物理競賽復(fù)賽模擬卷

1、物理競賽復(fù)賽模擬卷1. 子的電量 q=-e(e=1.6×10-19C)，靜止質(zhì)量 m0=100MeV/c2，靜止時的壽命 0=10-6s。設(shè)在地球赤道上空離地面高度為h=104m 處有一 子以接近于真空中光速的速度垂直向下運(yùn)動。1）、試問此 子至少應(yīng)有多大總能量才能到達(dá)地面？北2）、若把赤道上空 104m 高度范圍內(nèi)的地球磁場看作勻強(qiáng)zB磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=10-4T，磁場方向與地面平行。試求西xOy具有第 1 問所得能量的 子在到達(dá)地面時的偏離方向和總的偏轉(zhuǎn)角。南2. 熱中子能有效地使鈾 235 裂變，但裂變時放出的中子能量代謝較高，因此在核反應(yīng)堆中石墨作減速劑。若裂變放出的中子

2、動能為 2.2MeV，欲使該中子慢化為熱中子（動能約為 0.025eV），問需經(jīng)過多少次對撞？3.半徑為 R、質(zhì)量為 M 1 的均勻圓球與一質(zhì)量為M 2 的重物分別用細(xì)繩， AD 和 ACE 懸掛于同一點(diǎn) A ，并處于平衡，如AT圖 11-205 所示，已知懸點(diǎn) A 到球心 O 的距離為 L ，不考慮繩的DNC質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩AD 與豎直方向 ABOBM 1 gEM 2 g的夾角 。4火車以速度v1 向前行駛。司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車為s 處.有另一輛火車，它沿相同的方向以較小的速度v2 作勻速運(yùn)動，于是他立即使車作勻減速運(yùn)動，加速度大小為a，要使兩車不致相撞，則

3、a 應(yīng)滿足的關(guān)系式為_。5如圖所示，有一個一端開口、一端封閉的長圓柱形導(dǎo)熱容器，水銀活塞將其開口向上豎直放置。在氣溫為27、氣壓為 760mmHg、相對濕度為 75%時，用一質(zhì)量可不計(jì)的光滑薄活塞將開口端封閉。已知水蒸氣的飽合蒸氣壓為26.7mmHg，在 0時為 4.5mmHg。（1）若保持溫度不變，想通過在活塞上方注入水銀加壓強(qiáng)的方法使管內(nèi)開始有水珠出現(xiàn)，那么容器至少為多長？（2）若在水蒸氣剛開始凝結(jié)時固定活塞，降低容器溫度，當(dāng)溫度降至0時，容器內(nèi)氣體壓強(qiáng)為多大？6一個靜止的豎直放置的玻璃管，長為 H=23cm，粗細(xì)均勻，開口向下，其內(nèi)有一段長為 h=10cm 的水銀柱，把長為 L0=10c

4、m 的空氣柱封閉在管的上端。設(shè)外界大氣壓強(qiáng)p0=1.0× 105Pa，求當(dāng)管以 20m/s2 的加速度上升時，管中封閉的氣柱長為多少厘米？（取g=10m/s2，水銀密度 =1.4× 104kg/m3）7如圖所示，用導(dǎo)熱材料制成的兩端開口的U 型管 ABCD ，其中 AB 高h(yuǎn)=24cm，CD 高 L2 =20cm，截面積分別為 SAB=1cm2， SCD =2cm2，開始時兩管均有高 h=16cm 的水銀柱，現(xiàn)用兩個橡皮帽將兩個管口封閉，打開下方的閥門 K ，用注射器從底部緩慢抽出水銀， 當(dāng)其中的一個管內(nèi)的AD水銀被抽干時立即關(guān)閉閥門 K 。（已知大氣壓強(qiáng)為 p0=75cm

