mems宏模型綜述

1、第二章 系統(tǒng)級模擬的MEMS器件宏模型第二章 系統(tǒng)級模擬的MEMS器件宏模型 如前所述，微機電系統(tǒng)(MEMS)通常是將信息獲取、信息處理及執(zhí)行機構等若干子系統(tǒng)集成在一起的系統(tǒng)。集成的結果大大提高了系統(tǒng)的性能、效率和可靠性。但系統(tǒng)復雜程度的提高給系統(tǒng)級模擬帶來了很大的困難，為使如此復雜的系統(tǒng)能在較短時間內(nèi)設計出來并實現(xiàn)優(yōu)化，不能再使用適宜于單個器件的那種有限元法，因為有限元法計算量大，計算所需時間太長，而必須要使用高性能的系統(tǒng)模擬方法，以使設計者在幾個小時內(nèi)就能完成“Whatif”實驗，從而縮短設計周期、降低設計成本1, 2?，F(xiàn)階段的MEMS器件系統(tǒng)級模擬基本上都是采用已有的、成熟的電路分析軟件

2、如Spice、Saber、Simulink等進行的，但利用這些現(xiàn)有工具進行系統(tǒng)級模擬的前提是要有MEMS器件的宏模型。所謂宏模型，就是避開了器件的具體結構，只描述了其外部特性，也就是激勵與響應之間的關系的模型。宏模型既要能進行快速、精確的模擬，又要能同這些現(xiàn)有的軟件實現(xiàn)無縫連接。從形式上看，宏模型通常有等效電路模型和硬件描述語言模型兩種形式。2.1 有限元分析MEMS器件通常涉及多個能量領域，如電能、機械能、熱能、磁能等，每個能量域都有各自不同的物理規(guī)律，這些物理規(guī)律通常由一定的解析式（往往是偏微分方程）來表示。一般說來，在這些不同的能量域里，都已經(jīng)有現(xiàn)成的求解器，為了求解MEMS器件在某種激

3、勵下的響應，只要利用這些求解器進行反復迭代就行。對涉及個能量領域的MEMS器件的準靜態(tài)耦合模擬需要求解下列方程組： （2.1）這是第個能量領域滿足的方程，其中表示網(wǎng)格化后第個能量領域所要求解的未知向量。雖然就每一個能量領域而言，通常都存在現(xiàn)成的求解的工具軟件。但單一領域的求解工具無法求出同時滿足上述個方程的所有（）。有好幾種方法可以解上述方程組，如松弛法和牛頓法3,4, 5, 6。松弛法的步驟如圖2.1，先給出一組解向量的初值，然后依次調(diào)用每個能量領域的求解工具，并將結果傳給下一個能量領域的求解工具，得到解向量的一組新值，判斷其收斂性后，決定是否終止迭代。松弛法直接運用各個能量域已有的求解工具

4、，所以，易于實現(xiàn)，在現(xiàn)有的軟件，如Ansys、Coventorware等中都是使用的松弛法。松弛法雖然很簡單，但是收斂速度較慢，甚至發(fā)散，當能量領域間的耦合較緊密時，這一問題更為嚴重。 圖2.1 松弛法 圖2.2 牛頓法牛頓法的步驟如圖2.2，它具有較好的收斂性和收斂速度，缺點是雅可比矩陣的計算較麻煩。為了進一步改善牛頓法的收斂性和收斂速度，有的學者還提出了多級牛頓法。有限元法進行系統(tǒng)動態(tài)分析通常是由系統(tǒng)的初始條件出發(fā)，再用松弛法或牛頓法逐步算出以后各時間點的響應。 為了獲得足夠的模擬精度，網(wǎng)格的劃分必須具有足夠的密度，這必然導致計算量的急劇加大，計算時間的延長，通常單個器件的靜態(tài)分析就需幾個

5、幾十個小時才能完成4，所以，有限元法已不適用于靜態(tài)系統(tǒng)級分析，更不要說動態(tài)的系統(tǒng)級分析了。2.2 等效電路宏模型MEMS器件種類繁多、結構千變?nèi)f化、工作原理各不相同，工作過程中通常涉及包括電能在內(nèi)的多個能量領域。在建立等效電路宏模型時，總是將非電的能量領域以及非電能與電能的耦合用電路來類比。用機電類比的方法來研究機械系統(tǒng)是很早就被采用的方法7，但用機電類比的方法來研究MEMS器件的行為卻要晚得多，1996年Tilmans比較系統(tǒng)的報告了使用機電類比的方法來研究MEMS器件8, 9，后來芬蘭的Helsinki大學在這方面也做了大量的工作10。下面通過兩個例子分別說明單自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)的等

