2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修四學(xué)案：2.3.1平面向量基本定理

1、 2.3.1 平面向量基本定理 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量的一組基底的含義 2在平面內(nèi)，當(dāng) 組基底選定后，會(huì)用這組基底來表示其他向量 3會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量 的綜合問題. 西問題導(dǎo)學(xué) - 知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理 思考1如果 e e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與 e1, e e 在同一平面內(nèi)的任一向量 a a 能 否用 e ei, e e2表示？依據(jù)是什么？ 思考2如果 e ei, e e2是共線向量，那么向量 a a 能否用 e ei, e e?表示？為什么? 梳理（1）平面向量基本定理：如果 e ei, e是同一平面內(nèi)的兩個(gè) _ 向量，那么對(duì)于這

2、一 平面內(nèi)的 _ 向量 a, a, _ 實(shí)數(shù) 入，力，使 a a= 入 e ei+ &e e2. 基底： _ 的向量 e ei, e e2叫做表示這一平面內(nèi) _ 向量的一組基底. 知識(shí)點(diǎn)二 向量的正交分解 思考一個(gè)放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力 G G,可分解為使物體沿斜面下滑的力 F F i 和使物體垂直作用于斜面的力 F F 2.類比力的分解，平面內(nèi)任一向量能否用互相垂直的兩向量 表示？ 梳理正交分解的含義平面向量 23向量的坐標(biāo)表示 一個(gè)平面向量用一組基底 e ei, e e2表示成 a a= _ 的形式，我們稱它為向量 a a 的 _ .當(dāng) e ei, e e2所在直線互

3、相 _ 時(shí)，這種分解也稱為向量 a a 的 _ . 題型探究 類型一對(duì)基底概念的理解 例1如果 e ei, e是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是 _ .（填 序號(hào)） 砂+此（入卩 R R）可以表示平面 a內(nèi)的所有向量； 對(duì)于平面a內(nèi)任一向量 a a，使 a a=砂+ e的實(shí)數(shù)對(duì)（入“有無窮多個(gè)； 若向量?ie e1 + 2與 ee e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 入使得X）e e1 + ee e2= X 2e e1+ ee e2）; 若存在實(shí)數(shù) X e使得 砂+姥=0，則 冶卩=0. 反思與感悟 考查兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底，主要看兩向量是否非零且不共線.此外，一個(gè) 平面的基底一

4、旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這個(gè)基底唯一線性表示出來. 跟蹤訓(xùn)練1 e e1,e e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底， 則下列各組向量中， 不能作為一組基 底的序號(hào)是 _. 1 e e1 + e e2, e e1 e e2； 3e e 1 2e e2, 4e e2 6& ; e e1 + 2e e2, G+ 2e e1 : e e2, e e1 + e e2； 2e e1 e e2, e e1 5 類型二 用基底表示向量 E, F分別是BC, DC邊上的中點(diǎn)，若 AB= a a, AD = b b,試以 a a, b b 為基底表示DE , BF. 引申探究 例2如圖所示，若

5、本例中其他條件不變，設(shè) DE = a a, BF = b,b,試以 a a, b b 為基底表示AB, AD. 反思與感悟 將不共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性 運(yùn)算及法則對(duì)所求向量不斷轉(zhuǎn)化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基 底表示向量的唯一性求解. 跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，在 AOB中，OA= a a, OB = b b, M, N分別是邊 OA, OB上的點(diǎn), 類型三平面向量基本定理的應(yīng)用 例3 在梯形 ABCD中，已知AB/ CD , AB = 2CD , M , N分別為CD , BC的中點(diǎn)，若AB = AM + JJAN ,求H 的值.