5、Hg）h（1）請你判斷首先被抽干的是哪一管中的水銀？BCK（2）另一只管中剩余的水銀柱高度為多少？8如圖（ a）所示，水平固定的圓筒由足夠長粗筒和細(xì)LL筒相接而成，筒中有直徑不同的兩個活塞 A 、B 用一根細(xì)繩AB相連，活塞 B 通過水平細(xì)繩、定滑輪與一個質(zhì)量為 m=2.0kg的重物 C 連接， A 、B 兩活塞的橫截面積分別為 S12，（ a）=20cmS2=10cm2。當(dāng)兩活塞封閉的空氣柱溫度為t=327時，兩活塞保持靜止，此時兩活塞分別與大小圓筒的相接面的距離均為L ，已知大氣壓強(qiáng) p0=1.0×105Pa，活塞與筒壁、滑輪與輪軸間的摩擦均可忽略不計(jì)，取g=10m/s2，求：（

6、1）此時筒內(nèi)兩活塞間氣柱的壓強(qiáng)為多大？（2）當(dāng)筒內(nèi)氣柱的溫度緩慢降到27 C 時，活塞 A 能否向右移動距離L ，試說明理由。（3）當(dāng)氣柱溫度降到27 C 時，筒內(nèi)氣柱的壓強(qiáng)為多大？（在整個變化過程中， A、B 繩子始終有作用力） 。9. 眾所周知，在沙漠中能觀察到蜃樓現(xiàn)象，假設(shè)在近大地的空n4氣層中，光速按 c(z)=c0規(guī)律變化，式中c0 為光沿地面的速度，i 3n3(1-az)i 2n2z 為離地高度。試問：觀察者觀察到蜃樓現(xiàn)象時，估計(jì)真實(shí)景物離n1i1他多遠(yuǎn)？設(shè)觀察者身高為 h。10. 如圖所示，在內(nèi)半徑為1 的玻璃管r、外半徑為 R，折射率為 nr中充滿了折射率為 n2 的發(fā)光液體，

7、試問，從遠(yuǎn)處看，當(dāng)管的厚度消n1 n2R失時， r 和 R 應(yīng)滿足什么條件？11.空氣中放一個半徑為R、折射率為n的玻璃球，兩支相距d<2R 的平行細(xì)光束相對dR2d2球心對稱地射到球上，兩支光束與球心共面，2如圖所示。（1）為使兩支光束在球內(nèi)有實(shí)交點(diǎn)，d 與 n 之間必須滿足什么樣的關(guān)系？（2）為使兩支光束對任何d<2R 均在球外有實(shí)交點(diǎn)， n 可取哪些值？12如圖所示，半徑為 R 的絕緣圓環(huán)由直徑aAB 分成的兩半部分各均勻帶有正、負(fù)電荷。正負(fù)DOCAB電荷的電量都是 Q。b(1)試證明過直徑 AB 的直線是一條電勢為零的等勢線。(2)求帶正電的半圓環(huán)所激發(fā)的電場在環(huán)心O 點(diǎn)的

8、電勢。1. 子的電量 q=-e(e=1.6×10-19C)，靜止質(zhì)量 m0=100MeV/c2，靜止時的壽命0-64 =10s。設(shè)在地球赤道上空離地面高度為 h=10 m 處有一 子以接近于真空中光速的速度垂直向下運(yùn)動。1）、試問此 子至少應(yīng)有多大總能量才能到達(dá)地面？北2）、若把赤道上空 104m 高度范圍內(nèi)的地球磁場看作勻強(qiáng)zB磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=10-4T，磁場方向與地面平行。試求西xO y具有第 1 問所得能量的 子在到達(dá)地面時的偏離方向和總的偏轉(zhuǎn)角。南分析：利用時間膨脹公式可將地球上觀測到的子的壽命與靜止系中的壽命0 建立聯(lián)系。對地球上的觀察者而言，子為能達(dá)到地面，所具速度

9、必須保證它在時間內(nèi)走完全程。利用質(zhì)能公式可得子的相應(yīng)能量。由于子的動能比重力勢能大得多，重力影響可忽略。 又因地磁場引起的偏轉(zhuǎn)較小，計(jì)算第 1 問時可不考慮洛倫茲力， 因此，可把子近似看成作勻速直線運(yùn)動。求解第 2 問時，必須考慮由地磁場引起的洛倫茲力，此力使子產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)。因洛倫茲力對子不做功，故其能量保持常值。 根據(jù)動力學(xué)方程和質(zhì)能公式可寫出子坐標(biāo)所遵從的微分方程， 解此微分方程即可求得偏轉(zhuǎn)量。子除受洛倫茲力外，還受地球自轉(zhuǎn)引起的科星奧利力的作用，它對子偏轉(zhuǎn)的影響應(yīng)作一估算。解：（1）近似地把子看成是作勻速直線運(yùn)動，速度為，到達(dá)地面所需地球時間為thhc為能到達(dá)地面，需滿足t式中為地球觀察者測