6、效電路宏模型的建立方法。2.2.1 非電能子系統(tǒng)與電能子系統(tǒng)的類比非電能子系統(tǒng)與電能子系統(tǒng)的類比就是通過分析決定非電能子系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學方程，找出它們與決定電能子系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學方程在形式上的相似性，再根據(jù)這種相似性把非電能子系統(tǒng)類比成電能子系統(tǒng)。圖2.3（a）是一個單自由度靜電傳感器，它包含一個兩端固定的梁，在梁的中間帶有一個剛性的物體，此物體的下表面被制成電極以充當可變電容器的一個極板，它附近的另一個固定面形成可變電容的另一個極板。梁中間的物體可以等效為被兩個屈強系數(shù)為的彈簧支撐，則總的屈強系數(shù)為，為需要測量的外加的純機械力，是由兩極板的靜電吸引引起的總電場力，是阻尼系數(shù)，即物體以單位速度運動

7、時受到的阻尼力。這種傳感器在使用時，總是加上直流偏壓，由引起的可動極板位移為，對應的電容值為，電容上的電量為，是可動極板的總位移，是其交流分量。物體的運動規(guī)律由一個未知量就能確定，所以這是一個單自由度系統(tǒng)。如果外力為交流小信號，那么, 此傳感器可作為線性系統(tǒng)來處理。圖2.3(a)所示傳感器的交流小信號模型如圖2.3(b)，其中為電場力的交流分量，為電壓的交流分量。圖2.3（a） 單自由度靜電傳感器原理圖圖2.3（b）單自由度靜電傳感器交流小信號模型物體的運動服從牛頓第二定律，其運動方程為： （2.2）如果外力為正弦信號： 那么（2.2）式可化為 （2.3）其中、分別為速度、電場力、機械力的相量

8、11。如果把（2.3）式中的速度相量類比成電流，力相量、類比成電壓，、類比成阻抗，則由電感、電阻、電容及電壓源、串聯(lián)而成的電路（圖2.5的右邊部分）同樣服從（2.3）式，所以圖2.3(b)中的機械部分可以類比成圖2.5右邊部分的電路，（2.3）式所表示的就是電路理論中的基爾霍夫電壓定律。這種把力類比成電壓的方法稱為（力電壓）類比。在類比中，質(zhì)量等效于一個電感量為的電感，阻尼系數(shù)等效于一個阻值為的電阻，彈簧等效于一個容量為的電容，牛頓第二定律等價于，且原來的并聯(lián)連接形式在對應的等效電路中變成了串聯(lián)連接形式。如果把上式中的速度相量類比成電壓，力相量、類比成電流，、類比成導納，也可以得到對應的等效電

9、路，這種把力類比成電流的方法稱為（力電流）類比，在類比中，牛頓第二定律等價于基爾霍夫電流定律，且原來的并聯(lián)連接形式在對應的等效電路中仍為并聯(lián)連接形式8，關于（力電流）類比的等效電路，我們將在第五章中詳細說明。2.2.2 單自由度系統(tǒng)的等效電路宏模型上述傳感器中由極板構成的可變電容器實際上起著電能和機械能之間的耦合作用，即電容器相當于一個連接于機械能子系統(tǒng)和電能子系統(tǒng)之間的二端口，見圖2.4。這種耦合作用可用能量法進行分析，找出決定這種耦合規(guī)律的數(shù)學方程，再找出它們與純電學二端口的數(shù)學方程在形式上的相似性，根據(jù)這種相似性就可以把它類比成純電學二端口。圖2.4 機電耦合功能示意圖圖2.4中，為物體

10、的總位移（下標中的表示total）；為總的電壓；為總的電場力；為電容上的總電量，是電量的交流分量；為、時電容兩極板間的距離；為電容兩極板的面積。用能量法8可以推出： （2.4） （2.5）（2.4）、（2.5）兩式對應的相量形式為： （2.6） （2.7）從(2.6)、(2.7)兩式可得: （2.8） 其中，根據(jù)電路理論中有關二端口的知識可知，圖2.5 中間的二端口也服從（2.8）式，所以電能和機械能之間的耦合作用可以用圖2.5 中間的二端口來等效，則圖2.5就是圖2.3(a)所示靜電傳感器的交流小信號宏模型。圖2.5 單自由度靜電傳感器的交流小信號宏模型2.2.3 多自由度系統(tǒng)的等效電路宏模