6、 反思與感悟 當(dāng)直接利用基底表示向量比較困難時(shí)，可設(shè)出目標(biāo)向量并建立其與基底之間滿 足的二元關(guān)系式，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論， 從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量（一般需 建立兩個(gè)不同的向量表達(dá)式 ），再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方 程組即得. 跟蹤訓(xùn)練3 已知向量 e ei, e e2是平面a內(nèi)所有向量的一組基底，且 a a = e ei+ e e2, b b= 3e ei 2e e2, c c= 2e e1+ 3e e2,若c c=掃+ （Jb（入 R R），試求 入J的值.當(dāng)堂訓(xùn)練 i .下列關(guān)于基底的說法中，正確的是 _ . 平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組

7、基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的 2. AD與BE分別為 ABC的邊BC, AC上的中線，且AD = a a, BE = b b,則BC = _ . 3. 已知向量 e ei, e e2不共線，實(shí)數(shù) x, y 滿足(2x 3y)e ei+ (3x 4y)e eg= 6e ei+ 3e e2,則 x = _ y= _ . 4 .如圖所示，在正方形 ABCD中，設(shè)AB = a a, AD = b b, BD = c c,則當(dāng)以 a a, b b 為基底時(shí)，AC可 5.已知在梯形 ABCD中，AB / DC,且AB= 2CD

8、 , E, F分別是 DC , AB的中點(diǎn)，設(shè)AD = a a, AB= b b,試用 a a、b b 為基底表示DC , BC, EF. T 規(guī)律與方法* 1 .對(duì)基底的理解 (1)基底的特征 基底具備兩個(gè)主要特征： 基底是兩個(gè)不共線向量； 基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向 量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件. (2)零向量與任意向量共線，故不能作為基底. 2 .準(zhǔn)確理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解， 即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分 解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的. 表示為 ，當(dāng)以 a a, (2)平面向量基本定理體

9、現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇 適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1 能.依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則. 思考2不一定，當(dāng) a a 與&共線時(shí)可以表示，否則不能表示. 梳理（1）不共線 任一 有且只有一對(duì) （2）不共線 所有 知識(shí)點(diǎn)二 思考能，互相垂直的兩向量可以作為一組基底. 梳理入 e ei + ?2e e2分解垂直正交分解 題型探究 例1 跟蹤訓(xùn)練1 例2 解四邊形ABCD是平行四邊形，E, F分別是BC, DC邊上的中點(diǎn), AD = BC = 2BE, BA=CD = 2CF , 1 f

10、1 f 1 f 1 f 1 BE = 2AD = 2b b, CF = BA =-尹B = - 2a a. 1 1 =b b+ a a + b b= a a ?b b, BF = BC+ CF = AD + CF = b b a a. 引申探究 解取CF的中點(diǎn)G,連結(jié)EG. E、G分別為BC, CF的中點(diǎn), EG = BF = b b i 2 w - - - 1 DG = DE + EG= a a + 尹. DE =DA + AB + BE = -AD + AB + BE 又 DG = 3DC = 4AB , AB = 3DG = 4(a a + |b b)= 4a a+ |b b. 1 1

11、1 1 1 1 1 1 11 又 AD = BC= BF + FC = BF + gDC = BF + qAB, AD = BC = b b+ 2(3 a a+1 b) = 3 a a+ 4 b b. 跟蹤訓(xùn)練 2 解 OP= OM + MP , OP = ON + NP. 設(shè)MlP = mMB, NP= nlNA,則 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 OP = OM + mMB = 3OA+ m(OB OM) 1 1 1 =3 a a+ m( b b 3a a )= 3(1 m)a a + m b b, -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 OP = ON+ nNA = qOB +

12、n(OA ON) 1 1 1 =2b b+ n(a a ？b b) = ?(1 一 n)b b+ na a. a a, b b 不共線, 3 1 m = n, n= 1 J 即 2 11 n = m, m = 5. 張=1a + I b. 例3解 如圖所示，連結(jié) MN并延長交AB的延長線于點(diǎn)T, 4 41 5 由已知易得 AB= 5AT,所以，5AT= AB= 2AM + pAN，即 AT = 4 5 5 4 因?yàn)門, M , N三點(diǎn)共線，所以4入+ 4尸1,所以 H 尸 跟蹤訓(xùn)練 3 解 將a a= e ei+ e e2與 b b= 3e ei 2e e2代入 c c=掃+向,5 得 c c=心1 + e e2)+ p3e e1 2 e e2) 因?yàn)?c c= 2e ei + 3e e