10、得的子壽命，它與0 的關(guān)系為01由質(zhì)能公式，子的能量為2c2Em0 c221c2給合以上諸式，有E m0 c2m0 c2 tm0 ch0t 00代人數(shù)據(jù)，子至少應(yīng)有能量Em0 ch100104M e V 3.3 103 M e V0310810 6（2）、如圖所示，取直角坐標(biāo)系Oxyz，原點(diǎn) O 在地面， x 軸指向西， y 軸垂直于地面向上指向北。子的初始位置和初速度為x 00x 00y 0hy 0z 00z 00磁場 B 與 z 軸方向一致，子所受洛倫茲力為FeB子的動力學(xué)方程為dpFe Bdt其中Ep mE=常量c2ijkrdc2eBc2 e xyzdtEE00B成分量形式為xc2eBc

11、2eBxy, yE（1）（2）E（1）式對 t 求導(dǎo)后再將（ 2）式代入，得x2 x0式中c 2 eBE上述方程的解為xc o s txs i n tx因此，有xc2 eBsin tc2eBysin tEE故得ys i n tyc o s ty初條件為x 0c o s0x 0s i nx 0y 0s i ny 0c o sh得,2x, yh最后得子的坐標(biāo)為xs i n t1c o s t2yc o s th hs i n t2到達(dá)地面時， y=0，即有hc2e B hs i n tE因c ，有844c e B h 3 1 0 1 01 0s i n t3. 3190. 091E0h1c o s

12、 t1112221 h2子到達(dá)地面時的 x坐標(biāo)為x地21h2朝 x方向（向西）的偏轉(zhuǎn)角為x地h1h20.0 9 r1 a d 0.0 4 6r a d2落地點(diǎn)向西偏離的距離為4x地h a 1 00.0 4 m64 6 m0子落地過程需時t03.3 105s212c此階段地球表面一點(diǎn)轉(zhuǎn)過的距離為s R 地 t 6.4 10623.3 10 5 m 0.015m243600可見， s? x地 ，即由地球自轉(zhuǎn)引起的偏離可以忽略。2. 熱中子能有效地使鈾 235 裂變，但裂變時放出的中子能量代謝較高，因此在核反應(yīng)堆中石墨作減速劑。若裂變放出的中子動能為 2.2MeV，欲使該中子慢化為熱中子（動能約為

13、0.025eV），問需經(jīng)過多少次對撞？解：運(yùn)動的中子與石墨中靜止的碳原子碰撞可作為彈性碰撞處理。設(shè)第k次碰拼音字母前中子速度大小為k 1 ，碰后速度 大小為 k ，由動量守恒和能量守恒可得mCmnkk 1mCmn式中 mC .mn 分別為碳原子、中子的質(zhì)量，近似有mc12mn。于是 k 可表述為mcKKmnV011VKmnV0mc13初始的中子對應(yīng)動能 E2.2MeV ，碰撞 k 次后的動能取為Ek 0.025eV ，則有E2mCmn2 k132 k()2(EkkmCmn11兩邊取對數(shù)解得k54.8取整數(shù)后為k55(次)3. 半徑為 R、質(zhì)量為 M 1 的均勻圓球與一質(zhì)量為 M 2 的重物分別

14、用細(xì)繩， AD 和 ACE 懸掛于同一點(diǎn) A ，并處于平衡，如圖 11-205 所示，已知懸點(diǎn) A 到球心 O 的距離為 L ，不考慮繩的質(zhì)量和繩與球的摩擦，試求懸掛圓球的繩 AD 與豎直方向 AB 的夾角 。分析：在平衡條件下， 一個物體受到三個共點(diǎn)力作用時，這三個力的作用線必相交于一點(diǎn)。這是平衡問題的一個基本結(jié)論，本題就是一例。解：作用在球上的力有重力M 1 g, AD 繩的拉力 T 和 ACE 繩的壓力 N。由于不考慮繩與球的摩擦，所以N 的方向沿半徑指向球心，重力也是通過球心的。由于球平衡，所以繩AD 的拉力也必過球心，因此可判斷繩一定沿OA 方向（如圖 11-206）。A對球和重物組