11、型上面所討論的傳感器的可動極板由于是剛性的，所以是單自由度系統(tǒng)。如果傳感器的可動極板是彈性連續(xù)體，那么，它就具有無限多個自由度，其等效電路宏模型要比單自由度系統(tǒng)復雜得多。圖2.6(a)所示的傳感器，其可動極板是一個等截面的兩端固定的彈性梁。Tilmans運用模態(tài)分析技術及能量分析法9, 12, 13，得到了如圖2.6(b)所示的等效電路，其中為對應于第階模態(tài)的廣義力，為對應于第階模態(tài)的廣義坐標，為對應于第階模態(tài)的廣義速度，為第階模態(tài)函數(shù)在的值，為梁的總質(zhì)量，為阻尼系數(shù)，即單位長度的梁以單位速度運動時所受到的阻尼力（注意與2.2.1節(jié)中的定義不同），為梁的長度，為梁的總撓度的動態(tài)分量，是梁每單位

12、長度受到的總的電場力。通常只要取四到五階模態(tài)就可以滿足精度的要求。 圖2.6(a) 多自由度靜電傳感器原理圖 圖2.6(b) 多自由度靜電傳感器的交流小信號宏模型 把圖2.5及圖2.6（b）用有關的硬件描述語言寫一下，就可以得到圖2.3（a）及圖2.6（a）所示傳感器的硬件描述語言形式的宏模型。有了小信號交流等效電路宏模型，就可以利用電路模擬工具（如Spice ，Saber等）來分析傳感器的性能，進行優(yōu)化設計14。如果系統(tǒng)中還有其它電路（如信號處理部分），也可用電路模擬工具分析整個系統(tǒng)的性能，實現(xiàn)系統(tǒng)級模擬。等效電路宏模型的物理意義非常清楚，從等效電路宏模型還可以清楚地看出不同能量領域之間的耦

13、合情況，但上述等效電路宏模型也有一些缺點，電路元件的選擇受Spice、Saber器件庫的限制15，當傳感器的結構和耦合較復雜時，等效電路宏模型的建立往往十分困難。 2.3 硬件描述語言形式的宏模型等效電路宏模型的主要缺點可以用硬件描述語言形式的宏模型來避免，HDLATM、Verilog-A及Mast等硬件描述語言均可用來描述器件的行為16, 17, 18，這種形式的宏模型也可以與Saber等無縫連接實現(xiàn)系統(tǒng)級模擬。它的優(yōu)點是可以進行大信號分析以及對復雜結構器件的分析。對器件行為的確定，現(xiàn)在最常用的有三種方法：1解析法，當器件的幾何結構比較簡單、耦合的能量領域較少時，子系統(tǒng)間的耦合常常由常微分方

14、程或代數(shù)方程決定，這時就可以用硬件描述語言來描述此常微分方程或代數(shù)方程，這就是解析法；2有限元法或?qū)嶒灧ǎ瑢Y構或耦合較復雜的器件，可以用有限元法或?qū)嶒炇覝y量的方法得到表征其特性的數(shù)據(jù)，再用硬件描述語言來描述這些數(shù)據(jù)，就可以得到此器件的宏模型。如果能把有限元法或?qū)嶒炇覝y量得到的數(shù)據(jù)，用數(shù)值擬合的方法擬合成較簡單的關系式，那么也可以用硬件描述語言來描述此擬合關系式；3節(jié)點化法，把復雜的器件分解成一些基本單元，如梁、錨、連接點等，再由這些基本單元的模型構成器件的模型。下面分別舉例來說明其建立過程。2.3.1 解析法圖2.4所示的表示傳感器機電耦合作用的二端口的原理圖實際上是圖2.7，用解析法確定它

15、的行為的步驟如下15： （1）對每一個端口選擇強度(effort)、流(flow)和狀態(tài)(state)三個變量，并保證強度(effort)和流(flow)兩個變量的乘積具有功率的量綱。（2）用端口變量表示傳感器的總能量。（3）求能量相對于各個端口狀態(tài)(state)變量的偏導數(shù)即可得各端口的強度(effort)變量。（4）各個端口狀態(tài)(state) 變量對時間的導數(shù)即為對應端口的流(flow) 變量。圖2.7靜電傳感器的機電耦合部分如果電端口選電壓、電流、電量作為強度(effort)、流(flow)和狀態(tài)(state)變量，機械端口選力、速度、位移作為強度(effort)、流(flow)和狀態(tài)(

16、state)變量。運用上述步驟得： （2.9） （2.10）上述兩式正確反映了圖2.7所示靜電傳感器的機電耦合行為，用HDL ATM描述的宏模型為：ENTITY eletran IS GENERIC (A，g0，er ：analog)； PIN (a，b ：electrical；c，d ：mechanical1)；END ENTITY eletran；ARCHITECTURE a OF eletran IS VARIABLE e0，x ：analog；STATE V，S，C ：analog；BEGIN RELATION PROCEDURAL FOR init=> e0 ：=8.8542e

