：證：任何張量，都可分解為偏斜張量和球張量之和彈性力學(xué)中：。3正交張量（代數(shù)中正交矩陣 ）定義：設(shè)有張量與任意矢量，作一個(gè)變換。如果 （即）則稱為正交張量（的變換稱為正交變換或剛體變換）。特性：又由于為任意的，則 則 對(duì)于基矢量的變換 若為正常正交張量，則與之間轉(zhuǎn)換（仍為右手坐標(biāo)系）若為非常正交張量，則與之間鏡射，將右手系變?yōu)樽笫窒担?則 保角變換（既是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)是保角的）（該等式成立，保證角度不變，兩矢量的夾角不變）證明： （）4相似張量定義：設(shè)有二個(gè)張量，和矢量，則有 （*）如果，為任意，又則稱與為相似張量。特性：同之間的關(guān)系：則 又由于為任意的，則有 又 （

12、上式兩邊右乘）設(shè) 又設(shè) （）又 則 （與（）式比較）相似張量之一存在新基上的分量等于各一相似張量在原基上的分量。矢量正交變換 張量正交變換 證：又 證明：上兩個(gè)特性證明了不變量與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)一次： 二次：， 三次證：特別地： 即：定義：的范數(shù) 記為則 兩相似張量的范數(shù)相等。5張量函數(shù)以張量為變量的函數(shù)稱為張量函數(shù)如： 功為張量函數(shù) 或 本構(gòu)關(guān)系也是張量函數(shù) 應(yīng)變能為張量函數(shù)（1）標(biāo)量值的張量函數(shù)a）表達(dá)法 ，設(shè)為二階張量例：，此處為給定的二階張量（相當(dāng)于函數(shù)的系數(shù)）b） 線性函數(shù)：c） 求導(dǎo)：根據(jù)縮并定理， 則 為張量分量。定義：，的階數(shù)等于變量的階數(shù)（2）張量值張量函數(shù)：a）定義：為具體化，稱和為二階張量。例：，為給定的四階張量（相當(dāng)于函數(shù)系數(shù)）b） 線性函數(shù)：。c） 求導(dǎo)：同樣根據(jù)縮并定理 為四階張量分量。定義：為一個(gè)四階張量。導(dǎo)數(shù)的階數(shù)=函數(shù)的階數(shù)+變量的階數(shù)。例：彈性張量（四階）6各向同性張量函數(shù)對(duì)于，其中為任意階張量，設(shè)為和的