15、成的系統(tǒng)，根據(jù)平衡條件，M 1 g 和 M 2 g 對 A 點(diǎn)的力矩T大小相等，即DNM 1 g OB M 2 g BCO BC（1）M 1gE由圖可知OB L s i n , BC RL s i nM 2 g圖 11-206代入（ 1）式，可解得M 2 gsi nL(M1 M2)M2 RarcsinM 2 )L(M 14火車以速度v1 向前行駛。司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車為s 處.有另一輛火車，它沿相同的方向以較小的速度v2 作勻速運(yùn)動，于是他立即使車作勻減速運(yùn)動，加速度大小為a，要使兩車不致相撞，則a 應(yīng)滿足的關(guān)系式為_。分析：司機(jī)使火車作勻減速運(yùn)動，當(dāng)后面的火車與前方火車時的速度

16、相等時，兩車再也不能接近了， 也就是后面的火車與前面火車的速度相等時，后面火車的位移與前面火車的位移之差要小于s 時，兩車才不致相撞， 本題解法中有四種。解法一：當(dāng)兩車速度相等時，兩車沒有相撞，以后再也不會相撞，前車減速的時間為 t，則(v1 v2 )s1(v1v2 )tt2s2v2ta(v1v2 )t(v1v2 )2(v1 v2 )2s1 s222asa2s解法二： 以前車為參照系，后車的速度為v(v1v2 ) ，當(dāng)后車的速度減為零時，其位移小于 s，兩車不會相撞，即(v1 v2 )2(v1v2 )212as, a2s。2解法三： 作出兩車運(yùn)動的速度時是圖像如圖12-34 所示，由圖像Ot

17、t圖 12-34可知：在兩圖像相交前與時間軸所圍面積之差（即圖中陰影部分）小于s 時，兩車不會相撞。(v1v2 )2(v1 v2 ) 2即2as, a2s解法四： 后車的位移為 s1v1tat 2，前車的位移為 s2v2t ，要使兩車不2相撞，即s1s2(v1v2 )tat22s，at20(v1 v2 )t s2說明此二次函數(shù)無解，即(v1v2 ) 2(v1 v2 ) 22as0 ， a2s。以上四種解法中，以第二種解法最簡捷。5如圖 24-28 所示，有一個一端開口、一端封閉的長圓柱形導(dǎo)熱水銀活塞容器，將其開口向上豎直放置。在氣溫為27、氣壓為 760mmHg、相對濕度為 75%時，用一質(zhì)量

18、可不計(jì)的光滑薄活塞將開口端封閉。已知水蒸氣的飽合蒸氣壓為26.7mmHg，在 0時為 4.5mmHg。（1）若保持溫度不變，想通過在活塞上方注入水銀加壓強(qiáng)的方法使管內(nèi)開始有水珠出現(xiàn)，那么容器至少為多長？（2）若在水蒸氣剛開始凝結(jié)時圖 24-28固定活塞，降低容器溫度，當(dāng)溫度降至0時，容器內(nèi)氣體壓強(qiáng)為多大？分析：當(dāng)活塞上加入水銀時， 密閉管內(nèi)的空氣和水蒸氣的壓強(qiáng)均增大，當(dāng)水蒸氣的壓強(qiáng)達(dá)到飽和氣壓后，管內(nèi)開始有水珠出現(xiàn)。解：（1）灌水銀前空氣柱中水蒸氣的壓強(qiáng)為p汽3 p飽4設(shè)容器長為l0 ，空氣柱長度減小到 l 時，水蒸氣達(dá)飽和狀態(tài)，根據(jù)玻意耳定律有p汽l 0p飽l ，l3l 0 ，即4此時活塞上

