函數(shù)綜合性問題

1、函數(shù)綜合性問題1.設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的x R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當x (-1,0時，f(x)=()x-1.若在區(qū)間（1，3內關于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是（C ）A（1，3） B.（2，4） C.（3，5 D.4,6）O11xy123解析：由f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對于任意的x R,有f(x+2)=f(x)-f(1),令x=-1可得f(1)=0,則有f(x+2)=f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為2. 又當x (-1,0時，f(x)=()x-1.結合周期性和奇偶性可作函數(shù)f(x) 在

2、區(qū)間（1，3內的大致圖像如圖：于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3個不同的實數(shù)解等價于函數(shù)f(x) 在區(qū)間（1，3內的圖像和函數(shù)g(x)= loga(x+2)的圖像恰有3個不同的交點。故推出3a 5,故選C。2.已知函數(shù)f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(x)0,f (x)g(x)>f(x)g(x),且f(x)=ax·g(x)( a>0且a 1),+ =,若數(shù)列的前n項和大于62，則n的最小值為（ A ）A6 B.7 C.8 D.9解析：令h(x)= ,則h(x)= ,由已知可得h(x)>0,所以h(x)在定義域上為增函數(shù)，即y=ax在R上為增函

3、數(shù)。所以a>1.由+ =得：a+=,解得a=2.所以an=2n, 的前n項和Sn=2n+1-2>62,解得n>5,故n的最小值為6.故選A。本題結合題中條件構造函數(shù)是關鍵。變式1.設函數(shù)f(x)是定義在（ ,0）上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f(x),且有xf(x)>x2+3f(x),則不等式8f(x+2014)+(x+2014)3f(-2)>0的解集為（ A ）A（-,-2016） B.(-2018,-2016) C.(-2018,0) D.(-,-2018)解析：由8f(x+2014)+(x+2014)3f(-2)>0得：(x+2014)3f(-2)>(

4、-2)3f(x+2014),不妨令x+2014<0,可得：>,從而構造函數(shù)g(x)= (x<0),其導函數(shù)為g(x)= ,由已知xf(x)>x2+3f(x),得x3f (x)-3x2f(x)>x4>0, g(x)>0在（,0）上恒成立， g(x)在(-,0)上為增函數(shù)，故原不等式等價于g(-2)>g(x+2014),解得-2>x+2014,即：x<-2016選A.小結：這兩道題都是結合函數(shù)及其導數(shù)滿足的相應關系，結合求導法則構造相應的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性解決方程或不等式的方法。具體構造什么樣的函數(shù)視所考慮的問題而定，如變式1中，結

5、合目標不等式，通過對不等式作等價變形，去發(fā)現(xiàn)不等式左右兩邊的共同特征，從而抽象出題中所需要的函數(shù)。然后結合題中所給的導數(shù)關系去考慮新函數(shù)的單調性。達到求解的目的。3.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,則曲線y=f(x)上的點到直線y=2x-5的距離的最小值是 。解析：本題考查利用方程思想求函數(shù)解析式的方法，以及函數(shù)或數(shù)形結合思想求最值。由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,聯(lián)立方程解得f(x)=x2.所以f(x)=2x,向曲線y=f(x)方向平移直線y=2x-5,當直線與曲線相切時，切點為到直線y

6、=2x-5最近的點。所以y=f(x)在切點處的切線斜率k=y=2,故切點為（1，1），所以曲線上的點到直線的最小距離d=。 4.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)+1,且當x 0,1時，f(x)=4x,當x (1,2)時，f(x)= .令g(x)=2f(x)-x-4，x -6,-2，由函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為（ B）A9 B.8 C.7 D.6O11xy123242345621解析：由題意知當x 0,1時，f(x)=4x,當x (1,2)時，f(x)= 且f(x+2)=f(x)+1，即自變量x每增加2個單位，函數(shù)圖像向上平移1個單位，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示：令g(x

7、)=0,得f(x)= +2,令y1=f(x),y2=+2,則g(x)的零點個數(shù)即兩函數(shù)圖像交點的個數(shù)。由圖知選B. 5.已知函數(shù)f(x)= 若方程af2(x)+bf(x)+c=0有8個不同的實根，則此8個實根之和是（ D ）A B.4 C. D.2O0.25xy0.5解析：設f(x)=t,則方程af2(x)+bf(x)+c=0即為at2+bt+c=0,作出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，由圖像可知，當t>0時，方程f(x)=t有4個根，且兩兩關于直線x= 對稱，則這四個根的和為1，若方程af2(x)+bf(x)+c=0有8個不同實根，則關于t的方程at2+bt+c=0有2個不同的正數(shù)根，則這8

8、個根的和是2.故選D。xy2O1223456.已知定義域為R的函數(shù)滿足以下條件：xR,f(-x2+6x-8)=g(x); g(x)=g(x+2);當x 2,3時，g(x)=-2x2+12x-18.若方程g(x)=loga(|x|+1)在區(qū)間（0，+ ）內至少有4個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍為（ D ）A（0，） B.(0, C. ,+ ) D.(0, 解析：由xR,f(-x2+6x-8)=g(x)得f-(x-3)2+1=g(x)，令t=x-3得：f(-t2+1)=g(t+3)對 t R恒成立，所以g(-t+3)=g(t+3),所以g(x)的圖像關于直線x=3對稱。由g(x)=g(x+2)知g

9、(x)是周期為2的周期函數(shù)，結合當x 2,3時，g(x)=-2x2+12x-18，可畫出函數(shù)y=g(x)的圖像如下：依題意在區(qū)間（0，+ ）內函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y= loga(|x|+1)的圖像至少有4個不同的交點，故loga(|4|+1) -2且0<a<1,解得0<a<,故選D.7.已知函數(shù)f(x)=|xex|(e是自然對數(shù)的底數(shù))，方程f2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四個實根，則t的取值范圍為（ B ）A（,+） B.(-,- ) C.(- ,-2) D.(2, )O11xy2212345621解析：f(x)= |xex|=,當x 0時，f (x)=ex+xex>0恒成立，所以f(x)在0，+)上為增函數(shù)。當x<0時，f (x)=-ex(x+1),由f (x)=0得x=-1,當x (- ,-1)時，f(x)>0,f(x)為增函數(shù)，當x (-1,0)時，f (x)<0,f(x)為減函數(shù)，又f(-1)=,f(0)=0,可作函數(shù)y=f(x)的圖像如圖：令f(x)=m,則原方程可化為m2+tm+1=0,要原方程有四個實數(shù)根，等價于方程m2+tm+1=0有兩個不等實根，且一根在（0，）內，一根在（，+ ）內。