17、-12；PROCEDURAL FOR ac，transient=>V ：=a，bv；S ：=c，dtv；x ：=integ(S) ；C ：=e0erA/(g0+x) ；a，bi %Cddt(V)+Vddt(C ) ；c，df %e0erAVV/(2.0(g0+x) (g0+x)；END RELATION ；END ARCHITECTURE a ；從上面的推導過程可見，解析法只能用于幾何結構和耦合關系簡單的器件。2.3.2 有限元法 對幾何結構或者耦合關系比較復雜的器件，往往無法直接寫出類似與（2.9）、（2.10）這樣的解析式，只能用有限元的方法模擬出器件的特性，再用擬合的方法得到相應的

18、解析模型。圖2.8 靜電作用下的彈性梁這里用靜電作用下的彈性梁來說明用有限元法建立宏模型的過程19, 20, 21（圖2.8），先用有限元法計算出彈性體的模態(tài)函數(shù)，再計算各個模態(tài)在彈性體的總位移中的重要程度，略去不重要的模態(tài)，通常只要取45個模態(tài)就能達到足夠的精度，這樣只要能求出這幾個模態(tài)對應的廣義坐標，就可以知道梁的運動規(guī)律。彈性梁本來屬于連續(xù)系統(tǒng)，具有無限多個自由度22，而經(jīng)這樣處理后，僅剩下45個自由度需要求解，大大降低了所有求解的自由度的個數(shù)，所以這樣得到的宏模型也稱為降階宏模型。由拉格朗日公式寫出所取的每個模態(tài)服從的運動方程 （2.11）其中，是第階模態(tài)的廣義加速度，是第階模態(tài)的廣義

19、質(zhì)量，是系統(tǒng)的靜電能量，是系統(tǒng)的彈性能量。系統(tǒng)的靜電共能量(co-energy)21, 23 ，其中為梁的下表面與固定面間的電容，是梁的下表面與固定面間的總電壓。又因為 (2.12)所以 (2.13)對于彈性能，在線性彈性范圍內(nèi) (2.14) 其中為第階模態(tài)所對應的角頻率；將(2.12)、（2.13）、(2.14)式代入（2.11）可得各個模態(tài)的運動方程為 （2.15）再用有限元法計算電容與模態(tài)的廣義坐標之間的關系，并通過數(shù)值擬合的方法導出與關系的解析表達式，用硬件描述語言描述（2.15）式就得到了圖2.8所示靜電作用下彈性梁的宏模型，在Coventorware中就是用這種方法建立MEMS器件

20、的宏模型的。用有限元法建立宏模型需要進行耦合場分析，所需時間較長，而且這樣建立的宏模型沒有通用性，只要改動任何一個參數(shù)，模型就必須重建，故不適宜于設計初期的需要經(jīng)常調(diào)整參數(shù)的情況，但這種方法對器件的幾何形狀和耦合的復雜程度沒有限制24，而且由于這種宏模型是在分析具體結構的基礎上得到的，所以精度很高，適宜于設計最后的驗證。2.3.3 節(jié)點化的方法節(jié)點化的宏模型源于節(jié)點化的設計方法，節(jié)點化設計系統(tǒng)的典型代表是美國Carnegie Mellon大學開發(fā)的NODAS (Nodal Design of Actuators and Sensors) 25，此外還有UCB開發(fā)的Sugar及Coventorw

21、are中的Architect等。在節(jié)點化設計中，復雜結構的器件被分解成一個一個的單元，對每一個單元建立了相應的單元庫，單元與單元之間通過節(jié)點相連，并且要求外界的激勵只作用在單元的節(jié)點上25, 26, 27, 28。下面以梁單元為例來說明節(jié)點化的宏模型。 圖2.9 節(jié)點化設計系統(tǒng)（NODAS）中的梁單元圖2.10 梁在NODAS中的連接關系在節(jié)點化設計系統(tǒng)中，力和力矩被看成是“流過”型變量，如同電路中的電流一樣。靜態(tài)平衡條件表明，作用在一個物體上的合力及總力矩應該為零，這類似于電路理論中的基爾霍夫電流定律，而位移及轉角被看成“跨接”型變量，如同電路中的電壓。與電路中不同的是，節(jié)點化設計方法中每個節(jié)點可以有多個“流過”型變量和多個“跨接”型變量。如圖2.9中的梁，它有a、b兩個節(jié)點，每個節(jié)點具有x、y方向的兩個力變量，一個彎矩變量及一個電流變量，共四個“流過”型變量，還有x、y方向的兩個位移變量，一個轉角變量及一個電壓變量，共四個“跨接”型變量，其中小寫的是局部坐標，用來表示梁在外力和力矩作用下離開平衡位置的位移和轉角，大寫的是全局坐標，用來表示梁在整個系統(tǒng)中的相對位置，用硬