19、下方壓強(qiáng)分別為1p上7 6 0 4 l 0 m m H, gp下4p0 .3因p上 p下7601 l 04760,有43即l 0 1013mm.（2）水珠體積可以忽略，開始時，容器內(nèi)干燥空氣壓強(qiáng)應(yīng)為p14760 26.7 mmHg 9 8 .63mmHg .3因活塞固定，氣體降溫過程等容，故有p1273p18 9 7.5mmHg.273 27容器內(nèi)氣體總壓強(qiáng)為pp1p2897.54.58902.1m m H g6如圖 24-31 所示，一個靜止的豎直放置的玻璃管，長為 H=23cm，粗細(xì)均勻，開口向下，其內(nèi)有一段長為h=10cm 的水銀柱，把長為 L 0=10cm 的空氣柱封閉在管的上端。設(shè)外

20、界大氣壓強(qiáng) p0=1.0× 105Pa，求當(dāng)管以 20m/s2 的加速度上升時，管中封閉的氣柱長為多少厘米？ （取 g=10m/s2，水銀密度 =1.4×104kg/m3）解：管加速上升時，水銀柱所受合力向上， 管內(nèi)氣體對水銀柱的壓強(qiáng)應(yīng)減小，管內(nèi)氣體體積應(yīng)增大， 由于管長度一定， 有可能使管內(nèi)水銀溢出的情況。設(shè)當(dāng)管加速上升時，封閉氣柱壓強(qiáng)為P，長為 L，水銀柱質(zhì)量為m，對于氣柱，根據(jù)玻意耳定律得(P0gh)L0 S p L S（1）對水銀柱根據(jù)牛頓定律有p0 S PS mg ma（ 2）又mgh（3）得PP0h(ga)（ 4）由（ 1）、（4）式得(P0gh)L0L0.15

21、(m) 15cmP0h( g a)因?yàn)長h25cmH23cm所以加速上升時，水銀將溢出管外。這時設(shè)余下水銀柱長為h ，其質(zhì)量為 m ，封閉氣柱壓強(qiáng)為 P ，長為 L 。對水銀柱，根據(jù)牛頓第二定律有p0 S P S m g m a（5）又有mh S（6）所以P P0h( ga)（7）對封閉氣柱，根據(jù)玻意耳定律有( P0gh)L0 SP L S（8）此時LHh（9）把（ 7）式、（9）式代入（ 8）式并化簡得(g a)h 2 P(g a) H h P H(Pgh) L 00000代入數(shù)值，并化簡有8h 21.97h0.1440解得h10.09m9.0cm, h2 0.38m （大于 H 舍去）所以

22、正在以 a20m / s2 加速度上升的玻璃管，其上端封閉的氣柱長為L H h23 9.014(cm)7如圖 24-55 所示，用導(dǎo)熱材料制成的兩端開口的U 型管 ABCD ，其中 AB高 h=24cm， CD 高 L，截面積分別為2，S2，開始時兩管2=20cmSAB =1cmCD=2cm均有高 h=16cm 的水銀柱，現(xiàn)用兩個橡皮帽將兩個管口封閉，打開下方的閥門 K ，用注射器從底部緩慢抽出水銀， 當(dāng)其中的一個管內(nèi)AD的水銀被抽干時立即關(guān)閉閥門K 。（已知大氣壓強(qiáng)為 p0=75cmHg）h（1）請你判斷首先被抽干的是哪一管中的水銀？BCK（2）另一只管中剩余的水銀柱高度為多少？解：求解這一

23、類題時，應(yīng)根據(jù)可解的情況先做出必要的假設(shè)，圖 24-55然后按著所做出的假設(shè)進(jìn)行推理，在推理過程中， 對所做假設(shè)做出否定或認(rèn)同即可求解。假設(shè)左管內(nèi)水銀先被抽干， 并設(shè)這時右管內(nèi)剩余水銀柱的高度為，對左管內(nèi)封閉氣體用玻意耳定律有p1V1p1V1可得p1V1p124 16 S 75 25c m H gV124S所以右管內(nèi)氣體壓強(qiáng)為p225c m H g再對右管內(nèi)被封氣體，根據(jù)玻意耳定律得：75 2016 SCD2520SCD整理得：2452000解得：5cm或 40cm 不合題意舍去在根據(jù)以上假設(shè)列的方程中，有滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)解， 故所做假設(shè)成立， 即左管內(nèi)水銀先抽干，且此時右管內(nèi)剩余水銀柱高度為5

24、cm。8如圖 24-57（ a）所示，水平固定的圓筒由足夠長粗筒和細(xì)LL筒相接而成，筒中有直徑不同的兩個活塞A 、B 用一根細(xì)繩相連，AB活塞 B 通過水平細(xì)繩、定滑輪與一個質(zhì)量為m=2.0kg 的重物 C 連圖 24-57（ a）接，A 、B 兩活塞的橫截面積分別為S1=20cm2，S2=10cm2。當(dāng)兩活塞封閉的空氣柱溫度為 t=327時，兩活塞保持靜止，此時兩活塞分別與大小圓筒的相接面的距離均為 L ，已知大氣壓強(qiáng) p0 =1.0× 105Pa，活塞與筒壁、 滑輪與輪軸間的摩擦均可忽略不計(jì)，取 g=10m/s2，求：（1）此時筒內(nèi)兩活塞間氣柱的壓強(qiáng)為多大？（2）當(dāng)筒內(nèi)氣柱的溫度

25、緩慢降到27 C 時，活塞 A 能否向右移動距離L ，試說明理由。（3）當(dāng)氣柱溫度降到27 C 時，筒內(nèi)氣柱的壓強(qiáng)為多大？（在整個變化過程中， A、B 繩子始終有作用力） 。解：（1）將活塞 A 、 B（包括連接兩活塞的細(xì)繩）作為整體，其受力如圖答24-57（ b）所示，根據(jù)物體的平衡條件得p1 S1 p0 S2 p1 S2 p0 S1 mg（1）mg5p1 S1p0 S2p1p0 1.2 10 paS1 S2p 0 S1F mg（2）當(dāng)氣體的溫度緩慢降低時，氣體的壓強(qiáng)P 在減小，由（ 1）p1 S2圖 24-57 （b）式可知當(dāng)式中的 p1 （氣體的壓強(qiáng)）在減小時，由于S1 S2 ，故方程左

26、邊比右邊小， 平衡被破壞， 這就意味著向右的作用力大于向左的作用力，故活塞右移，使氣體的體積減小，壓強(qiáng)增大，可以認(rèn)為是一個等壓過程（直到活塞與細(xì)筒側(cè)壁相接觸時為止） ，活塞不能無限制地向右移動，當(dāng)活塞A 移到與粗、細(xì)圓筒的交接處時，不再移動。設(shè)活塞剛好移到兩筒交接處時氣體的溫度為T，此時活塞對細(xì)筒側(cè)壁無相互作用力，在等壓過程中，有V1VT1T其中V1 LS1 LS2 3LS 2， V2LS2 ，TVT1400K T2300KT 1600K，1V故當(dāng)筒內(nèi)氣體的溫度緩慢降至27 C ，活塞 A 能向右移動距離 L 。（3）當(dāng)筒內(nèi)氣體的溫度緩慢降至27 C ，其末態(tài)有：2LS2V2300KT2由理想

27、氣體狀態(tài)方程P1V1P2V2P2V1T2 P13P10.9 105 PaT1T2 ，V2T149. 眾所周知，在沙漠中能觀察到蜃樓現(xiàn)象，假設(shè)在近大地的空氣層中，光速按 c(z)=c0(1-az)規(guī)律變化，式中 c0 為光沿地面的速度，i3n4n3z 為離地高度。試問：觀察者觀察到蜃樓現(xiàn)象時，估計(jì)真實(shí)景物離他i 2n2i1n1多遠(yuǎn)？設(shè)觀察者身高為 h。圖 33-41解：光在沙漠上空氣中的傳播速度隨離地面高度的增加而減少，這意味著貼近地面的空氣的折射角比上層空氣要小，致使遠(yuǎn)處來的光線在射向地面時，不斷被折射， 入射角逐漸增大。 當(dāng)光線射到貼近地面大氣層的入射角大于臨界角時，就發(fā)生全反射現(xiàn)象。如圖

28、33-41 所示，將近大地的空氣層劃分為多個間距很小的層面，每個層面都與大地平行， 這樣可認(rèn)為光速在某一層面的不同高度處相同（即可視為折射率相同）。設(shè)各層介質(zhì)的折射率分別為 n1、n2、 n3 光速與分界面法線的夾角分別為 i1、i2、i 3 由折射定律可得n1 sin i1n2 sin i2n3 sini 3常數(shù) 。c01i L即 n sin i常數(shù)n1 az ，i。而c z且在地面附近處 cc0 , i90 ，圖 33-42故sin i1az由圖 33-42 可見，上式是一個圓方程，這說明光線在不均勻空氣中是沿圓弧傳播的。設(shè)圓半徑為R，則s i niR z11 zRRR1故a另由幾何關(guān)系得

29、L2Rz 2R 2并將 z=h 代入上式可得L 2h h 2 a點(diǎn)評：將折射率連續(xù)變化的介質(zhì)分成許多個折射率不相同的層面（層面中折射率相同）是處理本題的關(guān)鍵。10. 如圖 33-102 所示，在內(nèi)半徑為r、外半徑為 R，折射率為 n1 的玻璃管中充滿了折射率為n2 的發(fā)光液體， 試問，從遠(yuǎn)處看，當(dāng)管的厚度r 消失時， r 和 R 應(yīng)滿足什么條件？n1 n2R分析：在物理學(xué)中存在大量的臨界問題，以原理、定理或定律為依據(jù)，直接從臨界狀態(tài)和相應(yīng)的臨界量入手，求出所研究問題的特殊規(guī)律圖 33-102和特殊解；然后，以此對一般情況進(jìn)行分析、討論和推理，即采用從特殊到一般的推理方法稱為臨界法。本題中，液體

30、發(fā)出的光線經(jīng)玻璃兩次折射后射出。從遠(yuǎn)處看， 只能接受平行光線。管的厚度消失，即經(jīng)管邊緣射向遠(yuǎn)方的光線與該處的管直徑2R 垂直。即光線從玻璃折向空氣時，入射角為全反射臨界角。解：如圖 33-103 所示，厚度消失時，切向光線MN 與半徑垂P直，管內(nèi)存在 PM 光線， PM 入射角 C 為全反射臨界角，有MCR1Ns i n Cn1n1n2r圖 33-103PM 光線是從液體 P 點(diǎn)發(fā)出，從液體射向玻璃時折射角為。如圖 33-103所示，由正弦定理有rRs i n Cs i ns i nR s i n CR所以有rn1 r管壁中是否存在 PM 光線呢？從 P 點(diǎn)由液體射向玻璃的入射光線的入射角最大

31、為 90 ，相應(yīng)折射角為max 。若 n2n1 則n2 sin 90 n1 s i n m a xn2即s i n m a x n1若 n2n1 則 sinmax1。Rn2存在 PM 光線的條件是 sinsin max ，即要求n2 n1 時， n1rn1，即Rn2。rR1Rn1 。n2 n1 時， n1r，即 r點(diǎn)評：本題是以臨界狀態(tài)和相應(yīng)的臨界角為前提，作為分析、討論的出發(fā)點(diǎn)，由于題目未說明n1 和 n2 的大小，應(yīng)分別就 n1n2 和 n1 n2 兩種情況進(jìn)行討論，從而確定 r 和 R 應(yīng)滿足的條件。11.空氣中放一個半徑為R、折射率為 n 的玻璃球，兩支相距d<2R 的平行細(xì)光束相對球心對稱地射到球上，兩支光束與球心共面，如圖33-124 所示。（1）為使兩支光束在球內(nèi)有實(shí)交點(diǎn)，d 與 n 之間必須滿足什么樣的關(guān)系？（2）為使兩支光束對任何d<2R 均在球外有實(shí)交點(diǎn)， n 可取哪些值？分析：由下面圖 33-125 可看到，當(dāng)折射角2 時兩支光束在球面上相交，這是兩支光束是在球內(nèi)，還是在球外有實(shí)交點(diǎn)的分界點(diǎn)，d2d2圖 33因此要分別討論當(dāng)2 與2 時的情況。解：如圖 33-125 所示，有sin1 sinnsind / 2R（1）球內(nèi)相交要求2 ，即sinsin2與前